1、第九节第九节函数模型及其应用函数模型及其应用解函数应用题的步骤(四步八字)教教材材研研读读考点一考点一 已知函数模型的实际问题已知函数模型的实际问题考点二考点二 构造函数模型的实际问题构造函数模型的实际问题考考点点突突破破解函数应用题的步骤解函数应用题的步骤(四步八字四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结果;教材研读(4)还原:将数学结果还原为满足实际意义的结果.以上过程用框图表示如下:1.已知某产品今年年产量是m件,计划
2、以后每年的产量比上一年增加20%,则x年后该产品的年产量y与x之间的函数关系式为.答案答案y=m1.2x,xN*2.国家规定个人稿费的纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书,共纳税420元,则这个人的稿费为元.答案答案3800解析解析设稿费为x元,纳税为y元,由题意可得y=当x=4000时,y=(4000-800)14%=448420,且400011%=440420,所以此人稿费少于4000元,则有(x-800)14%=420,解得x=3800,即此人的稿费为3800元.0,0
3、800,(800)14%,8004000,11%,4000,xxxx x3.(2019江苏南通中学高三模拟)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x件(xN*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需的成本为C=500+30 x(元).要使日获利不少于1300元,则该厂日产量最少为件.答案答案20解析解析由题意可得px-C1300,即(160-2x)x-(500+30 x)1300,化简得x2-65x+9000,解得20 x45,故该厂日产量最少为20件.4.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为.答案答案-1(1
4、)(1)pq解析解析设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q).由于连续两年持续增加,所以x0,因此x=-1.(1)(1)pq5.销售甲、乙两种商品所得的利润分别是P(单位:万元)和Q(单位:万元),它们与投入资金t(单位:万元)的关系为P=t,Q=.若投入3万元资金经营甲、乙两种商品,其中对甲种商品投入x(单位:万元),则当总利润最大时x的值为.1535t答案答案34解析解析由题意可得总利润y=x+,0 x3,令=t,0t,则x=3-t2,则y=-t2+t+,当t=,即x=3-
5、=时,总利润最大.15353x3xx1535353294346.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是小时.解析解析依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,则e22k=,所以e11k=或-(舍去),所以该食品在33的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb=192=24(小时).48eb48192141212312答案答案24考点一考点一 已知函数模型的实际问题已知函数模型的实际问题典例典例1(2
6、018江苏南京高三摸底)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹为曲线y=kx-(1+k2)x2(k0)的一部分,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试120考点突破问它的横坐标a(a0)不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解析解析(1)y=kx-(1+k2)x2.令y=0,得kx-(1+k2)x2=0.由实际意义知x0,又k0,故x=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.120
7、1202201kk201kk202(2)炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,则判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0,从而可得0a6.所以当a不超过6时,炮弹可击中目标.1201-1(2017江苏连云港期末)某种商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系:y1=-x+70,y2=2x-20.当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量.(1)求平衡价格和平衡需求量;(2)若该商品的市场销售量P(万件)是市场需求量y1和市场供应量y2
8、两者中的较小者,该商品的市场销售额W(万元)等于市场销售量P与市场价格x的乘积.当市场价格x取何值时,市场销售额W取得最大值?当市场销售额W取得最大值时,为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格,则政府应该对每件商品征税多少元?解析解析(1)令y1=y2,得-x+70=2x-20,故x=30,此时y1=y2=40.答:平衡价格是30元,平衡需求量是40万件.(2)由y10,y20,得10 x70,由题意可知:P=故W=220,1030,70,3070,xxxx 22220,1030,70,3070,xxxxxx当10 x30时,W=2x2-20 x=2(x-5)2-50,x=30时,Wma
9、x=1200;当301200,所以市场价格是35元时,市场总销售额W取得最大值.设政府应该对每件商品征税t元,则供应商的实际价格是每件(x-t)元,故y2=2(x-t)-20,令y1=y2,得-x+70=2(x-t)-20,由得x=35时市场总销售额最大,代入上述方程得t=7.5.答:政府应该对每件商品征税7.5元.典例典例2(2018常州教育学会学业水平检测高三)已知小明(如图中AB所示)身高1.8米,路灯OM高3.6米,AB,OM均垂直于水平地面,且分别与地面交于点A,O.点光源从M发出,小明在地面上的影子记作AB.(1)小明沿着圆心为点O,半径为3米的圆周在地面上走一圈,求AB扫过的图形
10、的面积;考点二考点二 构造函数模型的实际问题构造函数模型的实际问题(2)OA=3米,小明从A出发,以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1,OAA1=,且AA1=10米.t秒时,小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位:米),求f(t)的表达式与最小值.3解析解析(1)由题意得ABOM,则=,又OA=3米,所以OB=6米,小明在地面上的身影AB扫过的图形的面积为62-32=27(平方米).(2)经过t秒,小明走到了A0处,身影为A0,由(1)知=,所以f(t)=A0=OA0=,化简得f(t)=,0t10,f(t)=,ABOBABOM1.83.6120B000A BOBABOM120B220002cosOAAAOA AAOAA239tt232724t当t=时,f(t)的最小值为,答:f(t)=,00;当时,f()0,所以当=时,f()取得最大值.故=时,征地面积最大.120,20,6,6 2 66
