1、 第五章第五章 频率分析法频率分析法频率分析法的频率分析法的特点特点 1、有明确的物理意义：频率特性可以用实验方法测定；、有明确的物理意义：频率特性可以用实验方法测定；2、可以方便有效地分析噪声的控制问题。、可以方便有效地分析噪声的控制问题。5.1 5.1 频率特性频率特性(Frequency Characteristic)1 1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念(1)(1)频率特性的频率特性的定义定义:系统在正弦函数的输入时系统在正弦函数的输入时,稳态输出信号的向稳态输出信号的向量表达式与输入信号的向量表达式之比对频率量表达式与输入信号的向量表达式之比对频率的关系特性的关系特性。例如：设
2、有下列例如：设有下列RCRC网络，在输入端加入信号：网络，在输入端加入信号：r r（t t）=UrSint=UrSint 时，时，有：有：c c（t t）=UcSin=UcSin（t+t+）,c c（t t）为一个与）为一个与r r（t t）同频率的正）同频率的正弦输出响应，只是幅值和相角弦输出响应，只是幅值和相角 发生了变化。发生了变化。c（t）r（t）CR自动控制原理自动控制原理Chapter 5 Frequency Analytical Method 由于该网络的传递函数为：由于该网络的传递函数为：C（S）1G（S）=其中其中 T=RC R（S）TS+1 如果如果c c（t t）与）与r
3、 r（t t）用复向量表示，则有：）用复向量表示，则有：C（j）Zc 1/jC 1 1C 1 1 =R（j）Zr+Zc R+1/jCC 1+jRC C 1+jT e j（）=A（）e j（）=G（j）1+2T2 其中其中 （）=-arctgT=-arctgT-c-c（t t）与）与r r（t t）之间的相位差，）之间的相位差，A A（）=1/1+=1/1+2 2T T2 2-c-c（t t）与）与r r（t t）的幅值之比，）的幅值之比，定义定义:（）为系统的）为系统的相频特性相频特性(phase-frequency characteristic)；A A（）为系统的）为系统的幅频特性幅频特性
4、(amplitude-frequency characteristic)；而：而：A A（）e e j j（）则完整地描述了系统在正弦输则完整地描述了系统在正弦输入下系统输出之间随频率入下系统输出之间随频率的变化规律的变化规律-定义定义G G（jj）为）为系统的系统的频率特性频率特性。自动控制原理自动控制原理 比较网络的传递函数和复向量表达式，可见它们之间可以通比较网络的传递函数和复向量表达式，可见它们之间可以通过下式进行转换：（证明见教材过下式进行转换：（证明见教材P198-199P198-199）G G（S S）S=jS=j=G=G（j）即：对于一个线性定常系统，若已知其传递函数即：对于一
5、个线性定常系统，若已知其传递函数G G（S S），只要），只要将将 G G（S S）中的）中的S S 以以jj来代替，便可以得到系统的频率特性表达来代替，便可以得到系统的频率特性表达式。式。2 2 频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法常用的几何表示法有：常用的几何表示法有：极坐标图极坐标图：即系统幅相频率特性曲线（幅相曲线）。用以在即系统幅相频率特性曲线（幅相曲线）。用以在 复平面上描述系统频率特性复平面上描述系统频率特性 BodeBode图（对数坐标图）图（对数坐标图）：即系统对数频率特性曲线。用以在即系统对数频率特性曲线。用以在对数坐标系中描述系统频率特性；对数坐标系中描述系统频率特性
6、；尼柯尔斯图（对数幅相图）尼柯尔斯图（对数幅相图）：用以描述闭环系统的频率特性。用以描述闭环系统的频率特性。（1 1）幅相曲线）幅相曲线 绘制幅相曲线时，以绘制幅相曲线时，以为参变量（为参变量（：0+0+），将），将幅频特幅频特性性和和相频特性相频特性同时表示在复平面上。同时表示在复平面上。自动控制原理自动控制原理例如：例如：RCRC网络的频率特性，网络的频率特性，根据其根据其A A（）和）和（）的表达式，）的表达式，在参变量在参变量00）时，可绘制）时，可绘制RCRC网络的幅相曲线如右图所示。网络的幅相曲线如右图所示。1（=0=0，=0=0）0 G（j）j=，=90=90（2 2）对数频率特
7、性曲线）对数频率特性曲线(Bode(Bode图图)对数频率特性的对数频率特性的定义定义：L L（）=20 lg=20 lg G（j）-对数幅频特性对数幅频特性 （）=G（j）-对数相频特性对数相频特性对数频率特性曲线对数频率特性曲线：由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线：由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。组成。横坐标：表示频率横坐标：表示频率（rad/srad/s），对数分度），对数分度lglg（对（对不均匀）；不均匀）；纵坐标：表示对数幅频特性时，为对数幅频特性的函数值（纵坐标：表示对数幅频特性时，为对数幅频特性的函数值（dBdB）；）；表示对数相频特性时，为对数相频特性的函数值（弧
8、度表示对数相频特性时，为对数相频特性的函数值（弧度 或度）；或度）；纵坐标为均匀分度。纵坐标为均匀分度。自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-4)对数分度方法：由于对数分度方法：由于 1 11010100100100010001000010000lglg 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 10lg0 00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1 1十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程 1 2 3 4 5 6
9、7 8 910 20 30 40 50 60 80 100一倍频程一倍频程 一倍频程一倍频程二倍频程二倍频程结论结论:(1):(1)一个十倍频程一个十倍频程 =3.32=3.32 一倍频程一倍频程 (lg10(lg10lg2=3.32)lg2=3.32)；(2)(2)频率每变化一倍频率每变化一倍(一倍频程一倍频程),),其间隔距离为其间隔距离为0.3010.301个单位长度。个单位长度。自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-5)3 3 几种确定频率特性的方法几种确定频率特性的方法 （1 1）实验法：实验法：改变改变 频率特性曲线频率特性曲线 频率特性频率特性 G G（S S）；）；（2
10、2）解析法：解析法：G G（S S）G G（jj）频率特性频率特性 ；（3 3）零极点图法：零极点图法：5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性(Frequency Characteristic of Typical Link)1 1 比例环节比例环节:传递函数传递函数 G(S)=K G(S)=K 频率特性频率特性 G（j）=K(1)(1)幅相曲线幅相曲线:幅频特性幅频特性 A A（）=K(=K(与与大小无关大小无关)相频特性相频特性 （）=0=0 比例环节的幅相曲线为复平面实轴上比例环节的幅相曲线为复平面实轴上 的一个点的一个点 (K,0)(K,0)；见图见图(a)(a)所示。所
11、示。jK0(a)(a)比例环节的幅相曲线比例环节的幅相曲线自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-6)（2 2）对数频率特性曲线）对数频率特性曲线(Bode(Bode图图):):对数幅频特性对数幅频特性 L()=20lgL()=20lgG（j）=20lg20lg K (与与大小无关大小无关)对数相频特性对数相频特性 （）=0=0故：故：比例环节的比例环节的BodeBode图如下图图如下图(b)(b)所示。所示。20lg20lg K0（）L（）0(b)(b)比例环节的比例环节的BodeBode图图2 2 积分环节：积分环节：传递函数传递函数 G(S)=1/S G(S)=1/S 频率特性频率特
12、性 G（j）=1/j=A（）e j（）=1/1/ej90(1)(1)幅相曲线幅相曲线:幅频特性幅频特性 A（）=1/1/相频特性相频特性 （）=-90=-90自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-7)积分环节的幅相曲线为复平面负虚轴部分；见下图积分环节的幅相曲线为复平面负虚轴部分；见下图(a)(a)所示。所示。（2 2）对数频率特性曲线）对数频率特性曲线(Bode(Bode图图):):(a)(a)积分环节的幅相曲线积分环节的幅相曲线0j0（）20dB/dec20dB/decL（）1010-90-9020200(b)(b)积分环节的积分环节的BodeBode图图对数幅频特性对数幅频特性 L
13、()=20lgL()=20lgG（j）=20lg20lg 对数相频特性对数相频特性 （）=9090 积分环节的积分环节的BodeBode图如下图图如下图(b)(b)所示。所示。3 3 微分环节：微分环节：传递函数传递函数 G(S)=S G(S)=S 频率特性频率特性 G（j）=j=e j90 自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-8)(1)(1)幅相曲线幅相曲线:幅频特性幅频特性 A（）=相频特性相频特性 （）=90=90 微分环节的幅相曲线为复平面正虚轴部分；微分环节的幅相曲线为复平面正虚轴部分；见下图见下图(a)(a)所示。所示。（2）对数频率特性曲线对数频率特性曲线(Bode(Bo
14、de图图):):对数幅频特性对数幅频特性 L()=20lgL()=20lgG（j）=20lg20lg 对数相频特性对数相频特性 （）=90=90 微分环节的微分环节的BodeBode图如下图图如下图(b)(b)所示。所示。0(a)(a)微分环节的幅相曲线微分环节的幅相曲线j020dB/dec20dB/decL（）1010909020200（）(b)(b)微分环节的微分环节的BodeBode图图自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-9)4 4 惯性环节惯性环节:传递函数传递函数 G(S)=1/(1+TS)G(S)=1/(1+TS)频率特性频率特性 G（j）=1/(1+1/(1+jT)=T)
15、=A（）e j（）(1)(1)幅相曲线幅相曲线:幅频特性幅频特性 A（）=1/1+1/1+2 T T2 相频特性相频特性 （）=-arctgT=-arctgT 惯性环节的幅相曲线见下图惯性环节的幅相曲线见下图(a)(a)所示。所示。(RC(RC网络的相频特性网络的相频特性)（2 2）对数频率特性曲线对数频率特性曲线(Bode(Bode图图):):1 1）对数幅频特性：）对数幅频特性：L()=20lgAL()=20lgA（）=20lg1+20lg1+2 T T2 当当 T1T1即即1/T1T1即即1/T1/T时时,L(),L()20lgT 20lgT 此时此时,斜率为斜率为 20Db/dec,2
16、0Db/dec,与零分贝线的交点为与零分贝线的交点为=1/T,=1/T,该频率称为交接频率。即惯性环节的交接频率为该频率称为交接频率。即惯性环节的交接频率为=1/T=1/T。故故:惯性环节的对数幅频特性曲线可以用两条直线来近似地描绘。惯性环节的对数幅频特性曲线可以用两条直线来近似地描绘。如要精确绘制时需要对其进行修正如要精确绘制时需要对其进行修正(见教材见教材P204)P204)。自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-10)2 2）对数相频特性：）对数相频特性：（）=-arctgT=-arctgT=0=0时，时，（0 0）=0=0 =1/T=1/T时，时，（1/T1/T）=-45=-45
17、 =时，时，（）=-90=-90所以，惯性环节的所以，惯性环节的BodeBode图如下图图如下图(b)(b)所示。所示。20dB/dec20dB/decL（）1/T0-90-9020200（）(b)(b)0(=0(=，=90=90)1（=0=0，=0=0）0A（）j(a)(a)惯性环节的频率特性曲线图惯性环节的频率特性曲线图 自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-11)5 5 一阶微分环节一阶微分环节:传递函数传递函数 G(S)=1+TSG(S)=1+TS 频率特性频率特性 G G（jj）=1+jT=A=1+jT=A（）e e j j（）(1)(1)幅相曲线幅相曲线:相频特性相频特性 （
18、）=arctgT=arctgT 惯性环节的幅相曲线见下图惯性环节的幅相曲线见下图(a)(a)所示。所示。（2 2）对数频率特性曲线）对数频率特性曲线(Bode(Bode图图):):1 1）对数幅频特性对数幅频特性 L()=20lgAL()=20lgA（）=20lg1+20lg1+2 T T2 幅频特性幅频特性 A（）=1+1+2 T T2 当当 T1T1即即1/T1T1即即1/T1/T时时,L()20lgT,L()20lgT 此时此时,斜率为斜率为 20dB/dec,20dB/dec,与零分贝线的交点为与零分贝线的交点为=1/T,=1/T,即一阶微分环节的交接频率为即一阶微分环节的交接频率为=
19、1/T=1/T。故故:一阶微分环节的一阶微分环节的Bode图可以用两条直线来近似地描绘。图可以用两条直线来近似地描绘。如要精确绘制时，需要对其进行修正如要精确绘制时，需要对其进行修正(参见教材参见教材P204P204方法方法)。自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-12)2 2）对数相频特性）对数相频特性 （）=arctgT=arctgT=0=0时，时，（0 0）=0=0 =1/T=1/T时，时，（1/T1/T）=45=45 =时，时，（）=90=90 一阶微分环节的一阶微分环节的BodeBode图如下图图如下图(b)(b)所示。所示。j(a)(a)1=01=00=9090（）20dB/
20、dec20dB/decL（）1/T020200(b)(b)一阶微分环节的频率特性曲线图一阶微分环节的频率特性曲线图 6 6 振荡环节振荡环节:传递函数传递函数 G(S)=n n2/（S2+2n nS+S+n n2）频率特性频率特性 G（j）=n n2/（j）2+2n n（j）+n n2 自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-13)(1)(1)幅相曲线幅相曲线:相频特性相频特性 （）=-arctg=-arctg（2 2/n/n）/（1-1-2/nn2）在在0011上取定两个上取定两个值值(大小各一大小各一)，然后将，然后将/n/n在在00上取上取值，值，分别计算出分别计算出A（）和）和（）
21、。其中，几个特征点为：）。其中，几个特征点为：=0=0时，时，A（0 0）=1，（0 0）=0=0=n=n时，时，A（nn）=1/2，（nn）=-90=-90=时，时，A（）=0，（）=-180=-180 振荡环节的幅相曲线见下图振荡环节的幅相曲线见下图(a)(a)所示。所示。幅频特性幅频特性 A（）=1/（1-1-2/nn2）2+4+422/nn2 注：关于振荡环节的谐振峰值注：关于振荡环节的谐振峰值MrMr，谐振频率，谐振频率rr，见，见P206P206 MrMr=A=A（rr）=1/2=1/21-1-2 r=n1-2 r=n1-22（2 2）对数频率特性曲线）对数频率特性曲线(Bode(
22、Bode图图):):自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-14)1 1）对数幅频特性对数幅频特性 L()=L()=20lg20lg（1-1-2/nn2）2+4+422/nn2 当当 /n 1/n 1即即n1/n 1即即nn时时,L()L()20lg20lg（2/nn2）2+4+422/nn2 40lg40lg（/nn）由此可见，由此可见，nnn时时,对数幅频特性为斜率对数幅频特性为斜率-40dB/dec-40dB/dec的直线的直线 故：振荡环节环节的故：振荡环节环节的BodeBode图也可以用两条直线来近似地描绘，图也可以用两条直线来近似地描绘，如要精确绘制时，亦需要对其进行修正如要精
23、确绘制时，亦需要对其进行修正(参见教材参见教材P207P207方法方法)。振荡环节的交接频率为振荡环节的交接频率为=n=n。2 2）对数相频特性：对数相频特性：（）=-arctg=-arctg（2 2/n/n）/（1-1-2/nn2）（可参见前面（可参见前面“幅相曲线幅相曲线”方法分析）几个特征点为：方法分析）几个特征点为：=0 =0时，时，A（0 0）=1，（0 0）=0=0 =n =n时，时，A（nn）=1/2，（nn）=-90=-90 =时，时，A（）=0，（）=-180=-180 20lg20lg（2/nn2）2 2003.9.(5-15)自动控制原理自动控制原理振荡环节的振荡环节的B
24、odeBode图如下图图如下图(b)(b)所示。所示。40dB/dec40dB/decL（）nn0-180-18020200（）(b)(b)-12 2=0=0大大小小10j(a)(a)振荡环节的频率特性曲线图振荡环节的频率特性曲线图 7.二阶微分环节二阶微分环节:传递函数传递函数:G(S)=:G(S)=（S/nn）2+(2/nn)S+1S+1频率特性频率特性:G G（j j）=（j j）2 2+2+2nn（j j）+n+n2 2/nn2 2 幅频特性幅频特性 A（）=（1-1-2/nn2）2+4+422/nn2 相频特性相频特性 （）=arctg=arctg 2 2/n/n）/（1-1-2/n
25、n2）仿照仿照“振荡环节振荡环节”频率特性的分析方法，可分别得到其幅相曲线频率特性的分析方法，可分别得到其幅相曲线及及BodeBode图如下图图如下图(a)(a)、(b)(b)所示：所示：自动控制原理自动控制原理2003.9.(5-16)nn=0=010j（a）nn01801800（）(b)(b)4040L（）2020二阶微分环节的频率特性曲线图二阶微分环节的频率特性曲线图 8 8 延迟环节：传递函数延迟环节：传递函数 G(S)=e G(S)=e-S 频率特性频率特性 G（j）=1 1e e-j=A*e j(1)(1)幅相曲线幅相曲线:幅频特性幅频特性 A（）=1 相频特性相频特性 （）=-=
26、-（radrad）=57.3(57.3()（2 2）对数频率特性曲线对数频率特性曲线(Bode(Bode图图):):1 1）对数幅频特性对数幅频特性 L()=20lgAL()=20lgA（）=0 0 2 2）对数相频特性：对数相频特性：（）=-=-（radrad）=57.3(57.3()2003.9.(5-17)自动控制原理自动控制原理可得延迟环节的频率特性曲线如下所示可得延迟环节的频率特性曲线如下所示:00小小大大(=0)(=0)0j1延迟环节的频率特性曲线图延迟环节的频率特性曲线图 5.3 5.3 系统开环频率特性系统开环频率特性(Frequency Characteristic in O
27、pen-loop System)1 1 开环幅相特性开环幅相特性 例题例题1 1：设某：设某0 0型系统开环传递函数型系统开环传递函数G G（S S）=K/=K/（T T1S+1S+1）（）（T T2S+1S+1）（T T1 T T2），试绘制系统的开环幅相曲线。），试绘制系统的开环幅相曲线。解：解：G G（S S）可以认为是由）可以认为是由 K K、1/1/（T T1S+1S+1）、）、1/1/（T T2S+1S+1）三个）三个典型环节串联组成。典型环节串联组成。即即 G G（S S）=G=G1（S S）G G2（S S）G G3（S S）由于环节由于环节 K K、1/1/（T T1S+1S
28、+1）、）、1/1/（T T2S+1S+1）的频率特性分别为）的频率特性分别为:2003.9.(5-18)自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理 G G1（jj）=K=K=A1（）e j 1（）G G2（jj）=1/=1/（jTjT1+1+1）=A2（）e j 2（）G G3（jj）=1/=1/（jTjT2+1+1）=A3（）e j 3（）所以，开环频率特性为：所以，开环频率特性为：G G（jj）=G=G1（jj）G G2（jj）G G3（jj）=A1（）A2（）A3（）e j 1（）+2（）+3（）故故 开环幅频特性：开环幅频特性：A（）=A1（）A2（）A3（）=K/K/2T T
29、12+1+1 2T T22+1+1开环相频特性：开环相频特性：（）=G G（jj）=1（）+2（）+3（）=0+（arctgTarctgT1）+（arctgTarctgT2）当当K、T T1、T T2确定时，计算出确定时，计算出：00所对应的所对应的A（）和）和（）的值，并绘制于的值，并绘制于S S平面上即得到系统的开环幅相曲线。平面上即得到系统的开环幅相曲线。曲线的起点：曲线的起点：limlim G G（jj）=K=K0 00曲线的终点：曲线的终点：limlim G G（jj）=0=0180 2003.9.(5-19)曲线与坐标轴的交点：曲线与坐标轴的交点：可由可由G G（jj）=0=0分别
30、求得曲线与实轴和虚轴的交点分别求得曲线与实轴和虚轴的交点:（也可能（也可能不存在交点，而有渐近线的情形，如不存在交点，而有渐近线的情形，如P212P212例例5-45-4）G G（jj）=K/=K/（jTjT1+1+1）（）（jTjT2+1+1）=K/(1 =K/(1T T1 T T22)（T T1+T+T2）jj =K(1 =K(1T T1 T T22)（T T1+T+T2）j/(1j/(1T T1 T T22)2 （T T1+T+T2）22 再令再令ImGImG（jj）=0=0，即（，即（T T1+T+T2）=0=0有有=0=0 则则ReGReG（jj）=K =K 与实轴的交点与实轴的交点
31、 令令 ReGReG（jj）=0=0，即，即 1 1T T1 T T22=0或或=1/T=1/T1 T T2 则则 ImGImG（jj）=KTKT1 T T2 /（T T1+T+T2）与虚轴的交点与虚轴的交点 故故 0 0型系统开环型系统开环幅相曲线为：幅相曲线为：=K（=0=0）0j2003.9.(5-20)自动控制原理自动控制原理结论结论：1 1）对）对0 0型系统，当型系统，当=0=0时，有时，有G G（j0j0）=K=K（开环增益）（开环增益）且总有且总有limlim G G（jj）=K=K0 00即即:0:0型系统开环幅相曲线的起点在实轴正向的型系统开环幅相曲线的起点在实轴正向的 K
32、 K 处处 2 2）若开环传递函数中除有比例环节）若开环传递函数中除有比例环节K K以外，还有以外，还有n n个惯性环节，则有：个惯性环节，则有：limlim G G（jj）=0=0（90）n 3 3）若还有）若还有m m个微分环节，则有：个微分环节，则有：limlim G G（jj）=0=0（90）（nm）但此时的幅相曲线有凹凸情形发生。但此时的幅相曲线有凹凸情形发生。2 2 开环幅相特性曲线的绘制方法开环幅相特性曲线的绘制方法 1 1）直接利用开环幅相特性）直接利用开环幅相特性 计算出计算出：00所对应的所对应的A（）和）和（）的值，并绘）的值，并绘制于制于S S平面上即得到系统的开环幅相
33、曲线。（如上例）平面上即得到系统的开环幅相曲线。（如上例）2003.9.(5-21)自动控制原理自动控制原理2 2）复数法）复数法 计算出计算出：00所对应的所对应的ReGReG（jj）和和ImGImG（jj）的值，的值，并绘制于并绘制于S S平面上即得到系统的开环幅相曲线。平面上即得到系统的开环幅相曲线。3 3）零极点图法）零极点图法 4 4）计算机方法）计算机方法 3 3 其它各类型系统开环幅相特性曲线其它各类型系统开环幅相特性曲线 根据零型系统的分析方法，可以得到其它类型系统开环幅相根据零型系统的分析方法，可以得到其它类型系统开环幅相特性曲线大致如下图所示：特性曲线大致如下图所示：3型型
34、2型型1型型0型型0j各类型系统的幅相曲线各类型系统的幅相曲线 2003.9.(5-22)自动控制原理自动控制原理4 4 系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性 例题例题2 2：设系统的开环传递函数：设系统的开环传递函数G G（S S）=K/S=K/S（T T1S+1S+1）（）（T T2S+1S+1）（T T1 T T2），试绘制系统开环对数频率特性曲线（），试绘制系统开环对数频率特性曲线（BodeBode图）图）解：解：因为系统的开环频率特性为：因为系统的开环频率特性为：G G（jj）=K/j=K/j（jTjT1+1+1）（）（jTjT2+1+1），故有：），故有：1 1）对数幅频特性）
35、对数幅频特性 L L（）=20lg=20lgG G（jj）=20lgK=20lgK20lg20lg20lg20lg2T T12+1+120lg20lg2T T22+1+1 =L =L1（）L L2（）L L3（）L L4（）即即 L L1（）=20lgK =20lgK ；L L2（）=20lg20lg L L3（）=20lg20lg2T T12+1+1 L L4（）=20lg20lg2T T22+1+12 2）对数相频特性）对数相频特性（）=G G（jj）=1（）2（）3（）3（）=090arctgTarctgT1arctgTarctgT2 2003.9.(5-23)自动控制原理自动控制原理即
36、即 1（）=0 2（）=9 90 3（）=arctgTarctgT1 4（）=arctgTarctgT2 根据上述分析，可以分别绘制根据上述分析，可以分别绘制L L1（）、）、L L2（）、）、L L3（）、）、L L4（）及）及1（）、）、2（）、）、3（）、）、4（），然后对其进），然后对其进行叠加，即可得到系统的行叠加，即可得到系统的BodeBode图如下：图如下：0.1 1 1/T T1 10 1/T T1 100L()40200-20-40L2()L3()L4()L1()L()（）-90900-180-270结论结论:上述方法可以推广应用至上述方法可以推广应用至n个典型环节的情形个典
37、型环节的情形.即即 n个典型环节个典型环节的对数频率特性都可以采用叠加法或解析法直接计算绘制。的对数频率特性都可以采用叠加法或解析法直接计算绘制。2003.9.(5-24)自动控制原理自动控制原理5 Bode5 Bode图的绘制步骤（图的绘制步骤（G G（S S）曲线）曲线）确定各环节的交接频率：）确定各环节的交接频率：1、2、n，并表示在，并表示在轴上；轴上；其中其中 （TS+1）及）及1/（TS+1）的交接频率为）的交接频率为1/T；振荡环节及；振荡环节及二阶微分环节的交接频率为二阶微分环节的交接频率为n）在）在=1=1处量出幅值为处量出幅值为20lgK20lgK（A A点）。其中点）。其
38、中K K为开环放大系数。为开环放大系数。）绘制低频段对数渐近线。绘制低频段对数渐近线。过过A A点，作一条斜率为点，作一条斜率为2020（dB/decdB/dec）的直线，直到第一个交）的直线，直到第一个交接频率接频率1处（处（B点）。点）。其中其中为为G G（S S）中积分环节的个数。）中积分环节的个数。若若1 1，则低频段对数渐近线止于，则低频段对数渐近线止于1处（处（B点），但其延长点），但其延长线经过线经过A点点。）从低频段渐近线开始，沿从低频段渐近线开始，沿轴的正方向，每遇到一个交接频率轴的正方向，每遇到一个交接频率时，渐近线的斜率就要改变一次。并依次由低频段时，渐近线的斜率就要改变
39、一次。并依次由低频段高频段画出各个高频段画出各个频段的渐近线，即得到系统的开环对数频率特性曲线（频段的渐近线，即得到系统的开环对数频率特性曲线（BodeBode图）。图）。斜率的改变规律：斜率的改变规律：a a 遇到惯性环节的交接频率时，斜率增加遇到惯性环节的交接频率时，斜率增加-20 dB/dec-20 dB/dec；b b 遇到一阶微分环节的交接频率时，斜率增加遇到一阶微分环节的交接频率时，斜率增加20 dB/dec20 dB/dec；c c 遇到振荡环节的交接频率时，斜率增加遇到振荡环节的交接频率时，斜率增加-40 dB/dec-40 dB/dec；d d 遇到二阶微分环节的交接频率时，
40、斜率增加遇到二阶微分环节的交接频率时，斜率增加40 dB/dec40 dB/dec；2003.9.(5-25)自动控制原理自动控制原理例题例题1 1：教材：教材P213P213例题例题5-65-6 例题例题2 2：教材：教材P214P214例题例题5-75-7 6.最小相角系统与非最小相角系统特点最小相角系统与非最小相角系统特点 ）定义定义：开环稳定的系统称之为：开环稳定的系统称之为“最小相角系统最小相角系统”；否则为；否则为“非最小相角系统非最小相角系统”。（。（P215P215）特点特点：1 1）P216 P216 （1 1）（）（4 4）四点）四点2 2）只包含七个典型环节的系统一定是最
41、小相角系统；只包含七个典型环节的系统一定是最小相角系统；含有不稳定环节或延迟环节的系统，则属非最小相角系统。含有不稳定环节或延迟环节的系统，则属非最小相角系统。5.4 5.4 频率稳定判据频率稳定判据(Frequency Stability Criteria)1 1 频率稳定判据包括频率稳定判据包括 奈奎斯特（奈氏）判据：用于幅相曲线；奈奎斯特（奈氏）判据：用于幅相曲线；对数频率稳定判据：对数频率稳定判据：用于用于BodeBode图。图。2 2 频率稳定判据的特点：频率稳定判据的特点：（P217P217四点）四点）3 3 辅助函数辅助函数F F（S S）的引入（证明略）的引入（证明略）根据奈氏
42、判据的前提，特引入辅助函数根据奈氏判据的前提，特引入辅助函数F F（S S）=1=1G G（S S）H H（S S），），该辅助函数该辅助函数F F（S S）的特点：）的特点：2003.9.(5-26)自动控制原理自动控制原理1 1）F F（S S）的极点是）的极点是G G（S S）H H（S S）的开环极点；）的开环极点；F F（S S）的零点是）的零点是1 1G G（S S）H H（S S）=0=0的特征根。的特征根。2 2）F F（S S）的零点与极点个数相同；（分子分母同阶）的零点与极点个数相同；（分子分母同阶）3 3）F F（S S）与）与G G（S S）H H（S S）之间相差一个
43、常数）之间相差一个常数1 1。即。即F F（S S）曲线可）曲线可由由G G（S S）H H（S S）曲线右移一个单位得到。）曲线右移一个单位得到。4 4 引出奈氏判据的两种方法引出奈氏判据的两种方法 1 1）教材）教材P218P218221221（自学）（自学）2 2）幅角定理（映射定理）幅角定理（映射定理）：如果：如果SS上封闭曲线上封闭曲线ss内有内有Z Z个个 F F（S S）的零点的零点P P个个F F（S S）的极点，那么，复变量）的极点，那么，复变量S S沿着沿着ss顺时针旋转一圈时，顺时针旋转一圈时，在在FF（S S）上的上的FF曲线则绕其原点逆时针转过曲线则绕其原点逆时针转过
44、P-Z=RP-Z=R圈。圈。其中：其中：P-FP-F（S S）在）在ss内的极点数；内的极点数；Z-FZ-F（S S）在）在ss内的零点数；内的零点数；R-FR-F曲线绕其原点逆时针转过的圈数；曲线绕其原点逆时针转过的圈数；R=0R=0时，说明时，说明FF不包含不包含FF（S S）原点；原点；R R0 0时，表示时，表示FF曲线绕其原点转过的圈数为顺时针方向；曲线绕其原点转过的圈数为顺时针方向；2003.9.(5-27)自动控制原理自动控制原理 证明如下证明如下：设设F F（S S）的零点、极点在）的零点、极点在SS上的分布如图示，并有一条封闭曲上的分布如图示，并有一条封闭曲线线ss包含包含F
45、 F（S S）的第）的第i i个零点个零点ZiZi，在曲线，在曲线ss上选取一点上选取一点S S，当，当S S沿着沿着ss顺时针旋转一圈时，总有顺时针旋转一圈时，总有:（S-PjS-Pj）=0 =0 （j=1j=1，2 2，n n）（S-ZjS-Zj）=0 =0 （j=1j=1，2 2，m m，jiji）而而 （S-ZiS-Zi）=-2=-2 同理同理 （S-PiS-Pi）=2=2 其中其中 ZiZi、Pi-Pi-为曲线为曲线ss之内的零、极点；之内的零、极点；ZjZj、PjPj-为曲线为曲线ss之外的零、极点；之外的零、极点；FFFF（S S）FF（S S）OssSs-p1s-p3s-z1s
46、-zis-p2OOSs-ziO2003.9.(5-28)自动控制原理自动控制原理若有若有 Z个零点被曲线个零点被曲线s包围，则有包围，则有 （S-Zi）=Z（-2）;同理：同理：若有若有P P个极点被曲线个极点被曲线ss包围，则有包围，则有 （S-PiS-Pi）=P=P22;又因为又因为:F:F（S S）=（S-ZjS-Zj）+（S-PjS-Pj）故有故有:FF（S S）=（S-ZjS-Zj）+（S-PjS-Pj）所以，若有所以，若有 Z Z个零点、个零点、P P个极点被曲线个极点被曲线ss包围，则有：包围，则有：F F（S S）=（S-ZjS-Zj）+（S-PjS-Pj）=Z=Z（-2-2）
47、+P+P2=2=（P-ZP-Z）2=R2=R22 即有即有:R=P-Z:R=P-Z 5 5 奈氏判据奈氏判据：反馈系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临：反馈系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点（界点（-1-1，j0j0）的圈数）的圈数R R等于等于G G（S S）H H（S S）在右半）在右半S S平面上的开环极平面上的开环极点数点数P P，即：，即：Z=P RZ=P R若若PRPR，则，则Z0Z0，那么，系统不稳定。而且，此时闭环正实部特，那么，系统不稳定。而且，此时闭环正实部特 征根的个数为征根的个数为Z Z个。个。2003.9.(5-29)自动控制原理自动控制原理其中，其中，
48、R R奈氏曲线绕（奈氏曲线绕（-1-1，j0j0）逆时针（）逆时针（R R0 0）转过的圈数；）转过的圈数；P PF F（S S）在右半）在右半S S平面上的极点数；平面上的极点数；Z ZF F（S S）在右半）在右半S S平面上的零点数；平面上的零点数；奈氏曲线奈氏曲线 -指指（-，+）时，）时，G G（jj）的整个幅相曲线。）的整个幅相曲线。例题例题1 1：已知下图各系统中开环都是稳定的（即：已知下图各系统中开环都是稳定的（即P=0P=0），试根据各图），试根据各图奈氏曲线分析系统稳定性。奈氏曲线分析系统稳定性。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因开环都是稳定的，解：因开环都是
49、稳定的，即即P=0P=0,根据奈氏判据：根据奈氏判据：图（图（a a）之奈氏曲线不包围（）之奈氏曲线不包围（-1-1，j0j0）点，即）点，即R=0R=0，故，故Z=P-R=0Z=P-R=0，所以，系统稳定。所以，系统稳定。图（图（b b）之奈氏曲线恰好穿过（）之奈氏曲线恰好穿过（-1-1，j0j0）点，系统处于临界稳定。）点，系统处于临界稳定。图（图（c c）之奈氏曲线顺时针包围（）之奈氏曲线顺时针包围（-1-1，j0j0）点两圈，即）点两圈，即R=-2R=-2，故故Z=P-R=20Z=P-R=20，所以，系统不稳定。，所以，系统不稳定。2003.9.(5-30)自动控制原理自动控制原理6
50、6 根据幅相曲线判定系统稳定性根据幅相曲线判定系统稳定性 若已知若已知（0 0，+）时系统的开环幅相曲线和）时系统的开环幅相曲线和G G（S S）H H（S S）在右）在右半半S S平面上的开环极点数平面上的开环极点数P P，根据该幅相曲线包围临界点（，根据该幅相曲线包围临界点（-1-1，j0j0）的圈）的圈数数N N（逆时针为正）是否满足：（逆时针为正）是否满足：Z=P Z=P 2 N2 N 来确定系统的稳定性。来确定系统的稳定性。当当Z=0Z=0时，闭环系统稳定；时，闭环系统稳定；当当Z0Z0时，闭环系统不稳定，且闭环特征方程有时，闭环系统不稳定，且闭环特征方程有Z Z个正实部根；个正实部
