高中数学讲义微专题10函数零点的个数问题.doc

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1、 微专题 10 函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析: 1、零点的定义:一般地,对于函数 yf xxD,我们把方程 0f x 的实数根x称 为函数 yf xxD的零点 2、函数零点存在性定理:设函数 f x在闭区间, a b上连续,且 0f a f b ,那么在开 区间, a b内至少有函数 f x的一个零点,即至少有一点 0 ,xa b,使得 0 0f x。 (1) f x在, a b上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 (2)零点存在性定理中的几个“不一定” (假设 f x连续) 若 0f a f b ,则 f x的零点不一定只有一个,可以有多个 若 0f a f b ,那么 f

2、x在, a b不一定有零点 若 f x在, a b有零点,则 f a f b不一定必须异号 3、若 f x在, a b上是单调函数且连续,则 0f a f bf x在, a b的零点唯一 4、函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系 设 函 数 为 yf x, 则 f x的 零 点 即 为 满 足 方 程 0f x 的 根 , 若 f xg xh x,则方程可转变为 g xh x,即方程的根在坐标系中为 ,g xh x 交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到。 由此看来,函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化,在 解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时

3、要用到这三者的灵活转化。 (详见 方法技巧) 二、方法与技巧: 1、零点存在性定理的应用:若一个方程有解但无法直接求出时,可考虑将方程一边构造为一 个函数,从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如:对于方程 ln0xx,无法直接求出根,构造函数 lnf xxx,由 1 10,0 2 ff 即可判定 其零点必在 1 ,1 2 中 2、函数的零点,方程的根,两函数的交点在零点问题中的作用 (1)函数的零点: 工具:零点存在性定理 作用:通过代入特殊值精确计算,将零点圈定在一个较小的范围内。 缺点:方法单一,只能判定零点存在而无法判断个数,且能否得到结论与代入的特殊值有关 (2)方程

4、的根: 工具:方程的等价变形 作用:当所给函数不易于分析性质和图像时,可将函数转化为方程,从而利用等式的性质可 对方程进行变形,构造出便于分析的函数 缺点:能够直接求解的方程种类较少,很多转化后的方程无法用传统方法求出根,也无法判 断根的个数 (3)两函数的交点: 工具:数形结合 作用:前两个主要是代数运算与变形,而将方程转化为函数交点,是将抽象的代数运算转变 为图形特征,是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点,根的个数) 或者确定参数的取值范围。 缺点:数形结合能否解题,一方面受制于利用方程所构造的函数(故当方程含参时,通常进 行参变分离, 其目的在于若含x的函数可作出图像

5、, 那么因为另外一个只含参数的图像为直线, 所以便于观察) ,另一方面取决于作图的精确度,所以会涉及到一个构造函数的技巧,以及作 图时速度与精度的平衡(作图问题详见:1.7 函数的图像) 3、在高中阶段主要考察三个方面: (1)零点所在区间零点存在性定理, (2)二次方程根 分布问题, (3)数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第(3)个类型常要用到函数 零点,方程,与图像交点的转化,请通过例题体会如何利用方程构造出函数,进而通过图像 解决问题的。 三、例题精析: 例 1:直线ya与函数 3 3yxx的图象有三个相异的交点,则a的取值范围为 ( ) A2,2 B2,2 C2, D, 2

6、思 路 : 考 虑 数 形 结 合 , 先 做 出 3 3yxx的 图 像 , 2 33311yxxx ,令 0y 可解得:1x或 1x , 故 3 3y xx在 , 1 , 1, 单调递增, 在1,1 单调递减, 函数的极大值为12f , 极小值为 12f , 做出草图。而ya为一条水平线,通过图像可得,ya介于极大值与极小值之间,则有在 三个相异交点。可得:2,2a 答案:A 小炼有话说:作图时可先作常系数函数图象,对于含有参数的函数,先分析参数所扮演的角 色,然后数形结合,即可求出参数范围。 例 2:设函数 2 22ln1f xxxx,若关于x的方程 2 f xxxa在0,2上恰 有两个

7、相异实根,则实数a的取值范围是_ 思路:方程等价于: 22 22ln12ln1xxxxxaaxx,即函数ya 与 2ln1g xxx的图像恰有两个交点,分析 g x的单调性并作出草图: 21 1 11 x gx xx 令 0g x 解得:1x g x在0,1单调递 减,在1,2单调递增, 11 2ln2,00,222ln3ggg ,由图像可得,水平线ya位于 1 ,2gg之 间时,恰好与 g x有两个不同的交点。 1 2ln222ln3a 答案:1 2ln222ln3a 小炼有话说: (1)本题中的方程为 22 22ln1xxxxxa,在构造函数时,进行 了x与a的分离,此法的好处在于一侧函数

8、图像为一条曲线,而含参数的函数图像由于不含x 所以为一条水平线, 便于上下平移, 进行数形结合。 由此可得: 若关于x的函数易于作出图像, 则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为2ln1axx,构造函数 2 ln1g xxx并进行数形结合。 (2) 在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到, 数形结合时也要注意a能否取到边界值。 例 3:已知函数 2,0 ln ,0 kxx f xkR x x ,若函数 yfxk有三个零点,则实数k 的取值范围是( ) A. 2k B. 10k C. 21k D.2k 思路:函数 yfxk有三个零点,等价于方程 fxk 有三个不同实数根,进而等 价于 f

9、 x与yk 图像有三个不同交点,作出 fx的图像,则k的正负会导致 f x图 像不同,且会影响yk 的位置,所以按0,0kk进行分类讨论,然后通过图像求出k的 范围为2k 。 答案:D 小炼有话说: (1)本题体现了三类问题之间的联系:即函数的零点方程的根函数图象 的交点,运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适 的函数,以便于作图,便于求出参数的取值范围为原则。 (2)本题所求k在图像中扮演两个角色,一方面决定 f x左侧图像直线的倾斜角,另一方 面决定水平线的位置与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合。 例 4:已知函数 f x满足 3f x

10、fx,当 1,3 ,lnxf xx,若在区间1,9内, 函数 g xf xax有三个不同零点,则实数a的取值范围是( ) A ln3 1 , 3e B. ln3 1 , 93e C ln3 1 , 92e D ln3 ln3 , 93 思路: 3 3 x fxfxfxf ,当3,9x时, ln 33 xx f xf ,所以 ln ,13 ln,39 3 xx f x x x , 而 g xf xa x有三个不同零点 yf x与yax有三 个不同交点, 如图所示, 可得直线yax应在图中两条虚线之间, 所以可解得:ln3 1 93 a e 答案:B 小炼有话说:本题有以下两个亮点。 (1)如何利

11、用 3 x fxf ,已知 1,3 ,xf x的解析式求 3,9 ,xf x的解析式。 (2)参数a的作用为直线yax的斜率,故数形结合求出三个交点时a的范围 例5 : 已 知 函 数)(xf是 定 义 在 , 00 ,上 的 偶 函 数 , 当0x时 , 2,2 2 1 20, 12 )( | 1| xxf x xf x ,则函数1)(4)(xfxg的零点个数为( ) A 4 B6 C8 D10 思路:由 f x为偶函数可得:只需作出正半轴的图像,再利用对称性作另一半图像即可,当 0,2x时,可以利用2xy 利用图像变换作出图像, 2x 时, 1 2 2 f xf x,即自变量差 2 个单位

12、,函 数值折半,进而可作出2,4,4,6,的图像, g x 的零点个数即为 1 4 fx 根的个数,即 f x与 1 4 y 的 交点个数,观察图像在0x 时,有 5 个交点,根据对称性可得0x时,也有 5 个交点。共 计 10 个交点 答案:D 小炼有话说: (1) 1 2 2 f xf x类似函数的周期性,但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性 的思想,在作图时,以一个“周期”图像为基础,其余各部分按照倍数调整图像即可 (2)周期性函数作图时,若函数图像不连续,则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期, 在图像中要准确标出,便于数形结合。 (3)巧妙利用 f x的奇偶性,可以简化解题步骤

13、。例如本题中求交点个数时,只需分析正 半轴的情况,而负半轴可用对称性解决 例 6:对于函数 f x,若在定义域内存在 实数 x,满足 fxf x,称 f x为“局部 奇函数”,若 12 423 xx f xmm 为定义域 R 上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值范 围是( ) A.1313m B. 132 2m C. 2 22 2m D. 2 213m 思路:由“局部奇函数”可得: 22 422342230 xxxx mmmm ,整理可 得: 2 44222260 xxxx mm ,考虑到 2 44222 xxxx ,从而可将 22 xx 视为整体,方程转化为: 2 2 22222280 x

14、xxx mm ,利用换元设 22 xx t (2t ) ,则问题转化为只需让方程 22 2280tmtm存在大于等于 2 的解 即可,故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 22 2280g ttmtm 。 (1)若方程有一个解,则有相切(切点xm大于等于 2)或相交(其中交点在2x两侧) , 即 0 2m 或 20g,解得:2 2m或1313m (2)若方程有两解,则 0 20 2 g m ,解得: 2 22 2 13,13132 2 2 m mmm m , 综上所述:132 2m 答案:A 小炼有话说:本题借用“局部奇函数”概念,实质为方程的根的问题,在化简时将22 xx 视 为整体,进而将

15、原方程进行转化,转化为关于22 xx 的二次方程,将问题转化为二次方程根 分布问题,进行求解。 例 7 : 已 知 函 数 yf x的 图 像 为R上 的 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 , 当0x 时 , 0 f x fx x ,则关于x的函数 1 g xfx x 的零点的个数为( ) A0 B1 C2 D0 或 2 思路: 000 xfxfxxfxfx fx xxx ,结合 g x的零点个数即 为方程 1 0f x x , 结合条件中的不等式 ,可将方程化为 10xf x ,可 设 1h xxf x,即只需求出 h x的零点个数,当 0x 时, 0h x ,即 h x在 0,上单调递增

16、;同理可得: h x在,0上单调递减, min 01h xh,故 010h xh ,所以不存在零点。 答案:A 小炼有话说: (1)本题由于 f x解析式未知,故无法利用图像解决,所以根据条件考虑构造函数,利用 单调性与零点存在性定理进行解决。 (2)所给不等式 0 f x fx x 呈现出 f x轮流求导的特点,猜想可能是符合导数的乘 法法则,变形后可得 0 xfx x ,而 g x的零点问题可利用方程进行变形,从而与条件中 的 xf x相联系,从而构造出 h x 例 8: 定义域为R的偶函数 f x满足对xR , 有 21f xf xf, 且当2,3x 时, 2 21218f xxx ,

17、若函数 log1 a yfxx在0,上至少有三个零点, 则a的取值范围是( ) A. 2 0, 2 B. 3 0, 3 C. 5 0, 5 D. 6 0, 6 思路: 21f xf xf体现的是间隔 2 个单位的自变量,其函数值差 1f,联想到 周期性,考虑先求出 1f的值,由 f x为偶函数,可令1x,得 111fff 10f 2f xf x, f x为周期是 2 的周期函数。已知条件中函数 log1 a yfxx有三个零点,可将零点问题转化为方程 log10 a f xx即 log1 a f xx至少有三个根, 所以 f x与log1 a yx有三个交点。 先利用 f x 在2,3x的函数

18、解析式及周期性对称性作图,通过 图像可得:1a 时,不会有 3 个交点,考虑01a 的图像。设 log a gxx,则 log11 a yxgx,利用图像变换作图,通 过观察可得:只需当2x时,log1 a yx的图 像在 f x上方即可,即 2 log2122log 32log aaa fa 所以 2 13 30 3 a a 答案:B 小炼有话说:本题有以下几个亮点: (1) f x的周期性的判定: 21f xf xf可猜想与 f x周期性有关,可带入 特殊值,解出 1f,进而判定周期,配合对称性作图 (2)在选择出交点的函数时,若要数形结合,则要选择能够做出图像的函数,例如在本题中, f

19、x的图像可做,且log1 a yx可通过图像变换做出 例 9 : 已 知 定 义 在R上 的 函 数 f x满 足 2fxfx , 当1,3x 时 , 2 1,1,1 12 ,1,3 xx f x txx ,其中0t ,若方程 3f xx恰有三个不同的实数根,则 实数t的取值范围是( ) A. 4 0, 3 B. 2 ,2 3 C. 4 ,3 3 D. 2 , 3 思路:由 2f xf x 可得 42f xf xf x ,即 f x的周期为4,所 解方程可视为 yf x与 3 x g x 的交点,而t的作用为 影响12ytx图像直线的斜率,也绝对此段的最值 ( max yt),先做出 3 x

20、y 的图像,再根据三个交点的条 件作出 f x的图像 (如图) , 可发现只要在2x 处, f x的图像高于 g x图像且在6x 处 f x的图像低于 g x图像即可。所以有 66 22 fg fg (6)(2)2 2 (2) 3 fft ft ,即 2 2 3 t 答案:B 例 10: (2014 甘肃天水一中五月考)已知函数 sin1,0 2 log0,1 ,0 a xx f x x aax 的图像上 关于y轴对称的点至少有 3 对,则实数a的取值范围是( ) A. 5 0, 5 B. 5 ,1 5 C. 3 ,1 3 D. 3 0, 3 思路:考虑设对称点为 00 ,xx,其中 0 0x

21、 ,则问题 转 化 为 方 程 00 f xfx至 少 有 三个 解 。 即 sin1log 2 a xx 有三个根,所以问题转化为 sin1 2 g xx 与 logah xx有三个交点,先做出sin1 2 yx 的图像,通 过观察可知若logayx与其有三个交点,则01a,进一步观察图像可得:只要 55gh,则满足题意,所以 22 511 sin1log 52log 5loglog 55 2 aaaa aa ,所以 5 5 a 答案:A 三、近年模拟题题目精选: 1、已知( )f x是以2为周期的偶函数,当0,1x时,( )f xx,那么在区间( 1,3)内, 关于x的方程( )()f x

22、kxk kR有4个根,则k的取值范围是( ) A 1 0 4 k或 3 6 k B 1 0 4 k C 1 0 4 k或 3 6 k D 1 0 4 k 2、 (2014 吉林九校联考二模,16)若直角坐标平面内 A,B 两点满足条件:点,A B都在函数 f x的图像上; 点,A B关于原点对称, 则称,A B是函数 f x的一个 “姊妹点对” (,A B 与,B A可看作同一点对) ,已知 2 2 ,0 2 ,0 x xx x f x x e ,则 f x的“姊妹点对”有_ 个 3、 (2015,天津)已知函数 2 2,2, 2,2, xx f x xx 函数 2g xbfx ,其中 bR,

23、若函数 yf xg x 恰有 4 个零点,则b的取值范围是( ) A. 7 , 4 B. 7 , 4 C. 7 0, 4 D. 7 ,2 4 4、 (2015,湖南)已知 3 2 , ,x xxa f x xa ,若存在实数b,使函数 g xf xb有两个 零点,则a的取值范围是_ 5、 (2014,新课标全国卷 I)已知函数 32 31f xaxx,若 f x存在唯一的零点 0 x, 且 0 0x ,则a的取值范围是( ) A. 2, B. 1, C. , 2 D. , 1 6、 (2014,山东)已知函数 21,f xxg xkx,若方程 f xg x有两个不相 等的实根,则实数k的取值范

24、围是( ) A. 1 0, 2 B. 1 ,1 2 C. 1,2 D. 2, 7、 (2014,天津)已知函数 2 3 ,f xxx xR,若方程 10f xa x恰有 4 个互 异的实数根,则实数a的取值范围是_ 8、(2015, 江苏) 已知函数 2 0,01 ln, 42,1 x f xx g x xx , 则方程 1f xg x 实根的个数为_ 9、已知函数 32 31f xaxx,若 f x存在唯一的零点 0 x,且 0 0x ,则a的取值范 围是( ) A. 2, B. 1, C. , 2 D. , 1 10、对于函数 ,f xg x,设 |0 ,|0mx f xnx g x,若存

25、在,m n使得 1mn,则称 f x与 g x互为“零点关联函数” ,若函数 1 2 log1 x f xxe 与 2 3g xxaxa互为“零点关联函数” ,则实数a的取值范围是( ) A. 7 2, 3 B. 7 ,3 3 C. 2,3 D. 2,4 11 、 已 知 偶 函 数( )f x满 足 对 任 意xR , 均 有(1)(3)fxfx且 2 (1),0,1 ( ) 1,(1,2 mxx f x xx ,若方程3 ( )f xx 恰有 5 个实数解,则实数m的取值范围 是 . 12、 (2016,河南中原第一次联考)已知函数 cos2sinf xxax在区间0,nnN 内恰有 9

26、个零点,则实数a的值为_ 13、 (2014,四川)已知函数 2 1, ,2.71828 x f xeaxbxa bR e为自然对数的 底数 (1)设 g x是函数 f x的导函数,求函数 g x在区间0,1上的最小值 (2)若 10f,函数 f x在区间0,1内有零点,求a的取值范围 习题答案:习题答案: 1、答案:B 解析:根据周期性和对称性可作出 f x的图像,直线( )()f xkxk kR过定点1,0 结合图像可得:若( 1,3)内有四个根,可知 1 0, 4 k 。若直线与 f x在2,3相切,联立 方程: 2 2 30 yx kyyk ykxk ,令0 可得: 3 6 k ,当

27、3 6 k 时,解得 52,3x ,综上所述: 1 0, 4 k 2、答案:2 解析:关于原点对称的两个点为, x y和, xy,不妨设0x ,则有 2 2 2 x y e yxx , 从而 2 2 2 x xx e ,所以“姊妹点对”的个数为方程 2 2 2 x xx e 的个数,即曲线 2 2yxx与 2 x y e 的交点个数,作出图像即可得有两个交点 3、答案:D 解析:由 2 2,2, 2,2, xx f x xx 得 2 22,0 (2) ,0 x x fx xx , 所以 2 2 2,0 ( )(2)42,02 22(2) ,2 xxx yf xfxxxx xxx , 即 2 2

28、 2,0 ( )(2)2,02 58,2 xxx yf xfxx xxx ( )( )( )(2)yf xg xf xfxb,所以 yf xg x恰有 4 个零点等价于方程 ( )(2)0f xfxb有 4 个不同的解,即函数yb与函数( )(2)yf xfx的图象 的 4 个公共点,由图象可知 7 2 4 b. 4、答案:,01,a 解析: g xf xb由两个零点, 即方程 f xb有两个根, 从而 yf x与yb 有 两个交点。可在同一直角坐标系下作出 32 ,yxyx,观察图像可得:0a 时,水平线与 2 yx有两个交点,故符合题意;当01a时, f x为增函数,所以最多只有一个零点,

29、 8 6 4 2 2 4 6 8 1510551015 不符题意;当1a 时,存在水平线与 32 ,yxyx分别有一个交点,共两个符合题意。综 上所述:,01,a 5、答案:C 解析: 32 3 31 310axxa xx ,令 1 t x ,依题意可知ya与 3 3ytt应在有唯 一交点且位于0t 的区域。 设 3 3g ttt, 所以 2 333 11g tttt, 则 g t 在 1,0 , 0,1单增,在 , 1 , 1, 单减, 12,12gg ,作出图像可知只有 当2a 时,ya与 3 3ytt有唯一交点,且在0t 的区域。 6、答案:B 解析:方法一:方程 f xg x有两个不等

30、实根可转化为函数 yf x与 yg x的图 像有两个不同交点, 其中k为直线的斜率。 通过数形结合即 可得到 1 ,1 2 k 方法二:本题还可以先对方程进行变形,再进行数形结合,21xkx 中0x 显然不是 方程的解,当0x 时, 21x k x ,设 1 1,2 21 3 1,2 x x x h x x x x ,则问题转化 为yk与 yh x交点为 2 个。作出图像后即可观察到k的范围 7、答案:0,19, 解析:方程为: 2 31xxa x,1x 显然不是方程的解,所以1x 时, 2 3 1 xx a x , 即 4 15 1 ax x ,令1tx,则ya与 4 5yt t 有 4 个

31、交点即可,作出图像 数形结合即可得到0,19,a 8、答案:4 解析:方程等价于 1f xg x ,即 1f xg x 或 1f xg x 共多少个 根, 2 2 1,01 11,12 7,2 x yg xxx xx ,数形结合可得: f x与 1yg x 有两个交点; 2 2 1,01 13,12 5,2 x yg xxx xx ,同理可得 f x与 1yg x 有两个交点,所以共 计4个 9、答案:C 解析: 3 32 13 310axxa xx ,令 1 t x ,依题意可知 3 3att 只有一个零 点 0 t且 0 0t , 即ya与 3 3g ttt 只有一个在横轴正半轴的交点。

32、2 33gtt 可 知 g t在 , 1 , 1, 减,在1,1增,12g 作出图像可得只有2a 时, ya与 3 3g ttt 只有一个在横轴正半轴的交点。 10、答案:C 解析: 先从 1 2 log1 x f xxe 入手, 可知 f x为单增函数, 且 10f, 所以 f x 有唯一零点1x , 即1m ; 所以1102nn , 即 2 3g xxaxa在0,2 有 零 点 。 考 虑 方 程 2 2 34 3012 11 x xaxaax xx , 即ya 与 4 12 1 yx x 在0,2有公共点即可,数形结合可得:2,3a 11、答案: 83 7415415 83 7 (,)(

33、,) 6666 解析:当0m时,方程恰有 5 个解方程 2 3 1(4) mxx有两个解且方程 2 3 1 (8) mxx无解, 考虑这两个方程的判别式可得 15483 7 66 m ; 由对称性, 当0m时,方程恰有 5 个解的范围是 83 7154 66 m ;所以m的取值范围是 83 7415415 83 7 (,)(,) 6666 12、答案:答案:1a 解 析 : 由( )0f x , 得c o s 2s i n0xax, 即 2 2 s i ns i n1 = 0xax 设 2 ()2 s i ns i n1gxxax,令sintx,则 2 ()21gxtat考察(0,2 )x的函

34、数( )g x的零点个 数,即如下图所示为sintx,(0,2 )x的图象,易知: (1)方程 2 210tat 的一个根为 1,另一个根为( 1,0) 时 ,( )g x在(0,2 )内 有 三 个 零 点 , 此 时 2 21110 2(1 )(1 )10 a a ,解得1a ; (1)方程 2 210tat 的一个根为1,另一个 根为(0,1)时,( )g x在(0,2 )内有三个零点,此时 2 2 ( 1)( 1) 10 2 11 10 a a ,解得 1a综上可知当1a时,( )cos2sinf xxax在(0,2 )内有 3 个解再由 9 3 3 可 知,2 36n 综上可知1a,

35、6n 13、解析: (1) 2 x g xfxeaxb 2 x g xea 当0,1x时, 12 ,2g xa ea 当 1 120 2 aa时, 0g x g x单调递增 min 0g xgb 当 1 1202 22 e aeaa时 g x在0,ln 2a单调递减,在ln 2,1a单调递增 min ln 222 ln 2g xgaaaab 当20 2 e eaa时, 0g x g x单调递减 min 12g xgeab 综上所述: 1 2 a 时, min 0g xgb 1 22 e a时, min ln 222 ln 2g xgaaaab 2 e a 时, min 12g xgeab (2

36、) 10,00ff且 f x在区间0,1内有零点 . f x在0,1不单调,且至少有两个极值点 g xfx在0,1至少有两个零点 由(1)可得:若 1 2 a 或 2 e a ,则 g x在0,1单调,至多一个零点,均不符题意 1 22 e a g x在0,ln 2a单调递减,在ln 2,1a单调递增 ln2022 ln 20 0010 20 10 gaaaab gb eab g 由 10f可得:101eabbea ,代入到不等式组可得: 22 ln 210 2 110 1 210 aaaae ae ea a eaea 由 110 2 1210 ea ae aeaea 下面判断:2,1ae时,22 ln 210aaaae 是否恒成立 设 22 ln 2132 ln 21h aaaaaeaaae 1 322ln 212ln 2h aaaa a 令 0h a 解得: 2 e a h a在2, 2 e e 单调递增,在,1 2 e 单调递减 max3ln110 22 ee h aheeeee 22 ln 210h aaaaae 在2,1ae时恒成立 2,1ae

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