1、例 四阶行列式 D 中，我们选定第一、二两行和第二、四两列，则得二阶子式 N。再从D中划去第一、二两行和第二、四两列得余子式M，302021413300126021124213MND进一步，N的代数余子式0)1(4221MA例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式121012310121 2 012 310划去所在的行和列，02 230得子式，注意 在第一行第二列1+2022=(-1)630所以，的代数余子式121 1 012 310划去所在的行和列，2+2111=(-1)330 在第二行第二列，代数余子式121 1 012 310划去 第二列第三个元所在的行和列，3+211=(-1)20
2、2 代数余子式下面我们首先观测三阶行列式的展开式与代数余子式的关系 3223113321123122133221133123123322113332312322211312113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa 323122211343331232112333322322112)1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa 131312121111AaAaAa 容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理。定理2：n阶行列
3、式 D 等于它的任意一行（列）所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，11221122(1,2,)(1,2,)iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa AinDa Aa Aa Ajn或即例1：计算四阶行列式解：可以选任意一行或一列展开，注意到第二行有两个元素为零，所以展开计算时只需要计算两个三阶代数余子式，因此选第二行进行展开，得1012011010210101D2122232401102DAAAA 例 2：n 阶 Vandermond 行列式 1232222123111112311111()nnnnnnnnjiij naaaaDaaaaaaaaaa 第 i 行乘以加到第 i+1 行
4、213112213311222221331111110()()()0()()()nnnnnnnnnaaaaaaDa aaa aaa aaaaaaaaaaa按第一列展开1a2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnnaaaaaaa aaa aaa aaDaaaaaaaaa每列依次提出公因子，得到以此类推，可以得到行列式的值231222223112111nnniinnnnniniaaaDaaaaaaa D（）（）1()njiij nDaa 定理3：行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即112210,()nikjki
5、iiiininka Aa Aa Aa Aij112210,()nkikjijijninjka Aa Aa Aa Aij推论：如果n阶行列式的某两行（第i行与第j行）对应元素相同，则行列式的值等于零。022112121jninjijiiniiiniiAaAaAaaaaaaa定理4（Laplace展开定理)：在行列式 D 中任意取k（1 k n1）行，则由这 k 行元素所组成的所有 k 阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式 D.例：计算行列式2100012100012100012100012D 1232120103,2,1121121NNN求出它们对应的代数余子式选第一、二两行，则它们所组成
6、的二阶子式共有10个，其中非零子式只有三个，(1 2)(1 2)1(1 2)(1 3)1(1 2)(2 3)1210(1)1214012110(1)0213012010(1)0210012AAA 于是，利用Laplace展开定理，得1122333 42(3)1 06DN AN AN A 例：计算行列式2100012100012100012100012nD 解：把行列式按第一行展开，得21000210001210012100200121001210001200012nD 21000210001210012100200121001210001200012nD 再将第二个行列式按第一行展开，可得：注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：122nnnDDD122,3DD121122121nnnnnnnDDDDDDDDD12221(1)12(2)11nnnnnDDDDDnnDn 注意这是一个递推公式，递推的首项，也就是一阶和二阶行列式的值分别为：
