1、问题的提出问题的提出晶体中的电子在外加场的作用下晶体中的电子在外加场的作用下 电场、磁场、掺电场、磁场、掺入杂质势场等，如何入杂质势场等，如何描述电子的运动（位置，速度，描述电子的运动（位置，速度，加速度）？加速度）？第五章第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动 方法一方法一 求解在外加势场求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程时电子的薛定谔方程EUrVm)(222方法二方法二 满足一定条件下满足一定条件下将电子的运动近似当作经将电子的运动近似当作经 典粒子的运动来处理典粒子的运动来处理本章要求：本章要求：（1 1）熟练掌握恒定电场作用下电子的运动；）熟练掌握恒定
2、电场作用下电子的运动；（2 2）掌握有效质量存在正、负值的解释；）掌握有效质量存在正、负值的解释；（3 3）掌握用能带论解释金属、半导体和）掌握用能带论解释金属、半导体和 绝缘绝缘 体，掌握空穴的概念；体，掌握空穴的概念；5.1 准经典运动准经典运动 1.波包和电子速度波包和电子速度 对于经典粒子，其对于经典粒子，其位置与动量位置与动量是确定的。而电子完是确定的。而电子完全没有确定的位置，和经典粒子毫无共同之处。由布洛全没有确定的位置，和经典粒子毫无共同之处。由布洛赫波所描述的电子，只具有波动性，如果使赫波所描述的电子，只具有波动性，如果使不同不同K值值的的波函数集中在一个非常小的范围内，那么
3、粒子的位置也波函数集中在一个非常小的范围内，那么粒子的位置也就限制在这个狭小的范围内了，就限制在这个狭小的范围内了，这样的波函数就叫这样的波函数就叫“波波包包”。而波包中心位置移动的速度，就可以代表波包中心状而波包中心位置移动的速度，就可以代表波包中心状态的电子的速度。态的电子的速度。波包中心波包中心 粒子中心，粒子中心，中心的动量中心的动量 粒子的粒子的动量动量0r0k粒子的波包构成粒子的波包构成波包波包是由波矢是由波矢K K0 0附近附近 范围内的布洛赫波函数叠范围内的布洛赫波函数叠加构成。加构成。k 波包的位置和动量满足量子力学测不准关系波包的位置和动量满足量子力学测不准关系波包的波函数
4、波包的波函数 晶体中的波包由布洛赫波叠加而成晶体中的波包由布洛赫波叠加而成()(,)()E ki k rtkkr teur 以量子态以量子态 为中心的波包为中心的波包0kkkk0)()(0rurukk将能量将能量 按泰勒级数展开按泰勒级数展开)(kE0)()()(0kkEkkEkEk 很小很小势场周期性函数近似表示势场周期性函数近似表示令令22xyzkkkk的取值范围的取值范围 波包函数波包函数)(),(000)()(2/2/2/2/2/2/ruedkdkdktrkktkkErkkizyx)(2/2/2/2/2/2/)(0000)(),(tErk izyxtkErkikkkedkdkdkeru
5、tr0)()()(0kkEkkEkE 小量小量 电子的概率密度分布函数电子的概率密度分布函数002()/2/2/222/2/2/2(,)()kkEik rtxyzkr turdkdkdk e000111(),(),()kkkxyzEEEuxt vytwztkkk0000()1()11()()kkxkxykzkyzEEikrti kxtkEEi kyti kztkk02/2/2/222/2/2/2(,)()yxzik vik uik wxyzkr turedkedkdk e000111(),(),()kkkxyzEEEuxt vyt wztkkk 其中其中0222226sin/2sin/2sin
6、/2(,)()/2/2/2kuvwr turuvw的曲线的曲线sin/2/2uuu2u波包的限度波包的限度0222226sin/2sin/2sin/2(,)()/2/2/2kuvwr turuvwu=v=w=00226(,)()kr turtkEzwtkEyvtkExukzkykx000)(1)(1)(1000tErkk0)(10tkEztkEytkExkzkykx000)(1)(1)(1000粒子中心位置粒子中心位置0222226sin/2sin/2sin/2(,)()/2/2/2kuvwr turuvw粒子的速度粒子的速度00)(1kkkEv22zyxkkk),(aaa2a2tErkk0)
7、(10k很小很小第一布里渊区第一布里渊区要求要求波包远远大于原胞波包远远大于原胞,在这一个限度里才能将电子看在这一个限度里才能将电子看做是准经典粒子做是准经典粒子粒子的中心粒子的中心2u 波包的限度波包的限度ua 一维紧束缚模型一维紧束缚模型粒子的速度粒子的速度00)(1kkkEvkaJJkEicos2)(1012sinkJ avka0dkdE22122cos0d EJ akadkdkdEvk12ka aJvk12 速度最大速度最大 能带底和能带顶能带底和能带顶,0ka0kv 在一维紧束缚模型下在一维紧束缚模型下0dkdE 速度为零速度为零022dkEd 速度最大速度最大电子的速度电子的速度2
8、ka,0ka12sinkJ avka外场力外场力 对电子作功对电子作功FEkddEkEvkk1kvkddEdtvFk()0kdkFvdt电子能量的增量电子能量的增量根据功能原理根据功能原理kkvkddtvFk具有动量的性质具有动量的性质 准动量准动量_不是真实的动量不是真实的动量2.在外力作用下状态的变化和准动量在外力作用下状态的变化和准动量()kdkv电子状态变化基本公式电子状态变化基本公式:Fdtkd)(Evkk1电子的速度电子的速度电子所受外力电子所受外力电子的准动量电子的准动量kdtdEdtdvk1电子的加速度电子的加速度:)(1(kkEdtddtdv将将 代入代入FEhdtdEk)1
9、(FEdtdvkk213.加速度和有效质量加速度和有效质量 加速加速度分度分量的量的矩阵矩阵表示表示与牛顿定律与牛顿定律 比较比较Fmdtvd1电子的倒有效质量电子的倒有效质量zyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEvvv22222222222221FEdtdvkk21电子的倒有效质量电子的倒有效质量22222222222221zyzxzzyyxyzxyxxkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEkx,ky,kz选在张量主轴方向上选在张量主轴方向上22222220000001zyxkEkEkE有效质量张量有效质量张量2222222
10、22*/000/000/000000zyxzyxkEkEkEmmmzyxzyxzyxFFFmmmvvv*1000*1000*1zzzyyyxxxFvmFvmFvm*有效张量有效张量 是一个张量，与波矢是一个张量，与波矢K有关系，一有关系，一般不相等般不相等*,zyxmmm 加速度和外力方向可以不同加速度和外力方向可以不同zzzyyyxxxFvmFvmFvm*/zzzyyyxxxmFvmFvmFv 有效质量的特点有效质量的特点 紧束缚近似下，简单立方格子紧束缚近似下，简单立方格子s能带的有效质量能带的有效质量)coscos(cos2)(10akakakJJkEzyxis,0,02kkEakJak
11、EmakJakEmakJakEmzzzyyyxxxcos2/cos2/cos2/122222*122222*122222*可以验证可以验证zyxkkk,在张量主轴方向上在张量主轴方向上akJakEmakJakEmakJakEmzzzyyyxxxcos2/cos2/cos2/122222*122222*122222*波矢的函数波矢的函数能带底部能带底部)0,0,0(k122*2Jammmzyx1000100012000000122*Jammmzyx02*122Jam能带顶部能带顶部),(aaak02122*Jammmzyx有效质量有效质量布里渊区侧面中心的布里渊区侧面中心的X点点)0,0,(ak
12、能带底部能带底部)0,0,0(k122*122*2,2JammJamzyx有效质量有效质量有效质量张量有效质量张量100010001200000012*aJmmmzyx晶体中的共有化电子的有效质量晶体中的共有化电子的有效质量 一般是一个张量一般是一个张量 波矢的函数波矢的函数*m 一个能带底部附近，电子的有效质量总是正的，能带一个能带底部附近，电子的有效质量总是正的，能带 顶部附近，有效质量总是负的顶部附近，有效质量总是负的 有效质量为什么为负有效质量为什么为负m*m 0*m晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用将周期性势场力的作用归并到晶体中电子的质量中将周期性势场力的作用归并到晶体中电子的质量中0)()()()(*1dVURJisi1222*Jam 当内力小于外力时，即能带底附近当内力小于外力时，即能带底附近*0m 当内力大于外力时，即能带顶附近当内力大于外力时，即能带顶附近
