1、.13.1生猪的出售时机生猪的出售时机 一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力,估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤.目前生猪出售的市场价格为每公斤8元.可赚多少?但是预测每天会降低0.1元,问该场应该什么时候出售这样的生猪.如果上面的估计和预测有出入,对结果有多大影响.问题分析问题分析 投入资金延长饲养时间可使生猪体重随时间增长,但售价(单价)随时间减少,应该存在一个最佳的出售时机,使获得利润最大.这是一个优化问题,根据给出的条件,可作如下的简化假设.80天猪重猪重8售猪单价售猪单价.2模型假设模型假设 每天投入4元资金可使生猪体重增加常数r(=2公斤);生猪出售的市场价格每天降
2、低常数g(=0.1元)给出以下记号：t 增重阶段的饲养天数待优化的变量又叫决策变量 w 生猪体重(公斤)p 出售生猪的单价(元/公斤)R 出售生猪的毛收入(元)C 增重阶段，到第t天时，投入的总资金(元)Q 出售生猪的纯利润(元).饲养t天的猪重w=80+rt 饲养t天的单价p=8-gt 饲养t天的毛利R=pw,饲养t天的成本投入C=4t 饲养t天出售生猪可获得的纯利润Q=R-C-880模型建立模型建立.3()(80)(8)4Q tgrtgt r()0(80)(8)404402Q tgrtgt rrgtgr令即得这里要扣掉以当前价格(8元/公斤)出售80公斤生猪的收入640元目标函数(第t天的
3、纯利润)为6404)80)(8()(trtgttQ(1)求t（0）使Q(t)最大.4模型求解模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到rggrt2404（2）当r=2,g=0.1时，t=10,Q(10)=20,即10天后出售，可得最大纯利润20元。敏感性分析敏感性分析 由于模型假设中的参数（生猪每天体重的增加r和价格的降低g）是估计和预测的，所以在实际使用这个模型时,应该研究r,g变化时对出售时机的影响。1.设每天生猪价格的降低g=0.1元不变,研究r变化的影响,由(2)式可得4060,0.1,1.5rtgtrr因为 取为而 不能为负数，所以（3）t是r的增函数,表1和图3给出
4、它们的关系.4402rgtrg（r）4402()rgt grg.5r1.51.61.71.81.92.02.12.2t02.54.76.78.410.011.412.7r2.32.42.52.62.72.82.93.0t13.915.016.016.917.818.619.320.0表1 r与t的关系图3 r与t关系.6图4g0.060.070.080.090.100.110.120.130.14t30.022.917.513.310.07.35.03.11.4表2 g与t的关系2.设生猪体重r不变,研究g变化的影响,由(2)式可得320320,00.15gtggg(4)t是g的减函数,表2和
5、图4给出它们的关系.7可以用相对改变量来体会出售时机t对参数的敏感程度.t对r的敏感度记作S(t,r),定义为trdrdtrrttrtS/),(5)由(3)式,当r=2时可算出2406060()()rt rt rrr22440242()()tggrrggrg 原来关注的是绝对数值的关联,现在关注的是相对数值的关联.83604060),(rrtS(6)即生猪每天体重r增加1%,出售时间推迟3%.类似地定义t对g的敏感度S(t,g),由(4)式,当g=0.1时,可算出即生猪价格每天的降低g增加1%,出售时间提前3%,r和g的微小变化对模型结果的影响并不算大./3(,)3/320t tdt gS t
6、 gg gdg tg .9模型参数模型的强健性模型的强健性:模型的结构和参数是由模型假设及对象的信息(观测数据)确定的.而假设不可能很准确,观测数据也常常有误差.当模型假设改变时,应该导出模型结构的相应变化;当观测数据有微小改变时,模型参数也应有微小的变化 模型假设观测数据模型结构模型.10建模过程中假设了生猪体重的增加和价格的降低都是常数,由此得到的w和p都是线性函数,这无疑是对现实情况的简化.更实际的模型应考虑非线性和不确定性.如记第t天生猪的重量为w=w(t)公斤.w(t)的意义?第t天生猪的出售价格为p=p(t)元/公斤,p(t)的意义?强健性分析强健性分析(Robustness)0(
7、)()()()(1)()()lim1tw ttw tw ttw tw tw tw ttt w(t)可视为第t天的增重 p(t)为第t天的价格变化量 0()()()()(1)()()lim1tp ttp tp ttp tp tp tp ttt .11由导数的定义,可以近似地看成每天的利润变化量.()0Q T 于是 tT,()0Q t 因此t=T时,是最佳卖点6404)()()(ttwtptQ(8)毛利润成本部分()()()()()4Q tp tw tp t w t第t天生猪出售的纯利润函数为()Q t如何认识?当T使得对应利润正增量对应利润负增量.12第t天的毛利润增量第t天的成本增量用微分法求
8、解(8)式的极值问题,可知最优解 t 应满足4)()()()(twtptwtp(9)()()()()()4Q tp tw tp t w t因为没有给出p(t),w(t)解析式,所以下述的文字判别很重要.(9)式左端是每天毛利润的增值,右端是每天投入的资金.于是出售的最佳时机是保留生猪直到毛利润的增值毛利润的增值等于每天投入的资金等于每天投入的资金为止.=0()()()()()4Q tp tw tp t w t第t天的利润增量.13本例中p(t)=-0.1,w(t)=2是根据估计和预测确定的,只要它们的变化不大,上述结论就是可用的.另外,从敏感性分析知,出售时机t相对每日增重r的变化为S(t,r
9、)=3,所以,若 1.8w(t)2.2 (以2公斤为基础值,10%以内)第t天的增重10-3t 10+3 (以10天为基础值30%以内)则结果应为.14评注评注 这个问题本身及其建模过程都非常简单,我们着重介绍的是它的敏感性分析和强健性分析,这种分析对于一个模型,特别是优化模型,是否真的能用,或者用的效果如何,是很重要的.若设p(t)=-0.1是最坏的情况,即每天降价要小于0.1元,则饲养的时间就可以更长.所以最好的办法是:过大约一周后重新估计p,p,w,w,再作计算.15半期考试复习提纲1、数学模型的构成2、数学模型与数学建模的不同3、数学模型与计算机模拟的关系4、在人口模型中，反复讨论参数
10、拟合的意义何在？.165、在人口问题中，关注从一般拟合到线性拟合6、在人口问题中，如何从函数的导数推知函数7、数学建模的一般步骤8、模型的强健性、敏感性分析的含义及意义9、洞察力、想象力、直觉、灵感由何而来11、表述Q值法12、在双层玻璃窗的讨论中，认识(2)式13、指出动物身长讨论中的精彩之处14、两人持有数量不等的n种物品进行实物交换，列出讨论要点15、在核军备竞赛中 认识模型精细化中的隐函数.1716、针对下述图形表达的“扬帆远航”，列出讨论要点BA正东风帆.1817、认识 pi 定理18、在无量纲化方法中，推导(39)到(41)式19、优化问题中的科学方法？20、在EOQ公式和森林救火中，合理的简化问题体现在哪几点21、用朴素的语言表达生猪的出售时机；商品的最优价格。
