1、CBADE 为了测量一个池塘的宽为了测量一个池塘的宽AB,AB,在池塘一侧的平地上选在池塘一侧的平地上选一点一点C,C,再分别找出线段再分别找出线段ACAC，BCBC的中点的中点D D、E E，若测出，若测出DEDE的长，就能求出池塘的长，就能求出池塘ABAB的宽，你知道为什么吗？的宽，你知道为什么吗？想一想想一想A AB BC CD DE E合作学习合作学习剪一刀，将一张三角形纸片剪成剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片一张三角形纸片和一张梯形纸片.（1 1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪痕的位置有什么要求？痕的位置
2、有什么要求？（2 2）若要使）若要使ADEADE与梯形与梯形DBCEDBCE能拼成平行四边形，能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？剪痕的位置有什么要求？（3）要把所剪得的两个图形拼成）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？形作怎样的图形变换？ABCDEF连结三角形两边中点的线段叫连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形的中位线三角形有三条中位线三角形有三条中位线D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点DEDE为为ABCABC的中位线的中位线 三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不
3、同注意注意同理同理DFDF、EFEF也为也为 ABC ABC的中位线的中位线E ED DF FA AC CB B三角形的中位线与第三边有什么关系三角形的中位线与第三边有什么关系?探究探究 如图如图2-38，EF是是ABC的一条中位线的一条中位线.你能猜测出你能猜测出EF和和BC具有怎样的位置关系和数量关具有怎样的位置关系和数量关系吗？为什么？系吗？为什么？图图2-38我猜测我猜测EFBC.我量得我量得EF=1cm，BC=2cm，猜测猜测12EFBC.这些猜测正确吗？我们来进行证明这些猜测正确吗？我们来进行证明.如图，如图，将将AEF绕点绕点F旋转旋转180，设点，设点E的像为点的像为点G，易知
4、点易知点A的像是点的像是点C，点，点F的像还是点的像还是点F，且，且E，F，G在一在一条直线上条直线上.因为旋转不改变图形的形状和大小，所以有因为旋转不改变图形的形状和大小，所以有 CG=AE=BE，GF=EF，G=AEF.则则 AECG.(内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)即即 BECG.又又 BE=CG，所以四边形所以四边形BCGE是平行四边形是平行四边形.(一组对边平行且相一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等的四边形是平行四边形)图图2-39所以所以EG=BC，EGBC.(平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对边平行且相等)又因为又因为EF=GF，EF EG=BCEF=
5、图图2-39从而从而EF12BC.2121 已知：如图，已知：如图，DEDE是是ABCABC的中位线的中位线.求证：求证：BCDE21/证明：如图，以点证明：如图，以点E E为旋转中心，把为旋转中心，把ADEADE绕点绕点E E，按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转180180，得到，得到CFE CFE ABCDEF得到得到CFECFE，ADECFE.ADECFE.ADE=FADE=F，AD=CFAD=CF，DE=EFDE=EFABCF ABCF 又又BD=AD=CF,BD=AD=CF,四边形四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形B BC C2 21 1/D DE EB BC C/D DF
6、 F证明命题：证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的中位线平行且等于第三边的一半证明二：如图，延长证明二：如图，延长DEDE到到F F，使使EF=DEEF=DE，连接，连接CFCFADE=FADE=F，AD=CFAD=CF，ABCF ABCF 又又BD=AD=CF,BD=AD=CF,四边形四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形 B BC C2 21 1/D DE EB BC C/D DF FABCDEFDE=EF,AE=EC,AED=CEFDE=EF,AE=EC,AED=CEFADECFEADECFE 已知：如图，已知：如图，DEDE是是ABCABC的中位线的中位线.求
7、证：求证：BCDE21/三角形的中位线三角形的中位线平行平行且且等于等于第三边的一半第三边的一半.几何语言表述几何语言表述：DEDE是是ABCABC的中位线的中位线（或（或AD=BD,AE=CE)AD=BD,AE=CE)C CE ED DB BA AB BC C2 21 1/D DE E 证明证明平行平行问题问题 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半适用范围适用范围1.1.如图如图1 1：在：在ABCABC中，中，DEDE是中位线是中位线 （1 1）若）若ADE=60ADE=60，则则B=B=度，为什么？度，为什么？（2 2）若）若BC=8cmBC=8cm，
8、则则DE=DE=cm cm，为什么？，为什么？2.2.如图如图2 2：在：在ABCABC中，中，D D、E E、F F分别是各边中点分别是各边中点,AB=6cm,AB=6cm，AC=8cmAC=8cm，BC=10cmBC=10cm，则，则DEFDEF的周的周长长=cm,cm,面积呢？面积呢？60604 41212图图1CBAD。E图图2BACD。E。F543练一练练一练三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长的关系？的周长的关系？面积呢？面积呢？CBADE3 3、为了测量一个池塘的宽、为了测量一个池塘的宽AB,AB,在池塘一侧的平地上选在池
9、塘一侧的平地上选一点一点C,C,再分别找出线段再分别找出线段ACAC，BCBC的中点的中点D D、E E，若测出，若测出DE=15mDE=15m，就能求出池塘，就能求出池塘ABAB的宽吗？的宽吗？练一练练一练如图如图2-40，顺次连结四边形，顺次连结四边形ABCD各边中点各边中点E，F，G，H，得到的四边形，得到的四边形EFGH是平行是平行四边形吗？为什么？四边形吗？为什么？举举例例例例图图2-40解解 连结连结AC.由于由于EF是是ABC的一条中位线，的一条中位线，又因又因HG是是 DAC的一条中位线，的一条中位线，于是于是EF HG，且，且EF=HG.所以四边形所以四边形EFGH是平行四边
10、形是平行四边形.所以所以EFAC，且，且 1=.2EFAC因此因此HG AC，且，且1=.2HGAC图图2-40.有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线温馨提示：温馨提示：（1）四边形）四边形ADEF是平行四边形吗？为什么？是平行四边形吗？为什么？答答：四边形：四边形ADEF是平行四边形是平行四边形.因为因为 所以四边形所以四边形ADEF是平行四是平行四 边形边形.(两组对边分别相等的四边两组对边分别相等的四边 形是平行四边形形是平行四边形)1=21=2DEACAF E
11、FABAD,2.如图，如图，ABC的边的边AB，BC，CA的中点分别是的中点分别是D，E，F.（2）四边形）四边形ADEF的周长等于的周长等于AB+AC吗？吗？为什么？为什么？+1111+2222+.答答：等等于于 AD DEEFAF =ABACABAC =AB AC.1.1.如图如图,DE,DE是是ABCABC的中位线的中位线,AF,AF是是BCBC边上的中线边上的中线,DE,DE和和AFAF交于点交于点O.O.求证求证:DE:DE与与AFAF互相平分互相平分.FEDCBAO(第第1题题)练一练练一练方法点拨：方法点拨：在处理问题时在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线要求同时出现三角形及中位线有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线三角形中位线定理应用：三角形中位线定理应用：定理为证明定理为证明平行关系平行关系提供了新的工具提供了新的工具定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或倍或 一半一半提供了一个新的途径提供了一个新的途径
