1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导集合、常用逻辑用语、函数与导 数、不等式数、不等式 第第6讲讲 导数的综合应用导数的综合应用 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 专 题 强 化 训 练 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 “辅助函数法辅助函数法”证明不等式证明不等式 核心提
2、炼核心提炼 利用导数证明不等式的应用技巧为利用导数证明不等式的应用技巧为“构造辅助函数构造辅助函数”，把不等式的证明转化为利用导数把不等式的证明转化为利用导数 研究函数的单调性或求最值研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个而如何根据不等式的结构特征构造一个 可导函数是用导数证明不等式的关键可导函数是用导数证明不等式的关键 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 设函数设函数 f(x)ln xx1. (1)讨论讨论 f(x)
3、的单调性；的单调性； (2)证明证明当当 x(1，)时时，1x 1 ln x x； (3)设设 c1，证明当证明当 x(0，1)时时，1(c1)xcx. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 5 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解】【解】 (1)由题设由题设，f(x)的定义域为的定义域为(0，)，f(x)1 x 1，令令 f(x)0，解得解得 x1. 当当 0x1 时时，f(x)0，f(x)单调递增；当单调递增；当 x1 时时，f(x)0，f(x)单调递减单调递减 (2)证明：由证明：由(1)知知 f(x)在在 x1 处取
4、得最大处取得最大值值，最大值为最大值为 f(1)0. 所以当所以当 x1 时时，lnxx1. 故当故当 x(1，)时时，ln xx1，ln 1 x 1 x 1，即即 1x 1 ln x x. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)证明：由题设证明：由题设 c1，设设 g(x)1(c1)xcx， 则则 g(x)c1cxln c，令令 g(x)0，解得解得 x0 ln c1 ln c ln c . 当当 xx0时时，g(x)0，g(x)单调递增；当单调递增；当 xx0时时，g(x)0，g
5、(x)单调递减单调递减 由由(2)知知 1c 1 ln c c，故故 0x01.又又 g(0)g(1)0，故当故当 0x1 时时，g(x)0. 所以当所以当 x(0，1)时时，1(c1)xcx. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形作差或变形 构造新的函数构造新的函数 h(x) 利利用导数研究用导数研究 h(x)的单调性或最值的单调性或最值 根据单调性及最值根据单调性及最值，得到所证不等式得到所证不等式 (2)本例
6、通过构造辅助函数本例通过构造辅助函数，转化为证明函数的单调性转化为证明函数的单调性，使问题得以解决使问题得以解决，此方法还常用此方法还常用 于解决下列问题：于解决下列问题：比较大小；比较大小；解不等式解不等式 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 (2019 绍兴市柯绍兴市柯桥区高三桥区高三(下下)期中考试期中考试)已知函数已知函数 f(x)x ex. (1)当当 0 时时，求证：求证：f(x)(1)x，并指出等号成立的条件；并指出等号成立的条件； (2)求证：对任意实数
7、求证：对任意实数 ，总存在实数总存在实数 x3，3，有有 f(x). 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)设设 g(x)f(x)(1)xx ex (1)x( 1 ex x1)， 所以所以 g(x)(1 1 ex)， ， 令令 g(x)0，解得解得 x0， 当当 x0 时时，g(x)0，函数函数 g(x)单调递增单调递增， 当当 x0 时时，g(x)0，函数函数 g(x)单调递减单调递减， 所以所以 g(x)ming(0)0， 所以所以 f(x)(1)x，当当 x0 时取等号
8、时取等号 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)证明：证明：“对任意实数对任意实数 ，总存在实数总存在实数 x3，3，有有 f(x)”等价于等价于 f(x)的最大值大于的最大值大于 . 因为因为 f(x)1e x， ， 所以当所以当 0 时时，x3，3，f(x)0，f(x)在在3，3上单调递增上单调递增， 所以所以 f(x)的最大值为的最大值为 f(3)f(0). 所以当所以当 0 时命题成立；时命题成立； 当当 0 时时，由由 f(x)0 得得 xln ， 则则 xR 时时，x，
9、f(x)，f(x)关系如下：关系如下： 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 x (，ln ) ln (ln ，) f(x) 0 f(x) 极小值极小值 当当 e3时时，ln 3，f(x)在在3，3上单调递减上单调递减， 所以所以 f(x)的最大值的最大值 f(3)f(0). 所以当所以当 e3时命题成立；时命题成立； 当当 e 3 e3时时，3ln 3， 所以所以 f(x)在在(3，ln )上单调递减上单调递减，在在(ln ，3)上单调递增上单调递增 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、
10、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以所以 f(x)的最大值为的最大值为 f(3)或或 f(3)； 且且 f(3)f(0) 与与 f(3)f(0) 必有一成立必有一成立， 所以当所以当 e 3 e3时命题成立；时命题成立； 当当 0e 3 时时，ln 3， 所以所以 f(x)在在3，3上单调递增上单调递增， 所以所以 f(x)的最大值为的最大值为 f(3)f(0). 所以当所以当 0e 3 时命题成立；时命题成立； 综上所述综上所述，对任意实数对任意实数 ，总存在实数总存在实数 x3，3，有有 f(x). 专题一专题
11、一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1利用导数解决恒成立问题利用导数解决恒成立问题 (1)若不等式若不等式 f(x)A 在区间在区间 D 上恒成立上恒成立，则等价于在区间则等价于在区间 D 上上 f(x)minA. (2)若不等式若不等式 f(x)A. (2)若若 xD，f(x)0. f(x) 3 4x 1 2 1x （ （ 1x2）（）（2 1x1） 4x 1x ， 令令 f(x)0，解得解得 x3，令令 f(x)0，因此因此 (x)在在(0，)上单调递增上单调递增，则则 (
12、x)在在(0，)内至多只有一个零点内至多只有一个零点， 即即 h(x)在在0，)内至多有两个零点内至多有两个零点 所以方程所以方程 f(x)g(x)的根的个数为的根的个数为 2. 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 34 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 张掖模拟张掖模拟)设函数设函数 f(x)x 2 2 aln x. (1)求函数求函数 f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值； (2)若函数若函数 f(x)在区间在区间(1，e2内恰有两个零点内恰有两个零点，试求试求 a 的取值范围的取值范围 专题一专题一
13、 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 35 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)由由 f(x)x 2 2 aln x，得得 f(x)xa x x 2 a x (x0) 当当 a0 时时，f(x)0，函数函数 f(x)在在(0，)上单调递增上单调递增，函数既无极大值函数既无极大值，也无极也无极 小值；小值； 当当 a0 时时，由由 f(x)0，得得 x a或或 x a(舍去舍去) 于是于是，当当 x 变化时变化时，f(x)与与 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： x (0， a) a ( a，) f(x) 0 f(x)
14、 a（1ln a） 2 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 36 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以函数所以函数 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0， a)，单调递增区间是单调递增区间是( a，) 函数函数 f(x)在在 x a处取得极小值处取得极小值 f( a)a（ （1ln a） 2 ，无极大值无极大值 综上综上可知可知，当，当 a0 时时，函数函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，)，函数函数 f(x)既无极大值也无既无极大值也无 极小值；极小值； 当当 a0 时时，函数函数 f(x)的单调
15、递减区间是的单调递减区间是(0， a)，单调递增区间为单调递增区间为( a，)，函数函数 f(x) 有极小值有极小值a（ （1ln a） 2 ，无极大值无极大值 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 37 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)当当 a0 时时，由由(1)知函数知函数 f(x)在区间在区间(0，)上单调递增上单调递增，故函数故函数 f(x)在区间在区间(1，e2 内内至多有一个零点至多有一个零点，不合题意不合题意 当当 a0 时时，由由(1)知知，当当 x(0， a)时时，函数，函数 f(x)单调递减；当单调
16、递减；当 x( a，)时时，函数函数 f(x)单调递增单调递增，函数函数 f(x)在在(0，)上的最小值为上的最小值为 f( a)a（ （1ln a） 2 . 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 38 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 若函数若函数 f(x)在区间在区间(1，e2内恰有两个零点内恰有两个零点，则需满足则需满足 1 ae2 f（ a）0 f（e2）0 ，即即 1ae4 a（1ln a） 2 0 e4 2 2a0 ， 整理得整理得 1ae ae 4 4 ， 所以所以 eae 4 4 . 故所求故所求 a 的取值范围为的取值范围为(e，e 4 4 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 39 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 40 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
