1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 第第2讲讲 数学归纳法、数列的通项公式与数列求和数学归纳法、数列的通项公式与数列求和 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 专 题 强 化 训 练 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 用数用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，证明步骤：学归纳法证明与自然数有关的数学命题，证明步骤： (1)证明当证明当 n
2、 取第一个值取第一个值 n0(n0N*)时时，命题成立命题成立 (2)假设当假设当 nk(kN*，且且 kn0)时命题时命题成立成立，证明当证明当 nk1 时命题也成立时命题也成立 由由(1)(2)，可知命题对于从可知命题对于从 n0开始的所有正整数都成立开始的所有正整数都成立 数学归纳法数学归纳法 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (2019 宁波市九校联考宁波市九校联考)已知已知 nN*， Sn(n1) (n2)(nn)， Tn2n13 (2n1) (1)求求 S1，S2，S3，T1，T2，T3； (2)猜
3、想猜想 Sn与与 Tn的关系的关系，并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明 【解】【解】 (1)S1T12，S2T212，S3T3120. (2)猜想：猜想：SnTn(nN*) 证明：证明：当当 n1 时时，S1T1； 假设当假设当 nk(k1 且且 kN*)时时，SkTk， 即即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)， 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 5 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 则当则当 nk1 时时， Sk 1(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1) (k2)(k3)(2k)(2k1)(2k2) 2 k 13（2k1） k1 (2k1
4、)(2k2) 2k 1 13(2k1)(2k1)Tk 1. 即即 nk1 时也成立时也成立， 由由可知可知，nN*，SnTn成立成立 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 利用数利用数学归纳法时应注意以下两点学归纳法时应注意以下两点 (1)这两步合为一体才是数学归纳法这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可其中第一步是基础缺一不可其中第一步是基础，第二步是递推的依第二步是递推的依 据据 (2)用数学归纳法证明与不等式有关的命题用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由在由 nk 证明证明 nk1 时时，要准确利用证要准确利用证 明不等式
5、的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 (2019 高考浙江卷高考浙江卷)设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a34，a4S3.数列数列bn满足：对每满足：对每 个个 nN*，Snbn，Sn 1bn，Sn2bn成等比数列成等比数列 (1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式； (2)记记 cn an 2bn， ，nN*，证明：证明：c1c2cn2 n，nN*. 专题三专题三 数列与数学归纳法
6、数列与数学归纳法 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)设数列设数列an的公差为的公差为 d，由题意得由题意得 a12d4，a13d3a13d， 解得解得 a10，d2. 从而从而 an2n2，nN*. 所以所以 Snn2n，nN*. 由由 Snbn，Sn 1bn，Sn2bn成等比数列得成等比数列得 (Sn 1bn)2(Snbn)(Sn2bn) 解得解得 bn1 d(S 2 n 1SnSn2) 所以所以 bnn2n，nN*. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)证明：证明：cn an 2bn 2n
7、2 2n（n1） n1 n（n1）， ，nN*. 我们用数学归纳法证明我们用数学归纳法证明 当当 n1 时时，c102，不等式成立；不等式成立； 假设假设 nk(kN*)时不等式成立时不等式成立，即即 c1c2ck2 k， 那么那么，当当 nk1 时时， 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 c1c2ckck 12 k k （k1）（）（k2）2 k 1 k12 k 2 k1 k 2 k2( k1 k)2 k1， 即当即当 nk1 时不等式也成立时不等式也成立 根据根据和和知知，不等式不等式 c1c2cn1，且且 a3a4a528
8、，a42 是是 a3，a5的等差中项数列的等差中项数列bn满足满足 b11，数列数列(bn 1bn)an的前的前 n 项和为项和为 2n2n. 求求 q 的值；的值； 求数列求数列bn的通项公式的通项公式 (2)已知数列已知数列an满足满足 a11，且且 a2 n 1a2n2(an1anan1an1 2) 求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 求证：求证： 1 a2 1 1 a2 2 1 a2 n1，所以所以 q2. 设设 cn(bn 1bn)an，数列数列cn前前 n 项和为项和为 Sn. 由由 cn S1， ，n1， SnSn 1，n2，解得 解得 cn4n1. 专题三专题三 数列与数
9、学归纳法数列与数学归纳法 27 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 由由可知可知 an2n 1， ， 所以所以 bn 1bn(4n1) 1 2 n1， ， 故故 bnbn 1(4n5) 1 2 n2， ，n2， bnb1(bnbn 1) (bn1bn2)(b3b2)(b2b1) (4n5) 1 2 n2 (4n9) 1 2 n3 7 1 2 3. 设设 Tn37 1 2 11 1 2 2 (4n5) 1 2 n2， ，n2， 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 28 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 1 2Tn 3 1 2 7 1 2 2 (4n9) 1
10、2 n2 (4n5) 1 2 n1， ， 所以所以1 2Tn 34 1 2 4 1 2 2 4 1 2 n2 (4n5) 1 2 n1， ， 因此因此 Tn14(4n3) 1 2 n2， ，n2， 又又 b11，所以所以 bn15(4n3) 1 2 n2. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 29 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)a11，且且 a2 n 1a2n2(an1anan1an1 2)， ， 可得可得 a2 n 1a2n2an1an2an12an10， 即有即有(an 1an)22(an1an)10， 即为即为(an 1an1)20， 可得可得 an
11、1an1， 则则 ana1n1n，nN*. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 30 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明：证明：由由 1 a2 n 1 n22. 则则 1 a2 1 1 a2 2 1 a2 n 11 4 1 32 1 n2 11 4 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n 7 4 1 n 7 4， ， 故原不等式成立故原不等式成立 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 31 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 数列求和方法选择的依据是该数列的通项公式的特征数列求和方法选择的依据是该数列的通项公式的特征，所以准确求解通
12、项公式是解决此所以准确求解通项公式是解决此 类问题的基础类问题的基础，更要熟记数列求和方法与通项公式之间的对应更要熟记数列求和方法与通项公式之间的对应，记住基本步骤和关键点记住基本步骤和关键点， 如错位相减法中如错位相减法中，两式作减法后所得式子的项数以及对应项之间的关系两式作减法后所得式子的项数以及对应项之间的关系，求和时注意等求和时注意等 比数列比数列的确定；裂项相消的确定；裂项相消法的关键在于准确裂项法的关键在于准确裂项，把握相消后所剩式子的结构特征，把握相消后所剩式子的结构特征 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 32 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训
13、练对点训练 1(2019 绍兴一中高三期末考试绍兴一中高三期末考试)已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a11，当当 n2 时时，an 2Sn 1n，则则 S2 017( ) A1 006 B1 007 C1 008 D1 009 解析：解析：选选 D.an2Sn 1nan12Snn1an1an2an1an1an1S2 017a1 (a2a3)(a2 016a2 017)1 008111 009，故故选选 D. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 33 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2 (2019 杭州市高三期末考试杭州市高三期末考试)设数列设数
14、列an的前的前 n 项和为项和为 Sn.若若 Sn2ann， 则则 2 a1a2 4 a2a3 8 a3a4 16 a4a5 _ 解析：解析：因为因为 Sn2ann，所以所以 n2 时时，anSnSn 12ann2an1(n1)， 所以所以 an2an 11，化为：化为：an12(an11)， n1 时时，a12a11，解得解得 a11. 所以数列所以数列an1是等比数列是等比数列，首项为首项为 2，公比为，公比为 2. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 34 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所所 an12n，即即 an2n1， 所以所以 2n anan 1 2n
15、 （2n1）（）（2n 1 1） 1 2n1 1 2n 1 1. 所以所以 2 a1a2 4 a2a3 8 a3a4 16 a4a5 1 21 1 221 1 221 1 231 1 241 1 251 1 1 251 30 31. 答案：答案：30 31 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 35 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 36 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
