1、经济应用数学经济应用数学第三章第三章 经济最优化问题分析经济最优化问题分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第三节第三节 经济最优化问题经济最优化问题 5应用模型应用模型案例分析案例分析【最大利润】2()200100010QL QQQ 某某企企业业生生产产产产品品，已已知知利利润润函函数数为为，其其中中 为为产产品品的的产产量量，问问（1 1）目目前前的的产产量量为为800800单单位位，是是否否可可以以提提高高产产量量？（2 2）产产量量达达到到多多少少时时候候能能取取得得最最大大利利润润？解1()20051000()021000()01000.QL Q
2、QL QQL QQ （）因因为为，当当时时，函函数数递递增增，所所以以提提高高产产量量可可以以增增加加利利润润；（）当当时时，此此时时增增加加产产量量，利利润润会会减减少少，结结合合（1 1）可可得得，当当产产量量单单位位时时，能能取取得得最最大大利利润润12()()QLL QL Q分分析析：解解决决问问题题（）也也就就是是要要确确定定 增增加加时时，利利润润 是是否否会会随随之之增增加加；问问题题（）则则需需要要确确定定函函数数何何时时达达到到最最大大值值.总总之之，需需要要分分 析析讨讨论论函函数数的的增增减减性性和和最最大大值值.3.3 3.3 经济最优化问题经济最优化问题 定理3.3(
3、)(,)(,)()0()(,)(,)()0()(,)f xa ba bfxf xa ba bfxf xa b 设设函函数数在在区区间间内内可可导导,（1 1）若若在在内内，则则函函数数在在区区间间内内单单调调增增加加；（2 2）若若在在内内，则则函函数数在在区区间间内内单单调调减减少少.驻点：驻点：()0fx 使使的的点点叫叫驻驻点点.一、函数增减性的判别二、函数极值的判别法极值定义：极值定义：00000000000()(,)(,)1()()()2()()()f xa bxa bxf xf xxf xxxf xf xxf xx 设设函函数数在在区区间间内内有有定定义义，如如果果（）在在 的的某
4、某一一邻邻域域内内，有有，则则称称函函数数在在取取得得极极大大值值，称称为为函函数数的的极极大大值值点点；（）在在 的的某某一一邻邻域域内内，有有，则则称称函函数数在在取取得得极极小小值值，称称为为函函数数的的极极小小值值点点.函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点和极小值点统称为极值点.（一）极值存在的必要条件定理定理3.43.4（极值的必要条件）（极值的必要条件）000()()0.f xxxfx 如如果果函函数数在在点点处处可可导导，且且在在处处取取得得极极值值，那那么么一一定定有有注意：001()02fxx（）定定理理说说明
5、明是是函函数数在在处处取取得得极极值值的的必必要要条条件件，而而非非充充分分条条件件，就就是是说说，驻驻点点可可能能是是函函数数的的极极值值点点，也也可可能能不不是是函函数数的的极极值值点点；（）导导数数不不存存在在的的点点也也可可能能是是函函数数的的极极值值点点.（二）极值存在的充分条件 定理定理3.53.5（极值的第一充分条件）（极值的第一充分条件）00000000000()()()0()0()()0()0()()()f xxfxxxfxxxfxf xxxxfxxxfxf xxxxxxxfxf xx设设函函数数在在 的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且可可导导（可可以以不不存存在在），（1
6、 1）当当时时，当当时时，则则在在处处取取得得极极大大值值；（2 2）当当时时，当当时时，则则在在处处取取得得极极小小值值；（3 3）当当 从从变变化化到到时时，符符号号没没有有发发生生改改变变，则则在在处处没没有有取取得得极极值值判断函数单调性和极值的一般步骤（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数（3）求出函数的驻点和连续不可导点（4）用驻点和连续不可导点将定义区间划分为若干小区间，列表考察每个小区间内的符号，判断函数的增减性和极值点（5）确定函数的单调区间，计算函数的极值.定理定理3.63.6（极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件）00000000()()0()()0()()0()(
7、)0f xxfxfxfxf xxfxf xxfx 设设函函数数在在 的的邻邻域域内内有有定定义义，且且，存存在在，（1 1）若若，则则函函数数在在处处取取得得极极大大值值；（2 2）若若，则则函函数数在在处处取取得得极极小小值值；（3 3）若若，需需要要进进一一步步判判断断.三、函数的最大值和最小值定义0000(),()()()(),()()()(),f xa bxa bf xf xf xf xa bxa bf xf xf xf xa b设函数在区间上有定义，（1）如果对一切，有，则称为在区间上的最大值；（2）如果对一切，有，则称为在区间上的最小值.函数的最大值和最小值统称为最值，取得最大值或
8、最小值的点称为最值点.实用最值判定法实用最值判定法 00000()()()0()0()0)()f xf xxxfxfxfxf xxx 设设函函数数在在区区间间内内连连续续，且且有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数，如如果果在在处处满满足足：（1 1）（2 2）那那么么函函数数在在处处取取得得最最大大值值（最最小小值值）arctanyx 例例1 1、证证明明单单调调增增加加.解21(arctan)01arctan.yxxyx 单单调调增增加加解32()395f xxxx例例2 2、求求函函数数的的单单调调区区间间.212(,)()3693(1)(3)()01,3fxxxxxfxxx 函函数数的的定定
9、义义域域为为，令令，得得函函数数的的驻驻点点：，没没有有不不可可导导的的点点驻驻点点将将定定义义区区间间划划分分为为三三个个小小区区间间，列列表表如如下下：x()fx()fx(,1)1(1,3)3(3,)00 (,1)(3,)(1,3)函函数数的的单单调调递递增增区区间间为为，单单调调递递减减区区间间为为32()29123f xxxx例例3 3、求求函函数数-的的极极值值.解212(,)()618126(1)(2)()012fxxxxxfxxx 函函数数的的定定义义域域为为，-令令，得得驻驻点点：，驻驻点点将将定定义义区区间间划划分分为为三三个个小小区区间间，列列表表如如下下x()fx()f
10、x(,1)1(1,2)2(2,)00极大值极小值(1)2(2)1ff可可见见，函函数数的的极极大大值值为为，极极小小值值为为32()32420f xxxx例例4 4、求求函函数数的的极极值值.解212()36243(4)(2)()04,2()66(4)180(4)60(2)180(2)48fxxxxxfxxxfxxffff 令令，得得驻驻点点：，函函数数的的极极大大值值为为：，函函数数的的极极小小值值为为：课堂练习：课堂练习：423225395ln(1)0.yxxyxxxxxx一一、求求函函数数的的单单调调区区间间.二二、求求函函数数的的极极值值.三三、证证明明不不等等式式，其其中中应用模型：
11、经济最优化问题应用模型：经济最优化问题()()0()0()()0()0.L QQL QLQL QL QLQ 设设利利润润函函数数为为可可导导函函数数，其其中中 为为产产量量，则则当当，时时，取取得得最最大大值值.并并把把称称为为获获得得最最大大利利润润的的必必要要条条件件，把把称称为为充充分分条条件件021202202xCxCx 【最最大大利利润润问问题题】企企业业生生产产某某种种设设备备 台台时时的的固固定定成成本本为为万万元元，可可变变成成本本为为万万元元，如如果果商商品品的的单单价价为为万万元元，试试用用利利润润最最大大化化原原则则分分析析企企业业生生产产该该设设备备多多少少台台时时，可
12、可以以获获得得最最大大利利润润？最最大大利利润润为为多多少少？解222()2022()20()20(202)182022()0,18018()10()18.18(18)142.xC xxR xxxxL xxxxL xxxLxL xxL 由题意得：总成本函数 总收入函数故利润函数为：根据利润最大化原则，令即，得，在时取得最大值即当企业生产设备台时，可以获得最大利润，最大利润为 【定价问题定价问题】某商店以每件某商店以每件1010元的价格购进一批衬衫，若零售价定元的价格购进一批衬衫，若零售价定为为1515元，估计能卖出元，估计能卖出300300件；若每件售价降低件；若每件售价降低1 1元，则可多卖
13、出元，则可多卖出2020件件.问应向批发商买进多少，每件售价多少时，才能获得最大利润？最大利问应向批发商买进多少，每件售价多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？润是多少？解230020(15)60020()(10)(60020)(10)208006000()040800020()400()20.20200(20)2000yxyxyxL xyxxxxxLxxxLxL xxxyL 设设衬衬衫衫的的买买进进量量为为，售售价价为为，由由题题意意可可知知，即即，利利润润函函数数为为：根根据据利利润润最最大大化化原原则则，令令，即即，得得，在在时时取取得得最最大大值值时时，最最大大利利润润即即：应应向
14、向批批发发商商买买进进200200件件，每每件件售售价价为为2020元元时时，才才能能获获得得最最大大利利润润，最最大大利利润润为为20002000元元.【最优批量问题最优批量问题】某化肥厂生产的某产品的年需求量是4000吨，每次生产该种产品的转产调整费为1000元，储存的年保管费为产值的9%，产品每吨的价值为800元，试确定能使总费用（转产费和保管费之和）为最小的最优批量？解1212234000240001089%0.36240000()0.36(0)400001000()0,0.3603800001000()0(0)()3xCCCxxxCCxxC xx xxCxxxCxxxC xx设设生生产产的的批批量量为为，总总费费用用、总总转转产产费费、总总保保管管费费分分别别为为、由由题题意意知知，生生产产批批次次为为，平平均均库库存存量量为为，则则（百百元元），（百百元元），令令即即，解解得得：（吨吨），当当吨吨时时，取取得得最最小小.1000.3值值即即使使总总费费用用为为最最小小的的最最优优批批量量是是吨吨
