1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与集合、常用逻辑用语、函数与 导数、不等式导数、不等式 第第5讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 05 专 题 强 化 训 练 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1导数公式导数公式 (1)(sin
2、 x)cos x； (2)(cos x)sin x； (3)(ax)axln a(a0)； (4)(logax) 1 xln a(a0， ，且且 a1) 导数运算及其几何意义导数运算及其几何意义 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 f(x)在在 x0处的导数是曲线处的导数是曲线 f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率，曲线曲线 f(x)在点在点 P 处处 的切线的斜率的切线的斜率 kf(x0)，相应的切线方程为相应的切
3、线方程为 yf(x0)f(x0) (xx0) 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 5 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 绍兴市柯桥区高三模拟绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线已知曲线 y1 4x 2 3ln x 的一条切线的斜率为的一条切线的斜率为1 2， ， 则切点的横坐标为则切点的横坐标为( ) A3 B2 C3 或或 2 D.1 2 (2)已知已知 f(x) ln x x21， ，g(x)(1sin x)2， 若若 F(x)f(x)g(x)，则则 F(x)的导函数为的导函数为_ 专题一专
4、题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)设切点为设切点为(m，n)(m0)，y1 4x 2 3ln x 的导数为的导数为 y1 2x 3 x， ， 可得切线的斜率为可得切线的斜率为1 2m 3 m 1 2， ， 解方程可得解方程可得，m2. 故选故选 B. (2)因为因为 f(x)（ （ln x）（x21）ln x（x21） （x21）2 1 x（ （x21）2xln x （x21）2 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
5、 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 x 2 12x2ln x x（x21）2 g(x)2(1sin x)(1sin x)2cos xsin 2x， 所以所以 F(x)f(x)g(x)x 2 12x2ln x x（x21）2 2cos xsin 2x. 【答案】【答案】 (1)B (2)x 2 12x2ln x x（x21）2 2cos xsin 2x 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 利用导数几何意义解题的思路利用导数几何意义解题的思路 (1)利用导数的几何意义解题主
6、要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化 (2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的则根据平行、垂直与斜率之间的 关系和导数联系起来求解关系和导数联系起来求解 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1已知已知 aR，设函数设函数 f(x)axln x 的图象在点的图象在点(1，f(1)处的切线为处的切线为 l，则
7、则 l 在在 y 轴上的轴上的 截距为截距为_ 解析：解析：因为因为 f(x)a1 x， ，所以所以 f(1)a1，又又 f(1)a，所以切线所以切线 l 的方程为的方程为 ya(a 1)(x1)，令令 x0，得得 y1.故填故填 1. 答案：答案：1 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 浙江省十校联合体期末检测浙江省十校联合体期末检测)已知函数已知函数 f(x)aexx2，g(x)cos xbx，直线直线 l 与曲线与曲线 yf(x)切于点切于点(0，f(0)，且与曲线
8、且与曲线 yg(x)切于点切于点(1，g(1)，则则 ab_， 直线直线 l 的方程为的方程为_ 解析：解析：f(x)aex2x，g(x)sin xb， f(0)a，g(1)cos bb1， f(0)a，g(1)b， 由题意可得由题意可得 f(0)g(1)，则则 ab， 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 又又 f(0)b 1a 10 a， 即即 ab1， 则则 ab2； 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 xy10. 答案：答案：2 xy10 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函
9、数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 3(2019 湖州期末湖州期末)如图如图，yf(x)是可导函数是可导函数，直线直线 l：ykx2 是曲线是曲线 yf(x)在在 x3 处的切线处的切线，令令 g(x)xf(x)，其中其中 g(x)是是 g(x)的导函数，则的导函数，则 g(3)_ 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：由题图可知曲线由题图可知曲线 yf(x)在在 x3 处切线的斜率等于处切线的斜率等于
10、1 3， ， 即即 f(3)1 3. 又因为又因为 g(x)xf(x)， 所以所以 g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)， 由题图可知由题图可知 f(3)1，所以所以 g(3)13 1 3 0. 答案：答案：0 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1若求函数的单调区间若求函数的单调区间(或证明单调性或证明单调性)，只要在其定只要在其定义域内解义域内解(或证明或证明)不等式不等式 f(x)0 或或 f(x)0，所以所以只需只需 ln x1 x a0，即
11、即 aln x1 x在 在 1 e， ，e 上恒成立令上恒成立令 g(x)ln x1 x. 因为因为 g(x)1 x 1 x2 x 1 x2 ， 由由 g(x)0，得得 x1. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 18 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 x 1 e， ，1 (1，e) g(x) g(x) g 1 e ln 1 e ee1，g(e)11 e， ，因为因为 e111 e， ， 所以所以 g(x)maxg 1 e e1. 故故 ae1. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与
12、导数、不等式 19 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 求解或讨论函数单调性问题的解题策略求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况的情况大多数情况下大多数情况下，这类问题可以归这类问题可以归 结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论依据根的大小进行分类讨论 (2)在不能通过因式分解求出根的情况时在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不
13、等式对应方程的判别式进行分类讨论根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 注意注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的， 千万不要忽视了定义域的限制千万不要忽视了定义域的限制 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 20 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 浙江新高考冲刺卷浙江新高考冲刺卷)已知定义在已知定义在 R 上的偶函数上的偶函数 f(x)，其导函数其导函数 f(x)；当；当 x0 时时， 恒有恒有x 2f (x)f(x)0，若若 g(x)x2f(x
14、)，则不等式则不等式 g(x)g(12x)的的解集为解集为( ) A(1 3， ，1) B(，1 3) (1，) C(1 3， ，) D(，1 3) 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 21 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选 A.因为定义在因为定义在 R 上的偶函数上的偶函数 f(x)， 所以所以 f(x)f(x) 因为因为 x0 时时，恒有恒有x 2f (x)f(x)0， 所以所以 x2f(x)2xf(x)0， 因为因为 g(x)x2f(x)， 所以所以 g(x)2xf(x)x2f(x)0， 所以所以 g
15、(x)在在0，)为减函数为减函数， 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 22 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 因为因为 f(x)为偶函数为偶函数，所以所以 g(x)为偶函数为偶函数， 所以所以 g(x)在在(，0)上为增函数上为增函数， 因为因为 g(x)g(12x)，所以所以|x|12x|， 即即(x1)(3x1)0， 解得解得1 3 x1，选选 A. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 23 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 湖州市高三
16、期末湖州市高三期末)已知函数已知函数 f(x)x 1 ex . (1)求函数求函数 f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值； (2)若函数若函数 yg(x)对任意对任意 x 满足满足 g(x)f(4x)，求证：当求证：当 x2 时时，f(x)g(x)； (3)若若 x1x2，且且 f(x1)f(x2)，求证：求证：x1x24. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 24 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)因为因为 f(x)x 1 ex ，所以所以 f(x)2 x ex . 令令 f(x)0，解得解得 x2.
17、x (，2) 2 (2，) f(x) 0 f(x) 极大值极大值 1 e2 所以所以 f(x)在在(，2)内是增函数内是增函数，在在(2，)内是减函数内是减函数 所以当所以当 x2 时时，f(x)取得极大值取得极大值 f(2) 1 e2. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 25 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)证明：证明：g(x)f(4x)3 x e4 x， ， 令令 F(x)f(x)g(x)x 1 ex 3 x e4 x， ， 所以所以 F(x)2 x ex 2 x e4 x （ （2x）（）（e4e2x） ex
18、 4 . 当当 x2 时时，2x0，2x4，从而从而 e4e2x0， 所以所以 F(x)0，F(x)在在(2，)是增函数是增函数 所以所以 F(x)F(2) 1 e2 1 e2 0，故当故当 x2 时时，f(x)g(x)成立成立 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 26 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)证明：因为证明：因为 f(x)在在(，2)内是增函内是增函数数，在在(2，)内是减函数内是减函数 所以若所以若 x1x2，且且 f(x1)f(x2)，x1、x2不可能在同一单调区间内不可能在同一单调区间内 不妨设不妨设
19、 x12x2，由由(2)可知可知 f(x2)g(x2)， 又又 g(x2)f(4x2)，所以所以 f(x2)f(4x2) 因为因为 f(x1)f(x2)，所以所以 f(x1)f(4x2) 因为因为 x22，4x22，x12，且且 f(x)在区间在区间(，2)内为增函数内为增函数， 所以所以 x14x2，即即 x1x24. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 27 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1若在若在 x0附近左侧附近左侧 f(x)0，右侧右侧 f(x)1 2 . 由由 f(x)（ （1x）（）（ 2
20、x12）e x 2x1 0， 解得解得 x1 或或 x5 2. 因为因为 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 30 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 x 1 2 (1 2， ，1) 1 (1，5 2) 5 2 (5 2， ，) f(x) 0 0 f(x) 1 2e 1 2 0 1 2e 5 2 又又 f(x)1 2( 2x 11)2e x 0， 所以所以 f(x)在区间在区间 1 2， ， 上的取值范围上的取值范围是是 0，1 2e 1 2 . 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导
21、数、不等式 31 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)函数函数 f(x)在在(0，2)上递减上递减任取任取 x(0，2)，恒有恒有 f(x)0 成立成立， 而而 f(x)ax 2 x2 0任取任取 x(0，2)，恒有恒有 a2 x成立 成立， 而而2 x 1，则则 a1 满足条件满足条件 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 32 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 当当 a0 时时，f(x)ax 2 x2 0x2 a. x (0，2 a) 2 a (2 a， ，) f(x) 0 f(x) 极小值极小值 f(x
22、)的最小值的最小值 g(a)f(2 a) aaln2 a， ， g(a)ln 2ln a0a2. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 33 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 a (0，2) 2 (2，) g(a) 0 g(x) 极大值极大值 g(a)的最大值为的最大值为 g(2)2. 证明：当证明：当 a2 时时，h(x)f(x)(a2)x2 x aln x(a2)x， h(x)ax 2 x2 a20， 所以所以 h(x)在在1，)上是增函数上是增函数，故故 h(x)h(1)a2. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导
23、数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 34 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 当当 a2 时时，h(x)f(x)(a2)x2 x aln x(a2)x， h(x)ax 2 x2 a2（ （2a）x2）（）（x1） x2 0， 解得解得 x 2 2a 0 或或 x1，h(x)h(1)4a2， 综上所述：综上所述：h(x)2. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 35 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 利用导数研究函数极值、最值的方法利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值若求极值，则先求方程则
24、先求方程 f(x)0 的根的根，再检查再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号在方程根的左右函数值的符号 (2)若已知极值大小或存在情况若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求根的大小或存在情况来求 解解 (3)求函数求函数 f(x)在闭区间在闭区间a，b的最值时的最值时，在得到极值的基础上在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值的各极值进行比较得到函数的最值 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 36
25、 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 (2019 嵊州模拟嵊州模拟)已知函数已知函数 f(x)ln x，g(x)1 3x 3 1 2x 2 mxn，直线直线 l 与函数与函数 f(x)，g(x) 的图象都相切于点的图象都相切于点(1，0) (1)求直线求直线 l 的方程及的方程及 g(x)的解析式；的解析式； (2)若若 h(x)f(x)g(x)(其中其中 g(x)是是 g(x)的导函数的导函数)，求函数，求函数 h(x)的极大值的极大值 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 37 返回导返回导 航航 下一页下
26、一页 上一页上一页 解：解：(1)直线直线 l 是函数是函数 f(x)ln x 在点在点(1，0)处的切线处的切线，故其斜率故其斜率 kf(1)1，所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 yx1.又因为直线又因为直线 l 与与 g(x)的图象相切的图象相切， 且切于点且切于点(1，0)， 所以所以 g(x)1 3x 3 1 2x 2 mxn 在点在点(1，0)处的导数值为处的导数值为 1， 所以所以 g（ （1）0， g（1）1 1 3 1 2 mn0， 11m1 m1， n1 6， ， 所以所以 g(x)1 3x 3 1 2x 2 x1 6. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不
27、等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 38 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)由由(1)得得 h(x)f(x)g(x)ln xx2x1(x0)， 所以所以 h(x)1 x 2x11 2x2x x （ （2x1）（）（x1） x . 令令 h(x)0，得得 x1 2或 或 x1(舍舍) 当当 01 2时 时，h(x)0，即即 h(x)在在 1 2， ， 上单调递减上单调递减 因此因此，当当 x1 2时 时，h(x)取得极大值取得极大值， 所以所以 h(x)极大值 极大值h 1 2 ln1 2 1 4 1 4 ln 2. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 39 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 40 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
