1、2.随机序列的数字特征估计函数随机序列的数字特征估计函数特征名特征名 函数名函数名用法用法均值均值mean()m=mean(x)方差方差var()sigma2=var(x),sigma2=var(x,1)互相关互相关 xcorr()c=xcorr(x,y)c=xcorr(x)c=xcorr(x,y,option)biased,unbiasedc=xcorr(x,option)coeff,none050100150200250300350400450500-10-5051001002003004005006007008009001000-0.500.51r=xcorr(x,coeff)3.功率谱
2、估计功率谱估计(1)自相关法自相关法先求自相关函数的估计，然后求傅里叶变换先求自相关函数的估计，然后求傅里叶变换|101()()()|NmXnRmx nm x nNm|10()()NmjnXXnGRm e（2）周期图法）周期图法10()()NjnnXx n e 21()|()|XGXN(Pxx,w)=periodogram(x)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91024nx(n)=exp(j*w0*n-j*pi)+exp(j*w1*n-j*0.7*pi)+e(n)050100150200250300350400450500-50050PSD direct compute0
3、50100150200250300350400450500-100-500periodogram function应用实例：应用实例：01()exp()exp(0.7)()x njnjjnje n 01100,50,10,1000SNRdB Fs 功率谱估计功率谱估计PeriodogramPeriodogram周期图法周期图法periodogramperiodogramWelchWelchAveraged Averaged periodogramsperiodograms of of overlapped,windowed signal overlapped,windowed signal s
4、ectionssectionspwelchpwelch Yule-Walker Yule-Walker ARARAutoregressive(AR)spectral Autoregressive(AR)spectral estimate of a time-series from estimate of a time-series from its estimated autocorrelation its estimated autocorrelation functionfunctionpyulearpyulearpburgpburg Autoregressive(AR)spectral
5、Autoregressive(AR)spectral estimation of a time-series by estimation of a time-series by minimization of linear prediction minimization of linear prediction errorserrorspburgpburgCovarianceCovarianceAutoregressive(AR)spectral Autoregressive(AR)spectral estimation of a time-series by estimation of a
6、time-series by minimization of the forward minimization of the forward prediction errors prediction errors pcovpcov（4）概率密度估计）概率密度估计Ksdensity():估计概率密度估计概率密度Hist()：估计直方图估计直方图a=0.8;sigma=2;N=5000;u=randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a2);for i=2:N x(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i);end r=xcorr(x,coeff);f,xi=ksdens
7、ity(x);subplot(2,1,1)plot(xi,f);subplot(2,1,2);hist(x,-10:0.1:10);-15-10-505101500.050.10.150.2-15-10-5051015020406080第二章学习小结第二章学习小结2.1 2.1 随机过程的基本概念和定义随机过程的基本概念和定义 用随机相位信号与接收机噪声说明随机过程的概念用随机相位信号与接收机噪声说明随机过程的概念定义：对随机试验的结果指定一个时间函数（样本函数）定义：对随机试验的结果指定一个时间函数（样本函数）随机过程是时间与随机试验结果的二维函数。随机过程是时间与随机试验结果的二维函数。2
8、.2 2.2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述 概率分布概率分布 PDF CDFPDF CDF 数字特征：均值、方差、相关函数数字特征：均值、方差、相关函数2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 sss wss sss wss 循环平稳循环平稳 平稳随机过程的自相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数的性质2.4 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的联合分布和互相关函数2.5 2.5 随机过程的功率谱随机过程的功率谱 定义定义,维纳维纳-辛钦定理辛钦定理 功率谱的性质功率谱的性质 功率谱的计算功率谱的计算 随机序列的功率谱随机序列的功率谱2.6 2.6 典型随机过程典型随机过程
9、 白噪声白噪声 正态随机过程正态随机过程2.7 2.7 基于基于MatlabMatlab的统计分析的统计分析 随机数的产生随机数的产生iidiid随机数的产生：用随机数的产生：用MATLABMATLAB函数产生函数产生 任意分布随机数产生任意分布随机数产生相关正态随机数的产生相关正态随机数的产生特征估计：均值，方差特征估计：均值，方差 相关函数，功率谱相关函数，功率谱 PDFPDF2.8 2.8 信号处理实例信号处理实例 图像处理的实例图像处理的实例直方图均衡直方图均衡 相移键控的数字调制相移键控的数字调制 PAMPAM信号自相关函数与功率谱分析信号自相关函数与功率谱分析 关于相关函数的思考关
10、于相关函数的思考考虑一个随机相位信号考虑一个随机相位信号()cos(2(0.1)x nAn2()cos(2(0.1)2AR mm()cos(2(0.1)r mm这是一个可预测的过程，即如果知道某个时刻的值，这是一个可预测的过程，即如果知道某个时刻的值，那么未来的值就可以完全预测。如那么未来的值就可以完全预测。如(0)cos()xA1cos(0)/)xA 1()cos(2(0.1)cos(0)/)x nAnxA但如果采用线性预测但如果采用线性预测00()()x nkax nb00000()()()()()e nkx nkx nkx nkax nb00000()()()()()e nkx nkx
11、nkx nkax nb22000()()()E e nkEx nkax nb2000()2 ()()0E e nkE x nkax nbb 000()()bE x nkaE x nmam0000()()()()x nkax nbax nmamma x nm0000000()()()()()()()()e nkx nkx nkx nkax nmamx nkma x nm22000()()()E e nkEx nkma x nm20000()2()()()E e nkaEx nkma x nmx nm 20000000000()2 ()()()()()2 ()()()()E e nkaE x nk
12、ax nE x nkaE x nx nE x nkE x nka x nE x n0020()()()Ex nkb x naE xn000()()()0Ex nkma x nmx nm200220()()()()(0)XXEx nkm x nmRkmaEx nmRm00202()()()()(0)XXx nkma x nmRkmmx nmRm当当m=0时，时，000()()()()()(0)XXXRkx nkx nrk x nR对于随机相位信号对于随机相位信号00()cos2(0.1)()x nkk x n()cos2(0.1)(0)cos2(0.1)cosx kk xk a如果如果n0=00
13、102030405060708090100-1-0.500.510102030405060708090100-1-0.500.51()x n()x n()r n()e n1,/4a 第三章第三章 随机过程的线性变换随机过程的线性变换3.1 变换的基本概念与基本定理变换的基本概念与基本定理3.2 随机过程的导数与积分随机过程的导数与积分3.3 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析3.5 信号处理实例信号处理实例最佳线性滤波器最佳线性滤波器3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布定义：给定一
14、个随机过程定义：给定一个随机过程X(t)，我们按照某种法则，对，我们按照某种法则，对它的每一个样本函数它的每一个样本函数 x(t),都指定一个对应函数都指定一个对应函数y(t),于是，于是，我们就得到了一个新的随机信号我们就得到了一个新的随机信号Y(t)，记为，记为 Y(t)=TX(t)T就叫做从随机信号就叫做从随机信号X(t)到到 Y(t)的变换。的变换。T)(tY)(tX3.13.1变换的基本概念及基本定理变换的基本概念及基本定理1 1 变换的基本概念变换的基本概念确定性变换（确定性变换（Deterministic Transform）如果如果e1和和e2分别为两个随机试验的结果，如果分别
15、为两个随机试验的结果，如果12(,)(,)x t ex t e12(,)(,)y t ey t e2 线性变换线性变换其中其中A1,A2为随机变量，为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。为随机过程。对于线性变换对于线性变换 若有若有则称线性变换则称线性变换L是线性时不变的。是线性时不变的。)()()()(22112211tXLAtXLAtXAtXAL)()(tXLtY)()(tXLtY3 3 线性变换的基本定理线性变换的基本定理定理定理1 1：设设 则则)()(tXLtY)()(tXELtYE()()()E Y tE L X tL E X t所以算子所以算子L L、E E可以交换次序。
16、可以交换次序。由于由于证明：证明：L()ix t()iy t1212121()()().()1()().()1()().()()nnnY ty ty ty tnL x tL x tL y tnLx tx tx tnL X t()(),()()nnY tE Y tX tE X t 定理定理2 2：设设)()(tXLtY),(),(21212ttRLttRXtXY),(),(),(212121211ttRLLttRLttRXttXYtY则则21212121212(,)()()()()()()(,)XYtXRt tE X t Y tE X t L X tL E X t X tLRt t证明：证明：对
17、于线性时不变系统，若对于线性时不变系统，若X(t)是严平稳的，则是严平稳的，则Y(t)是严是严平稳；若平稳；若X(t)是广义平稳的，则是广义平稳的，则Y(t)是广义平稳的。是广义平稳的。4 4 性质性质输出的均值和相关函数可以分别由输输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确定。入的均值和相关函数确定。()()E Y tL E X t121212()()()()ttE Y t Y tL LE X t X t推广推广:输出的输出的k k阶矩可有输入的阶矩可有输入的k k阶矩来确定阶矩来确定123123123()()()()()()tttE Y t Y t Y tL L LE X t X
18、 tX t1 随机过程的极限随机过程的极限则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依均方收敛于随机变量依均方收敛于随机变量X，或，或称变量称变量X是序列是序列Xn依均方收敛意义下的极限，依均方收敛意义下的极限，记为：记为：l.i.m即即Limit in mean squareXXmilnn3.2 3.2 随机过程的导数与积分随机过程的导数与积分0)(lim2XXEnn(1)随机变量的极限随机变量的极限定义：设随机变量定义：设随机变量X和和Xn(n=1,2,)均有二阶矩，若有均有二阶矩，若有22()|nnEXXPXX 由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式，2()0nEXX当当n n时时所以所以|0nP
19、XX Xn依概率依概率1收敛于收敛于X0)(lim20XtXEttXtXmiltt)(0(2)(2)随机过程的极限随机过程的极限0)()(lim2000tXttXEt)()(000tXttXmilt2 2 随机过程的连续性随机过程的连续性),(21ttRX如果如果 在在(t0,t0)处连续，则处连续，则X(t)在在t=t0处连处连续续平稳随机过程连续的充要条件是平稳随机过程连续的充要条件是 在在=0处连续处连续()XR二元传输信号的样本是不连续的，二元传输信号的样本是不连续的，()X tT12T3T4T-1t121212|(,)0XTttttTRt tTother()XR在在=0处连续，所以处
20、连续，所以X(t)是均方连是均方连续。续。如果如果X(t)X(t)连续，则均值亦连续连续，则均值亦连续0lim()()XXtmttmt 00lim()()()ttE X ttE X tE l i m X tt ttXttXmildttdXt)()()(3 3 随机过程的导数随机过程的导数可导的充要条件可导的充要条件:2121212(,)XRt ttttt t 存在存在平稳随机过程可导的充要条件：平稳随机过程可导的充要条件：自相关函数在自相关函数在=0处存在一、二阶导数处存在一、二阶导数()X tT12T3T4T-1t121212|(,)0XTttttTRt tTother二元传输信号二元传输信
21、号均方连续，但不可导均方连续，但不可导niiinttXYE120)(lim4 4 随机过程的积分随机过程的积分niiinttXmilY1)(在区间在区间 划分为划分为n等份等份(,)a b()baYX t dt3.3 3.3 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析3.3.1 3.3.1 冲激响应法冲激响应法h(t)X(t)Y(t)()()()()(tXthdhtXtY系统的输出系统的输出 ()Lh t()()()()Y th tX tL X t输出的均值：输出的均值：()()()()()()YXXXm tL mth tmthmtd)0()()(HmdhmdhmmXXXY若若X(t)X
22、(t)平稳平稳自相关函数自相关函数11212112(,)(,)()(,)YtXYXYR t tL Rt th tRt t),()()(2121ttRththX12212(,)()(,)XYXRt th tRt t()()()YXYRhR ()()()XhhR 若若X(t)X(t)平稳平稳()()()XYXYRhR 系统h(t)X(t)互相关函数测量00()()()()()()22YXXNNRhRhdh 当输入当输入X(t)X(t)为白噪声，系统的输出为白噪声，系统的输出 )(2)(0YXRNh系统辨识结构图系统辩识举例3.1.2 3.1.2 频谱法频谱法 )()()(*XXYGHG)()()(
23、XXYRhR2()()()()()YXYXGHGHG ()()()()()()YXYXRhRhhR 例例1 1 设有图所示的设有图所示的RCRC电路，电路，假定输入为零均值的平稳假定输入为零均值的平稳随机过程随机过程,且相关函数为且相关函数为求输出求输出Y(t)Y(t)的自相关函数。的自相关函数。eRX)(解解 RCRC电路的冲激响应为电路的冲激响应为 RC/111()11j CHj RCjRj C )()(tUetht冲激响应为冲激响应为222()XG eRX)(2222222)()()(HGGXY2222222222222222()YG 22()()YRee 习题：习题：3.6 3.83.6 3.8
