1、第第1 1课时组合课时组合(一一)第五章第五章2021内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.理解组合及组合数的概念.(数学抽象)2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.(逻辑推理与数学计算)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思多省市高考取消文理分科,思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六大科目实行选考.如果考生可以从中任选三科作为自己的高考科目,那么选考的组合方式一共有多少种呢?如果用思想政治,历史,地理表示其中一种选考的组合,你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗?你有更简单的表示方法吗?知识点拨一、组合的概念一
2、般地,从n个不同的元素中,任取m(mn,且m,nN+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.名师点析(1)所谓并成一组是指与顺序无关,例如组合a,b与组合b,a是同一组合,可以把一个组合看成一个集合.(2)组合概念的两个要点:n个对象是不同的;“只取不排”,即取出的m个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关,无序性是组合的特征性质.(3)如果两个组合中的对象完全相同,那么不管对象的顺序如何,它们都是相同的组合.如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同),那么它们就是不同的组合.微思考1排列与组合有什么联系和区别?提示排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素
3、;不同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是有顺序的.组合是选择的结果,排列是先选再排的结果.微思考2两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?提示两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同.两个相同的组合是只要元素相同,不看元素顺序如何.二、组合数的概念从n个不同元素中取出m(mn,且m,nN+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(mn,且m,nN+)个元素的组合数,记作 .微判断 三、组合数公式及组合数的性质 微判断 微练习1已知 =10,则n的值等于()A.10B.5C.3D.2答案 B 微练习2 答案 190 微练习3 答案 161 700 课堂篇课堂篇 探
4、究学习探究学习探究一探究一组合的概念组合的概念例1给出下列问题:(1)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的安排方法?(2)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的安排方法?(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题?解(1)两名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.(2)两名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.(4)冠、亚军
5、是有顺序的,是排列问题.反思感悟 区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,无顺序就是组合问题,要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.变式训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的结果.(1)集合0,1,2,3,4的含三个元素的子集的个数是多少?(2)某小组有9位同学,从中选出正、副组长各一个,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?探究二探究二组合数公式与性质的应用组合数公式与性质的应用命题角度1有关组
6、合数的计算与证明 答案(1)C(2)5 150 命题角度2含组合数的方程或不等式 反思感悟(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略nN+.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由 中的mN+,nN+,且mn确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意.所以方程可化为(x-3)(x-6)=542=85,即x2-9x-22=0,所以x=11或x=-2(舍去).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.探究三探究三简单的组合问题简单的组合问题例4有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.(1)现要从中
7、选2名教师去参加会议,有种不同的选法;(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有种不同的选法;(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有种不同的选法.答案(1)45(2)21(3)90 反思感悟(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)把一个实际问题转化为组合问题,体现了数学抽象的核心素养.变式训练4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,
8、使其中不含黑球,有多少种取法?素养形成素养形成思想方法思想方法求解无限制条件的组合问题的思路求解无限制条件的组合问题的思路对于无限制条件的组合问题,首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步,在每一类(或每一步)中注意分清对象的总数及取出对象的个数,按照组合的定义,正确地表示出相应的组合数,再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数.典例1(1)5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒里至多放一个球,则不同的放法有()(2)5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒里至多放一个球,则不同的放法有()(3)5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒里放球数量不限,则不同的放法有()解析(1)由
9、于球不相同,盒子不同,每个盒里至多放一个球,所以取出5个盒子放不同的球,共有 种不同的放法.(2)由于球都相同,盒子不同,每个盒里至多放一个球,所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有 种不同的放法.(3)由于每个盒里放球数量不限,所以第1个球有8种放法,第2个球有8种放法,第5个球也有8种放法,故不同的放法共有88888=85(种).(3)由于每个盒里放球数量不限,所以第1个球有8种放法,第2个球有8种放法,第5个球也有8种放法,故不同的放法共有88888=85(种).答案(1)A(2)B(3)D 名师点评本题是排列、组合和可重复选取对象的三个基本模型:r个不同的球,放入n(rn)个不同的盒子
10、中,每个盒里至多放一个球,共有 种不同的放法.r个相同的球,放入n(rn)个不同的盒子中,每个盒里至多放一个球,共有 种不同的放法.r个不同的球,放入n个不同的盒子中,每个盒里放球数量不限,一共有nr种不同的放法.在实际应用中我们一般把“固定”的对象看成盒子,“要排列”的对象看成球.典例2(1)(2020北京西城期末)有5名男医生和3名女医生.现要从中选3名医生组成地震医疗小组,要求医疗小组中男医生和女医生都要有,那么不同的组队种数为()A.45B.60C.90D.120(2)某人决定投资8种股票和4种债券,经纪人向他推荐了12种股票和7种债券,则此人有种不同的投资方式.(3)(2020福建泉
11、州期中)现有8本杂志,其中有3本是完全相同的文学杂志,另5本是互不相同的数学杂志,从这8本里选取3本,则不同选法的种数为.思路分析(1)选出的3名医生之间无顺序之分,因此是组合问题,但需要对医生的组成人员分类求解;(2)选出的8种股票无顺序之分,选出的4种债券也无顺序之分,因此是组合问题,但需要分选股票、选债券两步求解;(3)本小题需要注意一个问题,从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题,只有从5本不同的数学杂志中选书才是组合问题.解析(1)根据题意,需分两类讨论.第一类:选出的3名医生中有2名男医生1名女医生,有 =30种不同的组队方式.第二类:选出的3名医生中有1名男医生2名女医生,
12、有 =15种不同的组队方式.根据分类加法计数原理,一共有30+15=45种组队方式.(3)在这8本杂志中,3本文学杂志是完全相同的,因此从中选取并不是组合问题.从这8本杂志里选取3本,可分四类完成.答案(1)A(2)17 325(3)26 当堂检测当堂检测1.给出下列问题:从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?有4张相同的电影票,要在7人中选出4人去观看,有多少种不同的选法?某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?其中组合问题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析 与顺序有关,是排列问题,均与顺序无关,是组合问题,故选C.2.集合M=x|x=,n0且nN,集合Q=1,2,3,4,则下列结论正确的是()A.MQ=0,1,2,3,4B.QMC.MQD.MQ=1,4答案 D A.6B.7C.35D.70 答案 C 答案 2,3,4 即n2-3n-100,解得-2n5,由题设条件知n2,且nN+,则n=2,3,4,故原不等式的解集为2,3,4.5.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.答案 60 本本 课课 结结 束束
