1、第十一章曲线积分与曲面积分第十一章曲线积分与曲面积分二、二、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、一、对面积的曲面积分对面积的曲面积分三、三、高斯高斯(Gauss)公式公式*第四节曲第四节曲 面面 积积 分分 在每块子曲面在每块子曲面 Si 上任取上任取一点一点(x xi,i,i)，将将 任意分成任意分成 n 块子曲面，块子曲面，一、一、对面积的曲面积分对面积的曲面积分定义定义 设函数设函数 f(x,y,z)在曲面在曲面 上有定义，上有定义，记为记为 Si(i=1,2,n)，Si 也也表示第表示第 i 块子曲面的面积，块子曲面的面积，作和式作和式.),(1iniiiiSf x x如果当子曲面的最
2、大直径如果当子曲面的最大直径 趋于零时，和式的趋于零时，和式的极限存在，则称此极限值为函数极限存在，则称此极限值为函数 f(x,y,z)在曲在曲面面 上上对面积的曲面积分对面积的曲面积分，也称为也称为第一类曲面第一类曲面积分积分.记作记作,),(limd),(10iniiiiSfSzyxf x x 其中其中 f(x,y,z)称为被积函数，称为被积函数，f(x,y,z)dS 称为称为被积表达式，被积表达式，dS 称为曲面的面积元素，称为曲面的面积元素，称为称为积分曲面积分曲面.如果曲面是封闭的，如果曲面是封闭的，则曲面积分记为则曲面积分记为.d),(Szyxf 设曲面设曲面 的方程为的方程为 z
3、=z(x,y)(z 为单值函数为单值函数)，在在 xy 平面上的投影区域为平面上的投影区域为 Dxy，Szyxfd),(.d1),(,22 yxDzzyxzyxfxy 函数函数 z=z(x,y)在在 Dxy 上具有连续的一阶偏导数，函数上具有连续的一阶偏导数，函数 f(x,y,z)在曲面在曲面 上连续，上连续，则则证明从略证明从略.注意几点注意几点(1)f(x,y,z)定义在曲面定义在曲面 z=z(x,y)上，所上，所以以 z 要换成要换成 z(x,y)；(2)曲面的面积元素为曲面的面积元素为,d1d22 yxzzS 其中其中 d 是是 dS 在在 xy 平面上的投影区域的面积平面上的投影区域
4、的面积.例例 1 计算曲面积分计算曲面积分,d)(2Szx 其中其中 为为球面球面 x2+y2+z2=1.解解球面方程为球面方程为221yxz .122yxz 与与上半球面记为上半球面记为 1，下半球面记为下半球面记为 2，则根据，则根据对面积的曲面积分的性质，有对面积的曲面积分的性质，有Szxd)(2 .d)(d)(2122SzxSzx 因为因为 1，2 在在 xy 平面上投影区域都是平面上投影区域都是 D：x2+y2 1，所以所以Szxd)(12 ,d11122222 DyxyxxSzxd)(22 ,d11122222 Dyxyxx因此因此Szxd)(2 yxyxyxxDdd1122222
5、 .34d-1-1cosd2201022 rrrrr2 有内侧与外侧之有内侧与外侧之分分1.有向曲面与曲面的侧有向曲面与曲面的侧设曲面设曲面 是双侧的是双侧的.例如方程例如方程 z=z(x,y)表示的曲表示的曲面，面，有上侧与下侧之分；有上侧与下侧之分；方程方程 y=y(x,z)表示的曲面表示的曲面.有左侧与右侧之分；有左侧与右侧之分；方程方程 x=x(y,z)所表示的曲面，所表示的曲面，有前侧与后侧之分；有前侧与后侧之分；对于封闭曲面，对于封闭曲面，zxyO上侧上侧下侧下侧 MozxyO外侧外侧内侧内侧内侧内侧外侧外侧二、二、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分(a)(b)3.对坐标的曲面积分的
6、定义对坐标的曲面积分的定义定义定义设函数设函数 R(x,y,z)定义在曲面定义在曲面 上上，选定曲面选定曲面 的一侧的一侧，其法向量记为其法向量记为n=cos a ai+cosb bj+cos k,其中其中 a a,b b,是是 x,y,z 的函数的函数，则积分则积分 SzyxRdcos),(称为函数称为函数 R(x,y,z)在曲面在曲面 S 选定侧选定侧 n 上的上的第二第二类曲面类曲面积分积分或称或称对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分.cos dS 是是 dS 在在 xy 坐标面上的投影，记坐标面上的投影，记作作dxdy.即即cos dS=dxdy，这里记号这里记号 dxdy 采取与二重积分
7、中的面积元素相采取与二重积分中的面积元素相同的记号是方便的同的记号是方便的.但要注意，这里的但要注意，这里的 dxdy 是可是可正可负的正可负的.当角当角 不超过不超过,2时时dxdy 0，当角当角 超过超过,2时时dxdy 0.同样同样,dcos),(a aSzyxP b bSzyxQdcos),(它们也可写为它们也可写为 a aSzyxPdcos),(,dd),(zyzyxP b bSzyxQdcos),(.dd),(xzzyxQ同样要注意同样要注意 dydz 或或 dzdx 是可正可负的，是可正可负的，,2时时当角当角 a a 不超过不超过dydz 0，当角当角 b b 不不超过超过,2
8、时时否则否则 dydz 0.否则否则 dzdx 0.dzdx 0，积分积分 yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(称为组合曲面积分称为组合曲面积分.ddddddyxRxzQzyP简记为简记为4.对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分的类似性质的类似性质.例如例如(1)如果把如果把 分成分成 1 和和 2，则，则 yxRxzQzyPdddddd 1dddddd yxRxzQzyP.dddddd2 yxRxzQzyP(2)设设 是有向曲面是有向曲面.若将与若将与 取相反侧的取相反侧的有向曲
9、面记为有向曲面记为 -，则，则 zyzyxPdd),(,dd),(zyzyxP xzzyxQdd),(,dd),(xzzyxQ yxzyxRdd),(.dyd),(xzyxR这些性质的证明从略这些性质的证明从略.5.对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法设曲面设曲面 由方程由方程 z=z(x,y)给出，给出，当当 取上侧取上侧时，则曲面的法向量时，则曲面的法向量 n 与与 z 轴正向的夹角不大于轴正向的夹角不大于,2于是，曲面的面积元素于是，曲面的面积元素 dS 在在 xy 平面的投影平面的投影 dxdy 不不为负值，为负值，如果如果 Dxy 表示曲面表示曲面 在在 xy 平面上的投
10、影区平面上的投影区域，域，那么我们可将对坐标的曲面积分化成在那么我们可将对坐标的曲面积分化成在 xy 平面平面上区域上区域 Dxy 的二重积分来计算，的二重积分来计算，即即 yxzyxRdd),(.dd),(,xyDyxyxzyxR如果取如果取 的下侧，的下侧，的法向量的法向量 n 与与 z 轴正向的轴正向的夹角为大于夹角为大于 ，这时，这时 dS 在在 xy 平面上的投影平面上的投影 dxdy 不为正值，于是有不为正值，于是有2 yxzyxRdd),(.dd),(,xyDyxyxzyxR类似地，如果类似地，如果 的方程为的方程为 x=x(y,z)，则有，则有 zyzyxPdd),(.dd,)
11、,(yzDzyzyzyxP上式右端正负号应如下选定：当曲面上式右端正负号应如下选定：当曲面 取前侧时，取前侧时，选用正号；取后侧时，选用负号，其中选用正号；取后侧时，选用负号，其中 Dyz 是是 在在 yz 平面上的投影区域平面上的投影区域.如果如果 的方程为的方程为 y=y(x,z)，则，则 xzzyxQdd),(.dd),(,zxDxzzzxyxQ上式右端正负号应如下选定：当曲面上式右端正负号应如下选定：当曲面 取右侧时，取右侧时，选用正号；取左侧时，选用负号，其中选用正号；取左侧时，选用负号，其中 Dzx是是 在在 zx 平面上的投影区域平面上的投影区域.例例 2 计算曲面积分计算曲面积
12、分,dddddd)1(yxxzyzyxI其中其中 是平面是平面 x+y+z=1 被被三个坐标面所截的上侧三个坐标面所截的上侧.解解 由曲面积分的性质由曲面积分的性质zxCBAOyyxxzyzyxABCdddddd)1(ABCABCABCyxxzyzyxdddddd)1(yzyzyzy1010d1d)1(xzxxyxyxxzzx10101010ddd)d-1(,34216132 三、三、高斯高斯(Gauss)公式公式定理定理设空间闭区域设空间闭区域 是由曲面是由曲面 所围成所围成，函数函数 (x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在在 上上具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数，则则 .dddddddyxRxzQzyPVzRyQxP这里封闭曲面这里封闭曲面 的方向取其外侧，此公式称为的方向取其外侧，此公式称为高斯高斯公式公式.证明从略证明从略.例例 3 计算曲面积分计算曲面积分,dddddd)1(yxxzyzyxI其中其中 是由三个坐标平面与平面是由三个坐标平面与平面 x+y+z=1 所围成所围成的四面体的外侧的四面体的外侧.解解 (x,y,z)=x+1，Q(x,y,z)=y，R(x,y,z)=1，,1 xP,1 yQ.0 zR所以由高斯公式所以由高斯公式，得得yxxzyzyxIdddddd)1(Vd2.31111612
