1、第一章函数极限连续第一章函数极限连续第三节极限运算第三节极限运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算二、极限的运算法则二、极限的运算法则三、两个重要极限三、两个重要极限一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算若函数若函数 a a=a a(x)在在 x 的某种趋向下以零为极限的某种趋向下以零为极限，则称函数则称函数 a a=a a(x)为为 x 的这种趋向下的无穷小量，的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量简称为无穷小量.例如，函数例如，函数 a a(x)=x-x0，当当 xx 0 时，时，a a(x)0，所以所以 a a(x)=x-x 0 是当是当 x x0 时的无穷小量时的无穷小量.,2
2、1)(xx a a又又如如它是当它是当 x 时的无穷小量时的无穷小量.)1()(-aaxxa a而而是当是当 x +时的无穷小量时的无穷小量.注意：注意：0是无穷小量，但无穷小量不是是无穷小量，但无穷小量不是0.定理定理 1若函数若函数 y=f(x)在在 x x0 (或或 x)时时的极限为的极限为 A，则则 f(x)=A a a(x)(简记简记 y=A a)，定理定理 2有限个无穷小有限个无穷小(当当 x x0 或或 x 时时)的代数的代数和仍然是无穷小量和仍然是无穷小量.0)(lim 0)(lim 0)或或(xxxxxa aa a其其中中反之若反之若，)()(xAxfa a ，)(0)(li
3、m 0)(lim 0 xxxxxa aa a其中其中则则 A 为为 f(x)的极限，的极限，).)(lim()(lim 0AxfAxfxxx 或即即 证明略证明略.定理定理 3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证证设函数设函数 f(x)有界，有界，|f(x)|MM .又又 a a(x)是无穷小量，即是无穷小量，即|a a(x)|e e(e e 为任意小为任意小的正数的正数)，则则|a a(x)f(x)|=|a a(x)|f(x)|M(M 0)时时，0 x有有，则，则OxRABC.1sinlim0 xxx证证明明证证,tan22sin2222xRxRxR 得得
4、各各式式同同除除以以正正值值,sin22xR,cos1sin1xxx .1sincos xxx即即,20 x设设 AOB 面积面积 扇形扇形AOB 面积面积 M,M 0 时时)，f(x)0(或或 0)，定理定理 7设函数设函数 u(x)，v (x)在在 x0 的某个邻域的某个邻域内内(或或|x|M，M 0 时时)，满足满足 u(x)v(x)或或 u(x)un.因此因此un 是是单调递增数列单调递增数列.此外，由此外，由 un 的展开式可得的展开式可得所以所以 un 是有界数列是有界数列.综上所述，综上所述，un 是单调有界数列，因此极是单调有界数列，因此极限存在限存在.!1!31!21211n
5、nunn 21121112121211112-nn.32131-n我们还可以证明，我们还可以证明，,11)(时时当当函函数数 xxxfx时，时，当当或者或者 0)1()(1 xxxfx都有极限，且都有极限，且，nnxxxxnxx 11lim)1(lim11lim10人们记这个极限为数人们记这个极限为数 e，于是有，于是有.e)1(lim11lim10 xxxxxx数数 e 是一个无理数，是一个无理数，它的近似值可由它的近似值可由nn 11展开式中取前若干项计算，展开式中取前若干项计算，以以 e 为底的指数函数为底的指数函数 y =ex 的反函数的反函数 y=logex，叫做自然对数，在工程技术
6、中经，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为常被运用，常简记为 y=ln x.它的前八位数是它的前八位数是 e=2.718 281 8 .11limxxx-计计算算解解因为因为，11111-xxxx，且且e11lim xxx所以，有所以，有111lim11lim-xxxxxx.e11lim11-xxx例例 14 .1lim20 xxx-计计算算例例 15 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，uuxxux2020)1(lim1lim-210)1(1lim uuu.e12 所以所以210)1(lim1 uuu方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变
7、量 2)1(020)(1lim1lim-xxxxxx 2)1(0)(1lim-xxx.e12.)1ln(lim0 xxx 计计算算例例 16解解，)1ln(lim)1ln(lim100 xxxxxx 则当则当 x 0 时，时，u e，.1)1ln(lim0 xxx，令令xxu1)1(所以原式所以原式=1，即，即.1elim0 xxx-计计算算例例 17解解令令 u=ex-1，则则 x=ln(1+u)，当当 x 0 时时 u 0.1)1ln(1lim)1ln(lim1elim000 -uuuuxuuxx.11elim0-xxx所以所以例例16、17可以作为公式使用可以作为公式使用.32lim2 -xxxx计计算算例例 18解解因为因为.3113)1(332-xxxxx所以令所以令 u=x -3，即，即 x=u+3，5211lim32lim -uuxxuxx.e1e1111lim5 uuuu因此因此当当 x 时时 u ，.)21(lim10 xxx 计计算算例例 19解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.e2
