1、现代分析第七章第七章菲尔兹菲尔兹奖与当代数学本章目录 一、为什么要了解菲尔兹奖一、为什么要了解菲尔兹奖 二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献 三、从菲尔兹奖看当代数学的特点三、从菲尔兹奖看当代数学的特点 四、菲尔兹奖得主的风彩及其对数学或四、菲尔兹奖得主的风彩及其对数学或数学教育的一些见解数学教育的一些见解 一、为什么要了解菲尔兹奖一、为什么要了解菲尔兹奖 庞加莱指出：庞加莱指出：“如果我们想要预见数学如果我们想要预见数学的未来适当的途径是研究这门科学的历的未来适当的途径是研究这门科学的历史和现代史和现代”了解数学史的著作 M M 克莱因的古今数学思想；克莱因的古今
2、数学思想；J J 斯科特的数学史；斯科特的数学史；H H 伊夫斯的数学史概论；伊夫斯的数学史概论；B B 鲍尔加尔斯基的数学简史；鲍尔加尔斯基的数学简史；D D 斯特洛伊克的数学简史；斯特洛伊克的数学简史；E E 贝尔的数学精英；贝尔的数学精英；卡尔波耶的微积分概念史；卡尔波耶的微积分概念史；梁宗巨的世界数学史简编；梁宗巨的世界数学史简编；钱宝琮的中国数学史；钱宝琮的中国数学史；李文林的数学史概论等等。李文林的数学史概论等等。怎么样了解现代数学?现在世界上每年大约要发表二、三十万现在世界上每年大约要发表二、三十万条新定理，数学文献、专著，浩如烟海条新定理，数学文献、专著，浩如烟海。希尔伯特希尔
3、伯特 1900 年在第二届国际数学家年在第二届国际数学家大会上，以未来的数学问题为题，大会上，以未来的数学问题为题，发表的发表的 23 个问题，是了解当代数学的一个问题，是了解当代数学的一个重要侧面，但不够全面。个重要侧面，但不够全面。1950 年以后，在国际数学家大会上作报年以后，在国际数学家大会上作报告的数学家，很多都是沃尔夫（告的数学家，很多都是沃尔夫（Wolf）数学奖和菲尔兹奖得主。从他们的建树数学奖和菲尔兹奖得主。从他们的建树与见解，可以了解当代数学的轮廓与主与见解，可以了解当代数学的轮廓与主流。流。沃尔夫数学奖是沃尔夫奖的一个奖项，它和菲尔兹奖被共同誉为数学界的最高荣誉。获得该奖项
4、的华人为陈省身和丘成桐。由于菲尔兹奖只授予40岁以下的的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧1976年1月，R.沃尔夫及其家族捐献一千万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学.艺术的发展。沃尔夫基金会设有：数学.物理.化学.医学.农业五个奖（1981年又增设艺术奖）。1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。什么是菲尔兹奖？菲尔兹奖是以菲尔兹奖是以 J.C.菲尔兹（菲尔兹（Fields）的姓氏命名的一）的姓氏命名的一个国际数学奖。个国际数学奖。J.C.菲尔兹强烈主张数学发展应是国际性的，他对菲尔兹强烈主张数学发展应是国际性的，
5、他对于数学的国际交流的重要性，对于促进北美洲数学的于数学的国际交流的重要性，对于促进北美洲数学的发展都抱有独特的见解，并作出了很大的贡献发展都抱有独特的见解，并作出了很大的贡献。为了使北美洲数学迅速发展并赶上欧洲，是他为了使北美洲数学迅速发展并赶上欧洲，是他第一个在加拿大推进研究生教育，也是他全力第一个在加拿大推进研究生教育，也是他全力筹备并主持了筹备并主持了 1924 年在多伦多召开的年在多伦多召开的 第七次第七次国际数学家大会（这是在欧洲以外召开的第一国际数学家大会（这是在欧洲以外召开的第一次国际数学家大会）。正是这次大会使他过分次国际数学家大会）。正是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再
6、也没有好转，但这次大劳累，从此健康状况再也没有好转，但这次大会对于促进北美的数学教育发展和数学家之间会对于促进北美的数学教育发展和数学家之间的国际交流，确实产生了深远的影响。的国际交流，确实产生了深远的影响。当他得知这次会议的经费有结余时，他就萌发当他得知这次会议的经费有结余时，他就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头。了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头。为此他积极奔走与欧美各国谋求广泛支持，并为此他积极奔走与欧美各国谋求广泛支持，并打算于打算于 1932 年在苏黎世召开的第九次国际数年在苏黎世召开的第九次国际数学家大会上亲自提出建议。但不幸的是未等到学家大会上亲自提出建议。但不幸的
7、是未等到大会开幕，他就去世了。大会开幕，他就去世了。J.C.菲尔兹在去世前菲尔兹在去世前立下遗嘱，把他自己留下的遗产加上上述剩余立下遗嘱，把他自己留下的遗产加上上述剩余经费，由多伦多大学数学系转交第九次国际数经费，由多伦多大学数学系转交第九次国际数学家大会，大会立即接受了这一建议。学家大会，大会立即接受了这一建议。菲尔兹奖的一个最大特点是奖励年轻人，只授予菲尔兹奖的一个最大特点是奖励年轻人，只授予 40 岁以下的数学家，即授予那些能对未来数学发展岁以下的数学家，即授予那些能对未来数学发展起重大作用的人。起重大作用的人。菲尔兹奖是一枚金质奖章。奖章的正面是阿基米德菲尔兹奖是一枚金质奖章。奖章的正
8、面是阿基米德的浮雕头像的浮雕头像；并刻着并刻着“超越人类极限，做宇宙的超越人类极限，做宇宙的主人主人”。反面刻着。反面刻着“全世界的数学家们，为知识作全世界的数学家们，为知识作出新的贡献而自豪出新的贡献而自豪”。孔采维奇(Kontsevich)他指出：“关于学生，关键是要让他们明白数学是活生生的，而不是僵死的，讲数学的传统方法有个缺陷，即教师从不提及这类问题，这很可惜。所以，法国著名数学家、布尔巴基学派的重要成员、沃尔夫奖得主 H.他们多年来的无私合作，各不相同的个性，能向共同的目标，奋斗在数学历史上也许是绝无仅有的。例如，菲尔兹奖得主格罗腾迪克引进的“概型”这个概念，就把代数几何抽像程度提高
9、到了新的水平，几何形象的痕迹完全消失，它超过了不少受传统教育的数学家们的理解，从而被誉为代数几何的一次革命。国际数学联合会前主席帕利斯（Palis）说：“菲尔兹奖得主们的成就显示出高度的创造性和深刻性，全世界数学工作者都为他们的卓越贡献鼓掌喝彩。他们治学严谨，是我们数学界的精英，有的堪称数学大师，有许多值得我们学习的优秀品格和治学方法。为了使北美洲数学迅速发展并赶上欧洲，是他第一个在加拿大推进研究生教育，也是他全力筹备并主持了 1924 年在多伦多召开的 第七次国际数学家大会（这是在欧洲以外召开的第一次国际数学家大会）。菲尔兹奖得主费里德曼说：“今天我认为我们都能够感受到来自不同分支的思想汇聚
10、在一起所产生的数学的强大动力”。他最突出的成就，1956 年证明了七维流形上存在着不同的微分结构，从而导致了一个全新的拓扑学领域的诞生,即微分拓扑。B 鲍尔加尔斯基的数学简史；阿蒂亚（Atiyah），英国数学家，1966 年获奖。丘成桐（Yao）由于他证明了微分几何中的卡拉比猜想，证明了广义相对论中的正质量猜想以及在高维闵可夫斯基问题、弗兰克尔猜想、极小曲面等方面的贡献，于 1982 年荣获菲尔兹奖，时年 33 岁。B 鲍尔加尔斯基的数学简史；菲尔兹奖章正面反面 菲尔兹奖被认为是年轻数学家的最高荣菲尔兹奖被认为是年轻数学家的最高荣誉，被称为为数学界的诺贝尔奖。奖金誉，被称为为数学界的诺贝尔奖。
11、奖金有有15,000加拿大元，约合一万五千美元。加拿大元，约合一万五千美元。地位崇高!第一第一.它是由数学界的国际权威学术团体它是由数学界的国际权威学术团体国国际数学联合会主持际数学联合会主持,从全世界的第一流青年数学从全世界的第一流青年数学家中评定家中评定,遴选出来的；遴选出来的；第二第二.它是在每隔四年才召开一次的国际数学它是在每隔四年才召开一次的国际数学家大会上隆重颁发的，且每次获奖者仅家大会上隆重颁发的，且每次获奖者仅 24 名名，因此获奖的机会比诺贝尔奖还要少；，因此获奖的机会比诺贝尔奖还要少；第三第三.也是最根本的一条是由于得奖人的出色也是最根本的一条是由于得奖人的出色才干和成就，
12、赢得了国际社会的声誉。才干和成就，赢得了国际社会的声誉。菲尔兹奖对青年数学家来说，是世界上最高的菲尔兹奖对青年数学家来说，是世界上最高的国际数学奖。从国际数学奖。从 1936 年开始到年开始到 2010 年，获菲年，获菲尔兹奖的已有尔兹奖的已有 53 人，他们都是数学天空中升人，他们都是数学天空中升起的灿烂明星，是数学界的精英。起的灿烂明星，是数学界的精英。国际数学联合会前主席帕利斯（国际数学联合会前主席帕利斯（Palis）说）说：“菲尔兹奖得主们的成就显示出高度的创造菲尔兹奖得主们的成就显示出高度的创造性和深刻性，性和深刻性，全世界数学工作者都为他全世界数学工作者都为他们的卓越贡献鼓掌喝彩。
13、们的卓越贡献鼓掌喝彩。”关于菲尔兹奖的趣闻.同财大气粗的诺贝尔奖相比，菲尔兹奖显得未免有些同财大气粗的诺贝尔奖相比，菲尔兹奖显得未免有些寒酸。不过，菲尔兹奖与诺贝尔奖的差别绝不仅在于奖寒酸。不过，菲尔兹奖与诺贝尔奖的差别绝不仅在于奖金多少。数学界中有一个流传颇广的传言，说是诺贝尔金多少。数学界中有一个流传颇广的传言，说是诺贝尔与当时瑞典著名数学家米塔格与当时瑞典著名数学家米塔格-莱夫勒莱夫勒(Mittag-(Mittag-Leffler)Leffler)因为争夺某一女子而失和，为防止莱夫勒获取因为争夺某一女子而失和，为防止莱夫勒获取自己设立的奖项，诺贝尔故意将被誉为自己设立的奖项，诺贝尔故意将
14、被誉为“科学的皇后科学的皇后”的数学排斥于诺贝尔奖之外。据说与莱夫勒保有的数学排斥于诺贝尔奖之外。据说与莱夫勒保有“持久持久的友谊的友谊”的菲尔兹设立的菲尔兹设立“菲尔兹奖菲尔兹奖”的一部分意图就是的一部分意图就是为好友伸张正义，为数学家设立一个与诺贝尔奖对立的为好友伸张正义，为数学家设立一个与诺贝尔奖对立的奖。奖。虽然纳什绝对是虽然纳什绝对是2424届国际数学家大会最引人注届国际数学家大会最引人注目的人物，但作为数学家，他从未获过菲尔兹目的人物，但作为数学家，他从未获过菲尔兹奖。从奖。从19361936年设立之日起，菲尔兹奖对于获奖年设立之日起，菲尔兹奖对于获奖者的要求中就有一条不成文的规定
15、者的要求中就有一条不成文的规定:所有得主所有得主年龄不超过年龄不超过4040岁。而尽管诺贝尔奖评审委员会岁。而尽管诺贝尔奖评审委员会对年龄从未作过规定，迄今为止却没有一位诺对年龄从未作过规定，迄今为止却没有一位诺贝尔经济学奖的得主年龄在贝尔经济学奖的得主年龄在4040岁以下。因此，岁以下。因此，数学界又流传着另一种说法数学界又流传着另一种说法:你是一个很想获你是一个很想获大奖的年轻数学家吗？如果到了大奖的年轻数学家吗？如果到了4040岁还没有拿岁还没有拿到菲尔兹奖，不如转行学经济学，争取拿诺贝到菲尔兹奖，不如转行学经济学，争取拿诺贝尔奖吧！尔奖吧！20062006年年8 8月月2222日，西班
16、牙马德里，当西班牙国王卡洛斯日，西班牙马德里，当西班牙国王卡洛斯一世在一世在30003000名世界一流的数学家面前颁发菲尔兹奖章时名世界一流的数学家面前颁发菲尔兹奖章时，获奖者格里戈里，获奖者格里戈里 佩雷尔曼在巨大的荣誉面前缺席了佩雷尔曼在巨大的荣誉面前缺席了。格里戈里。格里戈里 佩雷尔曼，这名佩雷尔曼，这名4040岁的俄罗斯圣彼得堡数岁的俄罗斯圣彼得堡数学奇人并不是第一次拒绝荣誉和奖项学奇人并不是第一次拒绝荣誉和奖项19951995年，他拒年，他拒绝斯坦福大学等一批美国著名学府的邀请；绝斯坦福大学等一批美国著名学府的邀请；19961996年，他年，他拒绝接受欧洲数学学会颁发的杰出青年数学家
17、奖。拒绝接受欧洲数学学会颁发的杰出青年数学家奖。“我我想他是一个非传统的人。他很讨厌被卷入各种浮华和偶想他是一个非传统的人。他很讨厌被卷入各种浮华和偶像崇拜。像崇拜。”哈佛大学的哈佛大学的ArthurJaffeArthurJaffe说。除了拒绝学术说。除了拒绝学术荣誉，佩雷尔曼似乎对金钱也不感兴趣。荣誉，佩雷尔曼似乎对金钱也不感兴趣。二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献二、菲尔兹奖得主对数学的主要贡献 从一个窗口展示出当代数学发展的轮廓和一些主流。菲尔兹奖得主在下述几个领域或分支，作出了重大贡献：拓扑学，代数几何，分析学（实、复、泛函），代数，数论，微分方程，微分几何，动力系统，数理逻辑，概率论。
18、拓扑学 塞尔（Serre）托姆（Thom）米尔诺（Milnor）斯梅尔（Smale）诺维科夫（Novikov）瑟斯顿（Thurston）弗里德曼（Freedman）唐纳森（Donaldson）琼斯（Jones）威腾（Witten）皮尔曼（Perelman）阿蒂亚（Atiyah）塞尔(Serre)塞尔(Serre)，法国数学家，1954 年获奖。他发展了纤维丛的概念，他对于拓扑学的经典问题：球面同伦群的计算，做出了根本意义上的推进工作。托姆（Thom）托姆（Thom），法国数学家，1958 年获奖。他构造了配边理论。他最有影响的工作是奇点理论方面的文章。它已演化成为一门独立学科突变理论。米尔诺（
19、Milnor），美国数学家。1962 年获奖。他最突出的成就，1956 年证明了七维流形上存在着不同的微分结构，从而导致了一个全新的拓扑学领域的诞生,即微分拓扑。阿蒂亚（Atiyah），英国数学家，1966 年获奖。他 1963 年（与美国数学家 Singer 合作）证明了指标定理，这个定理揭示了分析学,代数学和拓扑学之间的联系,并有力地推动了 K 理论的迅速发展。斯梅尔（Smale），美国数学家，1966 年获奖。他对微分拓扑中广义庞加莱猜想有重要建树，证明了四维以上的庞加莱猜想。创立了现代抽象微分动力系统理论。诺维科夫（Novikov），前苏联数学家，1970 年获奖。他对拓扑学（特别是微
20、分拓扑）作出了重要贡献，特别是对叶状结构理论，他证明了微分流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性。瑟斯顿（Thurston），美国数学家，1983 年获奖。他对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍结果(特别是对三维闭流形的拓扑分类作出了贡献)。他对叶状结构理论及证明史密斯(Smith)猜想作出了贡献。弗里德曼（Freedman），美国数学家，1986 年获奖。他 1982 年证明了四维流形拓扑的庞加莱猜想，他的结果四维紧致单连通拓扑流形的分类要比猜想本身更为一般。唐纳森（Donaldson），英国数学家，1986 年获奖。他对四维流形拓扑的研究，发现了四维几何学中难以预料与神秘的现象
21、“怪异”的 R4 空间的出现(四维流形上可以存在不同的微分结构,尤其是四维欧氏空间上存在着不可数无穷多种微分结构)。他的结果产生了一项新的研究，它揭示了流形的一些出人意料的性质（其中与代数簇的微分结构有关内容得到的广泛的关注）。琼斯（Jones），新西兰数学家，1990 年获奖。他在纽结理论中引入了他在算子代数工作中产生的多项式不变量,得到了一个全新的纽结不变量多项式,从而揭示了拓扑学与算子代数理论的深刻联系。威腾（Witten），美国数学家，1990 年获奖。他对莫尔斯理论，德。拉姆和霍奇理论，指标定理给出了新的表达和证明；他对“超弦理论”作出了重要贡献，这一理论完全可能在相对性理论、量子力
22、学和粒子相互作用之间作出统一的数学处理（这是爱因斯坦大半生的追求）。皮尔曼（Perelman），俄罗斯数学家。2006 年获奖。由于他在几何学的贡献，以及对 Ricci 流的解析结构和几何结构创新性的见解，特别对解决庞加莱猜想和瑟斯顿几何化猜想提供了解决的途径而闻名于世。代数几何 代数几何是当代数学的一个重要分支，它主要研究高维空间中由若干代数方程公共零点所确定的点集，及这些点集通过一定的构造方式导出的对象，即代数簇。由于对代数几何做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列10位：格罗腾迪克格罗腾迪克(Grothendieck)广中平佑广中平佑 曼福德曼福德(Mumford)德利涅德利涅(Delign
23、e)福尔廷斯福尔廷斯(Falting)德里费尔德德里费尔德(Drinfld)森重文森重文 孔采维奇孔采维奇(Kontsevich)沃伊沃德斯基沃伊沃德斯基(Voevodsky)奥克科夫奥克科夫(Okounkov)分析学 对分析学做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列对分析学做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列6位：位：施瓦尔茨施瓦尔茨(Schwartz)小平邦彦小平邦彦 费弗曼费弗曼(Fefferman)阿尔福斯阿尔福斯(Ahlfors)孔涅孔涅(Connes)高尔斯高尔斯(Gowers)代数 对代数做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列对代数做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列6位：位：汤普森（汤普森（
24、Thomposn）马古利斯（马古利斯（Margulis）奎伦（奎伦（Quillen）泽尔曼诺夫（泽尔曼诺夫（Zelmanov）博切尔兹（博切尔兹（Borcherds）奥克科夫（奥克科夫（Okounkov）数论 对数论做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列对数论做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列7位：位：赛尔伯格（赛尔伯格（Selberg）罗斯（罗斯（Roth）贝克（贝克（Baker）邦别里（邦别里（Bombieri）拉福格（拉福格（Lafforgue）外尔斯（外尔斯（Wiles）陶哲轩（陶哲轩（Tao）微分方程 微分方程做出贡献荣获菲尔兹奖的数学微分方程做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列家有下列3
25、位：位：赫尔曼德尔（赫尔曼德尔（Hormander）布尔盖恩（布尔盖恩（Bourgain）利翁（利翁（Lions）微分几何 对微分几何做出贡献荣获菲尔兹奖的数对微分几何做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列学家有下列2位：位：道格拉斯（道格拉斯（Douglas）丘成桐丘成桐（Yao）动力系统 动力系统理论是经典常微分方程式论的一种发动力系统理论是经典常微分方程式论的一种发展。它着重在抽象系统而非具体方程的定性研展。它着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究办法是整体性的。这整体性有些是究，其研究办法是整体性的。这整体性有些是拓扑式的，也有是统计式的。拓扑式的，也有是统计式的。由于对动力系统做出
26、贡献荣获菲尔兹奖的数学由于对动力系统做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列家有下列2位：位：约克斯（约克斯（Yoccoz）麦克马兰（麦克马兰（Mcmullen）概率论 对概率论做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列对概率论做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家有下列2位：位：奥克科夫（奥克科夫（Okounkov），他对随机性概念的应用），他对随机性概念的应用和表示论中的一些经典思想的利用作出了贡献，从而和表示论中的一些经典思想的利用作出了贡献，从而沟通了概率论、表示论和代数几何之间的联系。沟通了概率论、表示论和代数几何之间的联系。魏勒（魏勒（Werner），他对发展随机共形映射、布朗），他对发展随机共形映射、布
27、朗运动二维空间几何、以及对共形场理论作出了贡献。运动二维空间几何、以及对共形场理论作出了贡献。他的工作组合了概率论和经典复分析的思想，从而对他的工作组合了概率论和经典复分析的思想，从而对数学和物理学两者都产生了重要影响。数学和物理学两者都产生了重要影响。数理逻辑 对数理逻辑做出贡献荣获菲尔兹奖的数对数理逻辑做出贡献荣获菲尔兹奖的数学家是科恩（学家是科恩（Cohen）。）。他是美国数学家，他是美国数学家，1966 年获奖，运用年获奖，运用自己创造的自己创造的“力迫法力迫法”证明了连续统假证明了连续统假设与设与 ZF 公理系统是相互独立的公理系统是相互独立的,即他建即他建立起连续统假设相对于通常的
28、集合论公立起连续统假设相对于通常的集合论公理系统的不可证明性。这一基础性结果理系统的不可证明性。这一基础性结果具有广泛的科学与哲学意义。具有广泛的科学与哲学意义。有两点必须强调 第一第一,这这 53 位菲尔兹奖得主，不仅分别在上述位菲尔兹奖得主，不仅分别在上述数学分支中作出了卓越的贡献，而且他们中的数学分支中作出了卓越的贡献，而且他们中的绝大多数都是博学多能，涉足多个分支，在多绝大多数都是博学多能，涉足多个分支，在多个分支上都有重要建树个分支上都有重要建树。第二第二,他们的获奖成果他们的获奖成果,不仅与一个数学不仅与一个数学分支有关分支有关,往往与多个数学分支都有深刻往往与多个数学分支都有深刻
29、的关联。的关联。三、从菲尔兹奖看当代数学的特点三、从菲尔兹奖看当代数学的特点 1、当代数学在许多领域都取得了重大突、当代数学在许多领域都取得了重大突破，新思想，新概念，新理论，新方法破，新思想，新概念，新理论，新方法层出不穷，令人眼花缭乱，目不暇接。层出不穷，令人眼花缭乱，目不暇接。其中拓扑学、代数几何、分析学、代数其中拓扑学、代数几何、分析学、代数、数论、偏微分方程等，成果最为丰硕、数论、偏微分方程等，成果最为丰硕。特别是代数学和拓扑学大大的推动和。特别是代数学和拓扑学大大的推动和影响了其它分支的发展。影响了其它分支的发展。著名数学家外尔指出：著名数学家外尔指出：“今天，拓扑的今天，拓扑的天
30、使抽象代数的精灵为每一个数学领域天使抽象代数的精灵为每一个数学领域的灵魂而斗争的灵魂而斗争”。法国著名数学家迪厄多内称：法国著名数学家迪厄多内称：“代数拓代数拓扑学和微分拓扑学通过它们对于所有其扑学和微分拓扑学通过它们对于所有其它数学分支的影响它数学分支的影响,才真正应该成为名副才真正应该成为名副其实地称为其实地称为 20 世纪数学的女王世纪数学的女王”。数学已经朝着各个方向以非常惊人的速数学已经朝着各个方向以非常惊人的速度扩展，新的领域出现了，向其它领域度扩展，新的领域出现了，向其它领域的扩散加速了，从而使我们关于经典领的扩散加速了，从而使我们关于经典领域的知识变得更加深厚了。而且可以看域的
31、知识变得更加深厚了。而且可以看出，当代数学的发展，并不仅仅是一些出，当代数学的发展，并不仅仅是一些新概念、新理论、新方法的简单积累，新概念、新理论、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变革，可它包含着数学本身许多根本的变革，可以说是质的飞跃。以说是质的飞跃。但是质的变化不是通过破坏和推翻原有但是质的变化不是通过破坏和推翻原有成果来实现，而是通过深化和推广原有成果来实现，而是通过深化和推广原有成果而形成，进而达到新的境界，新的成果而形成，进而达到新的境界，新的高度，从而使数学这门最古老的科学充高度，从而使数学这门最古老的科学充满了勃勃生机。正如著名数学家外尔对满了勃勃生机。正如著名数学家
32、外尔对菲尔兹奖得主小平邦彦和塞尔的评价所菲尔兹奖得主小平邦彦和塞尔的评价所说：说：“数学界为你们所做的工作感到骄数学界为你们所做的工作感到骄傲，它表明数学这棵长满节瘤的老树仍傲，它表明数学这棵长满节瘤的老树仍然充满着勃勃生机。然充满着勃勃生机。”阿尔福斯说：阿尔福斯说：“我们生活在激动人心的时代，我们生活在激动人心的时代，各个学科领域取得了巨大的进展。各个学科领域取得了巨大的进展。与数与数学相关的计算机已使世界面貌为之一新。学相关的计算机已使世界面貌为之一新。数学领域内激动人心的事情更是层出不穷。近数学领域内激动人心的事情更是层出不穷。近年来，悬而未决的一些猜想出乎意料地得到解年来，悬而未决的
33、一些猜想出乎意料地得到解决决 重大的数学问题的突破甚为频繁。重大的数学问题的突破甚为频繁。古典分析日益靠拢邻近的数学分支，古典分析日益靠拢邻近的数学分支，我自我自信，这个健康的势头将继续下去。信，这个健康的势头将继续下去。”有的数学有的数学家认为：家认为：“20 世纪数学的成就，比古希腊到世纪数学的成就，比古希腊到 19 世纪末的总和还要多。世纪末的总和还要多。”2、当代数学的发生、发展，一方面是不断地、当代数学的发生、发展，一方面是不断地分化出新的分支，每个分支又分化出若干主题分化出新的分支，每个分支又分化出若干主题。以。以 20 世纪世纪 90 年代初美国数学评论和德年代初美国数学评论和德
34、国的数学文摘编辑部联合制订的数学主题国的数学文摘编辑部联合制订的数学主题就是有约就是有约 100 大类，每一大类之下，又分大类，每一大类之下，又分 20-50 个不等的子类，全部子类的总数约个不等的子类，全部子类的总数约 5100 个个；另一方面是各分支间的综合性、渗透性、统；另一方面是各分支间的综合性、渗透性、统一性也在增强和发展。一个分支所取得的成果一性也在增强和发展。一个分支所取得的成果，往往可以直接或间接地用到其它好多分支上，往往可以直接或间接地用到其它好多分支上去，并取得突破性的进展。去，并取得突破性的进展。例如，拓扑学的成果广泛地和分析、代例如，拓扑学的成果广泛地和分析、代数等其它
35、分支相结合，形成了当今数学数等其它分支相结合，形成了当今数学最为活跃的领域之一。最为活跃的领域之一。当代数学所表现出的这种高度分化又当代数学所表现出的这种高度分化又高度综合的趋势与当代数学各分支的相高度综合的趋势与当代数学各分支的相互渗透、相互促进的机能是导致当代数互渗透、相互促进的机能是导致当代数学整体向前发展的强大动力，也是当代学整体向前发展的强大动力，也是当代数学的特色之一。数学的特色之一。我们可以发现：当代数学世界中很大部分内容我们可以发现：当代数学世界中很大部分内容以一种完全意想不到的方式联系在一起。以一种完全意想不到的方式联系在一起。例如，代数在数学中名副其实的到处渗透。例如，代数
36、在数学中名副其实的到处渗透。我们从我们从“朗兰兹纲领朗兰兹纲领”中，可以发现：代数中，可以发现：代数中的基本对象跟分析中同样基本对象牢牢地拴中的基本对象跟分析中同样基本对象牢牢地拴在一起。又如，阿蒂亚的指标定理，就是代数在一起。又如，阿蒂亚的指标定理，就是代数学、拓扑学、分析学等多个数学分支相互结合学、拓扑学、分析学等多个数学分支相互结合的典型实例。的典型实例。又例如，赛尔伯格在解析数论方面的研又例如，赛尔伯格在解析数论方面的研究成果，就揭示了数论与其它分支的深究成果，就揭示了数论与其它分支的深刻联系，使人们能看到相距甚远的数学刻联系，使人们能看到相距甚远的数学分支是如何交织在一起的，象离散群
37、理分支是如何交织在一起的，象离散群理论与自守形，半单李群的表示论，论与自守形，半单李群的表示论，zeta 函数理论与散射理论等等就是如此。函数理论与散射理论等等就是如此。又如，马尔古利斯对又如，马尔古利斯对“赛尔伯格猜想赛尔伯格猜想”的证明的证明，正是巧妙而综合地运用了微分几何、代数学，正是巧妙而综合地运用了微分几何、代数学、动力系统及遍历理论等多种看起来似乎毫无、动力系统及遍历理论等多种看起来似乎毫无关系的理论，才最终把问题解决了。关系的理论，才最终把问题解决了。又如托姆的突变理论。它建筑于莫尔斯理论，又如托姆的突变理论。它建筑于莫尔斯理论，惠特尼的奇点理论，以及其它诸多数学分支之惠特尼的奇
38、点理论，以及其它诸多数学分支之上。在一个统一构思的框架中，它溶合了不同上。在一个统一构思的框架中，它溶合了不同数学领域的众多优美的结果。数学领域的众多优美的结果。因此，菲尔兹奖得主阿蒂亚深有感触地因此，菲尔兹奖得主阿蒂亚深有感触地说：说：“数学最使我着迷之处，是不同分数学最使我着迷之处，是不同分支之间有许许多多的相互影响，预想不支之间有许许多多的相互影响，预想不到的联系和惊人的奇迹。到的联系和惊人的奇迹。”赛尔伯格说：赛尔伯格说：“一些看来相距较远又没一些看来相距较远又没有任何联系的不同数学领域之间，通过有任何联系的不同数学领域之间，通过架桥铺路，最终使它们变得密切相关。架桥铺路，最终使它们变
39、得密切相关。”日本著名数学家、沃尔夫奖得主伊藤清日本著名数学家、沃尔夫奖得主伊藤清也指出：也指出：“数学各分支之间的相互联系数学各分支之间的相互联系越来越密切，作为有机整体的数学正在越来越密切，作为有机整体的数学正在形成。形成。”菲尔兹奖得主费里德曼说：菲尔兹奖得主费里德曼说：“今天我今天我认为我们都能够感受到来自不同分支的认为我们都能够感受到来自不同分支的思想汇聚在一起所产生的数学的强大动思想汇聚在一起所产生的数学的强大动力力”。所以，法国著名数学家、布尔巴基学派所以，法国著名数学家、布尔巴基学派的重要成员、沃尔夫奖得主的重要成员、沃尔夫奖得主 H.嘉当指出嘉当指出：“对数学的所有重要分支进
40、行综合研对数学的所有重要分支进行综合研究，看来时机已经成熟，这种研究应该究，看来时机已经成熟，这种研究应该 使各科目之间的基本联系得以理解。使各科目之间的基本联系得以理解。”的确，当代数学家们面临的挑战，是如的确，当代数学家们面临的挑战，是如何去建立一些桥梁，把更多的分支都联何去建立一些桥梁，把更多的分支都联系起来。菲尔兹奖得主格罗腾迪克的系起来。菲尔兹奖得主格罗腾迪克的“纲领概要纲领概要”实质上是一个探寻在几何，实质上是一个探寻在几何，组合拓扑及代数几何之间联系的问题。组合拓扑及代数几何之间联系的问题。法国数学家拉福格，正是由于证明了与法国数学家拉福格，正是由于证明了与函数相应的整体函数相应
41、的整体“朗兰兹纲领朗兰兹纲领”，从而，从而在数论与分析两大领域之间建立了新的在数论与分析两大领域之间建立了新的联系，因而荣获了联系，因而荣获了 2002 年度的菲尔兹奖年度的菲尔兹奖。3、数学研究的对象，并不局限于一般的、数学研究的对象，并不局限于一般的“数数”和和“形形”，当代数学中的，当代数学中的“数数”、“形形”的概念已发展到很高的境地，比如的概念已发展到很高的境地，比如，非数之，非数之“数数”的众多代数结构，像群的众多代数结构，像群、环、域等、环、域等;无形之无形之“形形”的各种抽象的各种抽象空间空间,像线性空间、拓扑空间、流形等。像线性空间、拓扑空间、流形等。数学还研究现实世界的任何
42、形式与关系数学还研究现实世界的任何形式与关系，研究各种抽象的，研究各种抽象的“数数”和和“形形”的模的模式结构。式结构。正如菲尔兹奖得主赛尔伯格所说：正如菲尔兹奖得主赛尔伯格所说：“今天，我今天，我们的数学主要关心的是结构及结构间的关系们的数学主要关心的是结构及结构间的关系”。从而使数学的抽象程度越来越高。抽象性可。从而使数学的抽象程度越来越高。抽象性可以克服形象直观中的以克服形象直观中的“局部性局部性”和和“局限性局限性”，使其揭示的问题更广泛、深刻。例如，菲尔，使其揭示的问题更广泛、深刻。例如，菲尔兹奖得主格罗腾迪克引进的兹奖得主格罗腾迪克引进的“概型概型”这个概念这个概念，就把代数几何抽
43、像程度提高到了新的水平，就把代数几何抽像程度提高到了新的水平，几何形象的痕迹完全消失，它超过了不少受传几何形象的痕迹完全消失，它超过了不少受传统教育的数学家们的理解，从而被誉为代数几统教育的数学家们的理解，从而被誉为代数几何的一次革命。何的一次革命。4、数学的应用越来越广，它不声不响地、数学的应用越来越广，它不声不响地向其它学科纵深渗透。例如：托姆的突向其它学科纵深渗透。例如：托姆的突变理论，这个理论的发展已经远远超出变理论，这个理论的发展已经远远超出了纯数学，甚至物理学的范畴。这一理了纯数学，甚至物理学的范畴。这一理论已经成为最受公众关注的数学现象，论已经成为最受公众关注的数学现象，它已经或
44、正在应用于诸如生物学、动物它已经或正在应用于诸如生物学、动物行为学、胚胎学、形态发生学、经济学行为学、胚胎学、形态发生学、经济学、社会学、语言学等众多领域。、社会学、语言学等众多领域。小平邦彦说：小平邦彦说：“数学被广泛应用于物理数学被广泛应用于物理学，天文学等自然科学，简直起了难以学，天文学等自然科学，简直起了难以想象的作用，而且有许多情况说明，自想象的作用，而且有许多情况说明，自然科学理论中需要的数学在发现该理论然科学理论中需要的数学在发现该理论以前，就由数学家预先准备好了，这是以前，就由数学家预先准备好了，这是难以想象的现象。难以想象的现象。”从而进一步证实了爱因斯坦的名言从而进一步证实
45、了爱因斯坦的名言:“理理论物理学家越来越不得不服从于纯数学论物理学家越来越不得不服从于纯数学形式的支配形式的支配”和伽利略的名言：和伽利略的名言：“自然界的伟大的书是自然界的伟大的书是用数学语言写成的。用数学语言写成的。”我们可以看出，数学对于现实生活的影响正在我们可以看出，数学对于现实生活的影响正在与日俱增，例如：电视广播、多路通迅、气象与日俱增，例如：电视广播、多路通迅、气象预报、金融保险、预报、金融保险、CT 扫描、药物检验、智能扫描、药物检验、智能电器、航天科技、飞机制造、成衣制造、石油电器、航天科技、飞机制造、成衣制造、石油勘探勘探.，无一不用数学。许多学科都在或先，无一不用数学。许
46、多学科都在或先或后地经历着一场数学化的进程。现在，已经或后地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学的渗透。例如没有哪个领域能够抵御得住数学的渗透。例如，诺贝尔经济学奖得主中，有，诺贝尔经济学奖得主中，有 27 位的获奖工位的获奖工作都有相当数学化的。其中纳什和康托诺维奇作都有相当数学化的。其中纳什和康托诺维奇原本就是数学家原本就是数学家。从而进一步证实了培根的名言：从而进一步证实了培根的名言：“数学是打开数学是打开科学大门的钥匙。科学大门的钥匙。”从而也进一步证实了高斯的名言：从而也进一步证实了高斯的名言：“数学是数学是科学的皇后，科学的皇后，它常常屈尊去为天文学和其它
47、常常屈尊去为天文学和其它科学效劳，但在所有关系中，它都堪称第一它科学效劳，但在所有关系中，它都堪称第一。”菲尔兹奖得主弗里德曼高兴地说：菲尔兹奖得主弗里德曼高兴地说：“我要对我要对数学家们的努力击掌欢呼，他们正在教育、能数学家们的努力击掌欢呼，他们正在教育、能源、经济、国防以及世界和平等问题阐明自己源、经济、国防以及世界和平等问题阐明自己的观点。的观点。”5、这、这 49 位菲尔兹奖得主中，美国位菲尔兹奖得主中，美国 15 人：人：阿尔福斯（芬兰裔）、阿尔福斯（芬兰裔）、道格拉斯、赛尔伯格道格拉斯、赛尔伯格（挪威裔）、（挪威裔）、米尔诺、斯梅尔、米尔诺、斯梅尔、汤普森、费汤普森、费弗曼、弗曼、
48、瑟斯顿、瑟斯顿、科恩、科恩、奎伦、弗里德曼、奎伦、弗里德曼、曼福德（英裔）、曼福德（英裔）、丘成桐（华裔）、丘成桐（华裔）、威滕、麦克马兰。威滕、麦克马兰。法国法国 10 人：人：施瓦尔茨、托姆、塞尔、格罗腾迪克、施瓦尔茨、托姆、塞尔、格罗腾迪克、德利涅（比利时裔）、孔涅、利翁、约德利涅（比利时裔）、孔涅、利翁、约克兹、拉福格、魏勒（德裔）。克兹、拉福格、魏勒（德裔）。英国英国 7 人：人：罗斯（德裔）、阿蒂亚、贝克、唐纳森、高罗斯（德裔）、阿蒂亚、贝克、唐纳森、高尔斯、外尔斯、博切尔兹。尔斯、外尔斯、博切尔兹。前苏联及俄罗斯有前苏联及俄罗斯有 8 人：人：诺维科夫、马古利斯、德里费尔德，泽尔
49、曼诺维科夫、马古利斯、德里费尔德，泽尔曼诺夫、孔采维奇、沃伊沃德斯基、奥克科夫诺夫、孔采维奇、沃伊沃德斯基、奥克科夫、皮尔曼、皮尔曼。日本有日本有 3 人：人：小平邦彦、广中平佑、森重文。小平邦彦、广中平佑、森重文。比利时比利时 1 人：布尔盖恩。人：布尔盖恩。德国德国 1 人：福尔廷斯。人：福尔廷斯。意大利意大利 1 人：邦别里。人：邦别里。瑞典瑞典 1 人：赫尔曼德尔。人：赫尔曼德尔。新西兰新西兰 1 人：琼斯。人：琼斯。澳大利亚澳大利亚 1 人：陶哲轩人：陶哲轩。从这个分布可以看出：当今美国的数学水平居于世界前列，当今美国的数学水平居于世界前列，20 世纪世纪 30 年代初，希特勒上台，
50、使欧洲遭年代初，希特勒上台，使欧洲遭到空间浩劫，大批数学家先后移居美国到空间浩劫，大批数学家先后移居美国，如外尔，冯，如外尔，冯 诺伊曼，诺特，阿廷，诺伊曼，诺特，阿廷，哥德尔，西格尔，柯朗等；哥德尔，西格尔，柯朗等；美国重视科学和人才，吸引了世界许多美国重视科学和人才，吸引了世界许多有才华的数学家到那里参加研究工作或有才华的数学家到那里参加研究工作或任教；任教；法国、英国的数学教育和数学研究，有很好的法国、英国的数学教育和数学研究，有很好的基础和优良的传统，仍保持着很高的水平；基础和优良的传统，仍保持着很高的水平；前苏联的数学水平也是很高的，它重视基础理前苏联的数学水平也是很高的，它重视基础
