1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题四专题四 立体几何立体几何 第第1讲讲 空间几何体空间几何体 专题四专题四 立体几何立体几何 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 专 题 强 化 训 练 专题四专题四 立体几何立体几何 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1三视图的排列规则三视图的排列规则 俯视图放在正俯视图放在正(主主)视图的下面视图的下面，长度与正长度与正(主主)视图的长度一样视图的长度一样，侧侧(左左)视图放在正视图放在正(主主)视视 图的右面图的右面，高度与正高度与正
2、(主主)视图的高度一样视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高长对正、高 平齐、宽相等平齐、宽相等” 空间几何体与三视图空间几何体与三视图 2由三视图还原几何体的步骤由三视图还原几何体的步骤 一般先由俯视图确定底面一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体再利用正视图与侧视图确定几何体 专题四专题四 立体几何立体几何 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 温州瑞安七中高考模拟温州瑞安七中高考模拟)下列结论正确的是下列结论正确的是( ) A各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三
3、棱锥 B以三角形的一条边所在直线为旋转轴以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥圆锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥则该棱锥可能是正六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 专题四专题四 立体几何立体几何 5 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)(2019 杭州市五校联考杭州市五校联考)一个四面体的顶一个四面体的顶点在空间直角坐标系点在空间直角坐标系 O- xyz中的坐标分别是
4、中的坐标分别是(1， 0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时画该四面体三视图中的正视图时，以以 zOx 平平 面为投影面面为投影面，则得到正视图可以为则得到正视图可以为( ) 专题四专题四 立体几何立体几何 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)A.如图如图(1)所示所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面各面 都是三角形都是三角形，但它不是棱锥但它不是棱锥，故故 A 错误；错误；B.如图如图(2)(3)所示所示，若若ABC 不是直角三角形不是直角三
5、角形， 或是直角三角形但旋转轴不是直角边或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥所得的几何体都不是圆锥，故故 B 错误；错误；C.若六棱若六棱 锥的所有棱长都相等锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由过中心和顶点的截面知则底面多边形是正六边形由过中心和顶点的截面知，若以正六若以正六 边形为底面边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长侧棱长必然要大于底面边长，故故 C 错误；错误；D.根据圆锥母线的定义知根据圆锥母线的定义知，故故 D 正确故选正确故选 D. 专题四专题四 立体几何立体几何 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)因为一个四面体的顶点在空间直角
6、坐标系因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是中的坐标分别是(1， 0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图几何体的直观图如图，是以正是以正 方体的顶点为顶点的一个正四面体方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以所以以 zOx 平面为投影面平面为投影面，则得到则得到 正视图为正视图为 A. 【答案】【答案】 (1)D (2)A 专题四专题四 立体几何立体几何 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (1)判断与几何体结构特征有关问题的技巧判断与几何体结构特征有关问题的技巧 把握几何体的结构特征把握几何体的结构特征，熟悉空间几
7、何体性质熟悉空间几何体性质，能够根据条件构建几何模型能够根据条件构建几何模型，从而判断从而判断 命题的真假命题的真假，有有时也可通过反例对结构特征进行辨析时也可通过反例对结构特征进行辨析 (2)已知几何体识别三视图的技巧已知几何体识别三视图的技巧 已知几何体画三视图时已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面然后再确定线在投影面 的实虚的实虚 专题四专题四 立体几何立体几何 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 福州市综合质量检测福州市综合质量检测)如图如图，网格纸上小正方形的边长为
8、网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几粗线画出的是某几 何体的三视图何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是则此几何体各面中直角三角形的个数是( ) A2 B3 C4 D5 专题四专题四 立体几何立体几何 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选 C.由三视图知由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥该几何体是如图所示的四棱锥 P- ABCD，易知四易知四 棱锥棱锥 P- ABCD 的四个侧面都是直角三角形的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形即此几何体各面中直角三角形 的个数是的个数是 4. 专题四专题四 立体几何立体几何 11 返回
9、导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2图图是棱长为是棱长为 1 的正方体的正方体 ABCD- A1B1C1D1截去三棱锥截去三棱锥 A1 AB1D1后得到的几何体后得到的几何体， 将将 其绕着棱其绕着棱 DD1所在的直线逆时针旋转所在的直线逆时针旋转 45，得到如图得到如图所示的几何体所示的几何体，该几何体的正视该几何体的正视 图为图为( ) 专题四专题四 立体几何立体几何 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选 B.由题意可知由题意可知，该几何体的正视图该几何体的正视图是长方形是长方形，底面对角线，底面对角线 DB 在正视图中的长在正视图中的长 为为
10、2，棱棱 CC1在正视图中为虚线在正视图中为虚线，D1A，B1A 在正视图中为实线在正视图中为实线，故该几何体的正视图故该几何体的正视图 为为 B. 专题四专题四 立体几何立体几何 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1柱体、锥体、台体的侧面积公式柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S柱侧 柱侧ch(c 为底面周长为底面周长，h 为高为高)； (2)S锥侧 锥侧1 2ch(c 为底面周长 为底面周长，h为斜高为斜高)； (3)S台侧 台侧1 2(c c)h(c，c 分别为上下底面的周长分别为上下底面的周长，h为斜高为斜高) 空间几何体的表面积与体积空间几何体
11、的表面积与体积 专题四专题四 立体几何立体几何 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体 柱体Sh(S 为底为底面面积，面面积，h 为高为高)； (2)V锥体 锥体1 3Sh(S 为底面面积 为底面面积，h 为高为高)； (3)V台 台1 3(S SSS)h(S，S分别为上下底面面积分别为上下底面面积，h 为高为高)(不要求记忆不要求记忆) 专题四专题四 立体几何立体几何 15 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 高考浙江卷高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学
12、家祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家， 他提出的他提出的“幂势既同幂势既同， 则积不容异则积不容异”称为祖暅原理称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体 柱体Sh，其中其中 S 是是 柱体的底面积柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：单位：cm)，则该柱体的体则该柱体的体 积积(单位：单位：cm3)是是( ) A158 B162 C182 D324 专题四专题四 立体几何立体几何 16 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)(2019 浙江高浙江高校招生选考试题校招生选考试题)如
13、图如图(1)， 把棱长为把棱长为1的正方体沿平面的正方体沿平面AB1D1和平面和平面A1BC1 截去部分后截去部分后，得到如图得到如图(2)所示几何体所示几何体，则该几何体的体积为则该几何体的体积为( ) A.3 4 B. 17 24 C. 2 3 D. 1 2 专题四专题四 立体几何立体几何 17 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)(2019 宁波十校联合模拟宁波十校联合模拟)如图为某几何体的三视图如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为则该几何体的体积为 _cm3，表面积为表面积为_cm2. 专题四专题四 立体几何立体几何 18 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一
14、页上一页 【解析】【解析】 (1)由三视图可知由三视图可知， 该几何体是一个直五棱柱该几何体是一个直五棱柱， 所以其体积所以其体积 V1 2 (4323 66)6162.故选故选 B. (2)把棱长为把棱长为 1 的正方体沿平面的正方体沿平面 AB1D1和平面和平面 A1BC1截去部分后截去部分后，得到几何体的体积：得到几何体的体积：V VABCD A1B1C1D1VA A1B1D1VB A1B1C1VN A1B1M 1111 3 1 2 11 11 3 1 2 11 11 3 1 2 2 2 2 2 1 2 17 24. 专题四专题四 立体几何立体几何 19 返回导返回导 航航 下一页下一页
15、 上一页上一页 (3)由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为 3，4 的直角三角形的直角三角形， 高为高为 5 的三棱柱的三棱柱，割去一个底面与三棱柱底面相同割去一个底面与三棱柱底面相同，高为高为 3 的三棱锥的三棱锥，所以所以 该几何体的体积为：该几何体的体积为：1 2 3451 3 1 2 34324 cm3； 表面积为：表面积为：1 2 (25)41 2 (25)31 2 3455 3 4 52111 2 25 4 3 cm2. 【答案】【答案】 (1)B (2)B (3)24 111 2 25 3 4 专题四专题四 立体几何立体几何 2
16、0 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (1)求解几何体的表面积及体积的技巧求解几何体的表面积及体积的技巧 求几何体的表面积及体积问题求几何体的表面积及体积问题， 可以多角度、 多方位地考虑可以多角度、 多方位地考虑， 熟记公式是关键所在 求熟记公式是关键所在 求 三棱锥的体积三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求转化原则是其高易求，底面放在已知几何体底面放在已知几何体 的某一面上的某一面上 求不规则几何体的体积求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体将不规则几何体转化为规则几何体 以易于
17、求解以易于求解 专题四专题四 立体几何立体几何 21 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状 第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量 第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解 专题四专题四 立体几何立体几何 22 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1某几何体的三视某几
18、何体的三视图如图所示图如图所示(单位：单位：cm)，则该几何体的体积则该几何体的体积(单位：单位：cm3)是是( ) A. 2 1 B. 2 3 C.3 2 1 D.3 2 3 专题四专题四 立体几何立体几何 23 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选 A.由几何体的三视图可得由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该故该 几何体的体积几何体的体积 V1 3 1 2 31 3 1 2 213 2 1，故选故选 A. 专题四专题四 立体几何立体几何 24 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2
19、(2019 浙江名校协作体高三联考浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是且该几何体的体积是 3 cm3，则正视图中的则正视图中的 x 的值是的值是_cm，该几何体的表面积是该几何体的表面积是_cm2. 专题四专题四 立体几何立体几何 25 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：由三视图可知由三视图可知，该几何该几何体是底面为直角梯形的四棱锥体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如，其直观图如 图所示， 由棱锥的体积公式得，图所示， 由棱锥的体积公式得， 1 3 1 2 (12) 3x 3x2， 侧面侧面 ADS， CD
20、S，ABS 为直角三角形为直角三角形，侧面侧面 BCS 是以是以 BC 为底的等腰三角形为底的等腰三角形，所以该所以该 几何体的表面积为几何体的表面积为 S1 2(1 2) 322 321 72 75 3 3 74 2 . 答案：答案：2 5 33 74 2 专题四专题四 立体几何立体几何 26 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 与球有与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形，明确切点明确切点 和接点的位置和接点的位置，确定有关元素间的数量关系确定有关元素间的数量关系，并作出合适的
21、截面图并作出合适的截面图 多面体与球的切接问题多面体与球的切接问题 专题四专题四 立体几何立体几何 27 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 浙江高考冲刺卷浙江高考冲刺卷)已知一个棱长为已知一个棱长为 4 的正方体的正方体，过正方体中两条互为异面过正方体中两条互为异面 直线的棱的中点作直线直线的棱的中点作直线，则该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是则该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是( ) A2 11 B2 10 C6 D4 2 (2)已知三棱锥已知三棱锥 S- ABC 的所有顶点都在球的所有顶点都在球 O 的球面上的球面上，S
22、C 是球是球 O 的直径若平面的直径若平面 SCA 平面平面 SCB， SAAC，SBBC， 三棱锥三棱锥 S- ABC 的体积为的体积为 9， 则球则球 O 的表面积为的表面积为_ 专题四专题四 立体几何立体几何 28 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)如图所示如图所示，球的半径为球的半径为 2 3，球心球心(2，2，2)，M(4，0，2)， N(0，2，4)，MN 的中点的中点(2，1，3)，球心到球心到 MN 的距离为的距离为 2，所以该直所以该直 线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是 2 1222 10，
23、故选故选 B. 专题四专题四 立体几何立体几何 29 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)设球设球 O 的半径为的半径为 R，因为因为 SC 为球为球 O 的直径的直径，所以点所以点 O 为为 SC 的中点的中点，连接连接 AO，OB， 因为因为 SAAC， SBBC， 所以所以 AOSC， BOSC， 因为平面因为平面 SCA平面平面 SCB， 平面平面 SCA 平面平面 SCBSC，所以所以 AO平面平面 SCB，所以所以 VS- ABCVA- SBC 1 3 S SBC AO 1 3 (1 2 SC OB) AO， 即即 91 3 ( 1 2 2R R) R， ， 解得
24、解得 R3， 所以球所以球 O 的表面积为的表面积为 S4R24 32 36. 【答案】【答案】 (1)B (2)36 专题四专题四 立体几何立体几何 30 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 多面体与球接、切问题的求解策略多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切一般为接、切 点点)或线作截面或线作截面，把空间问题转化为平面问题把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间再利用平面几何知识寻找几何体中元素间 的关系的关系，或只画内接
25、、外切的几何体的直观图或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置确定球心的位置，弄清球的半径弄清球的半径(直径直径) 与该几何体已知量的关系与该几何体已知量的关系，列方程列方程(组组)求解求解 (2)若球面上四点若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段构成的三条线段 PA，PB，PC 两两两互相垂直两互相垂直，且，且 PAa， PBb，PCc，一般把有关元素一般把有关元素“补形补形”成为一个球内接长方体成为一个球内接长方体，则则 4R2a2b2c2 求解求解 专题四专题四 立体几何立体几何 31 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 嘉兴一模
26、嘉兴一模)如图如图，这是某几何体的三视图这是某几何体的三视图，正视图是等边三角正视图是等边三角形，侧视图和俯视形，侧视图和俯视 图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( ) A20 3 B8 C9 D19 3 专题四专题四 立体几何立体几何 32 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选 D.如图如图，该几何体为三棱锥该几何体为三棱锥 A- BCD，设三棱锥外接球的球心设三棱锥外接球的球心 为为 O，O1，O2分别为分别为BCD，ABD 的外心的外心，依题意得，依题意得，OO1 3 6 AB 3 3 ，O1D1 2CD 5
27、2 ，所以球的半径所以球的半径 R OO2 1 O1D2 19 12， ，所所 以该几何体外接球的表面积以该几何体外接球的表面积 S4R219 3 . 专题四专题四 立体几何立体几何 33 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 金华十校联考金华十校联考)在正三棱锥在正三棱锥 S- ABC 中中，M 是是 SC 的中点的中点，且且 AMSB，底面边底面边 长长 AB2 2，则正三棱锥则正三棱锥 S ABC 的体积为的体积为_，其外接球的表面积为其外接球的表面积为_ 解析：解析：取取 AC 中点中点 D，则则 SDAC，DBAC， 又因为又因为 SDBDD，所以所以 AC平
28、面平面 SDB， 因为因为 SB 平面平面 SBD，所以所以 ACSB， 又因为又因为 AMSB，AMACA， 专题四专题四 立体几何立体几何 34 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以所以 SB平面平面 SAC， 所以所以 SASB，SCSB， 根据对称性可知根据对称性可知 SASC，从而可知从而可知 SA，SB，SC 两两垂直两两垂直， 将其补为立方体将其补为立方体，其棱长为其棱长为 2， 所以所以 VS- ABCSC- ASB1 3 1 2 2 2 2 4 3， ， 其外接球即为立方体的外接球其外接球即为立方体的外接球， 半径半径 r 3 2 2 3， 表面积表面积 S4 312. 答案：答案：4 3 12 专题四专题四 立体几何立体几何 35 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题四专题四 立体几何立体几何 36 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
