1、第三章第三章 方程方程第五节第五节 解方程的常用方法解方程的常用方法中学代数研究1 14 4目 录5 56 6 换元法引入参数法二项方程和三项方程的解法2 23 3因式分解法总结作业 用简单原理指导解题，是解方程的基本思想，换元法就是通过换元达到化简的目的。在解高次方程时，有时引进新未知数代换原有未知数，使原方程转化成一个易解的方程。一、换元法例1 解方程6)1)(43(762xxx解：令 ，则 原方程变形为 即 yx273)21(311,2143,276yxyxyx18)21)(21(22yyy018424 yy例1 解方程6)1)(43(762xxx。21,4922yy解之得 所以得到如下
2、四个解换回原来变量得到原方程的解iyiyyy2,2,23,234321ixixxx3267,3267,35,324321 对于形如 或 或 的方程，引入三角代换使方程转化为简单的三角方程来求解。0),(22 xaxf0),(22axxf0),(22axxf1cossin2222sin1cos，cos1sec2222222tancossincoscos11cos11sec22sec1tan补充：例2 解方程12351112xx解：由于定义域是0|x|1,可引入三角代换 于是可变形为 即 两边平方，得 于是，得到一个二次方程，)22(sinx，1235cos1sin124352sincossin5
3、7612252sin2sin1205762sin5762sin12252例2 解方程12351112xx解得 或 ，或得 ，都是增根，原方程的根是25242sin49242sin2572cos，497352cos2sin212coscossin22sin14735,14735,54,53sinx14735,54,53321xxx 形如 （a，b，c为已知数，m，n为自然数）的方程，可令 ，将方程化为关于的整式方程。0)()(cxfbxfamnmmxfy)(例4 解方程22221626xxxx解：将原方程变形为:0276266222xxxx令622xxy则有 ，解得 （舍去），02762 yy9
4、,3yy由 ，解得 均为原方程的解。3622 xx3,121xx例4 解方程22221626xxxx解:形如 或)0(0)()()()(2acxgxfbxgxfa)0(0)()()()(acbxgxfcxgxfa（其中a，b，c为已知数，为既约分式）的分式方程，)()(xgxf可令 ，化成一个整式方程 )()(xgxfu 02cbuau 形如 或 （其中a，b，c为已知数，为既约分式）的分式方程，可令 ，化成一个整式方程 。)0(0)()()()(2acxgxfbxgxfa)0(0)()()()(acbxgxfcxgxfa)()(xgxf)()(xgxfu 02cbuau例 5 解方程22)6
5、(117236xxx解：将方程右边展开经变形可得 令 ，代入上式，得解得 .由 ,解得 ；由 解得 ，它们都是原方程的解。035)6(12)3612(22xxxxxxu6035122uu7,521uu56xx3,221xx76xx6,143 xx例6 已知实数 满足 ,求 的值。uzyx,xuuzzyyxuzyxuzyx解法一:令 ,则 kxuuzzyyx.,kxukuzkzykyx所以)(uzyxkuzyx故0)1(kuzyx于是 或0uzyx1k0uzyxuzyx若 ，则0uzyx二、引入参数法例6 已知实数 满足 ,求 的值。uzyx,xuuzzyyxuzyxuzyx解：若 ，则1kuz
6、yx所以2uzyxuzyx解法二：令 ，则 ，所以kxuuzzyyxxkukzkkyx432，14k1kuzyx,例6 已知实数 满足 ,求 的值。xuuzzyyxuzyxuzyx 若 ，则1k224xxuzyxuzyx1k若 ，则020kuzyxuzyx解：形如 的方程叫做二项方程，解此方程就是求的次方根。形如 的方程叫做三项方程，特别当 时，得方程 ，称为双二次方程。定理定理 如果 ，那么 二项方程的根是 。0 Axn02qpxxnn2n024qpxx)sin(cosirc0cxn1,2,1,0),2sin2(cosnknkinkrn三、二项方程和三项方程的解法例8 解方程0325x解:)
7、0sin0(cos325ix所以)4,3,2,1,0)(52sin52(cos2kkikx四、因式分解法 在解高次方程时，常用因式分解（如果可能的话）法将原方程转化为几个较低次方程的积的形式，然后根据同解定理分别求解。例10 解方程0323124xx解 所以原方程同解与方程故方程的解为:)176)(196()16()18()11236()18(132412323122222222244xxxxxxxxxxxxx0)176)(196(22xxxxixixixix223,223,103,1034321一、换元法二、引入参数法三、二项方程和三项方程的解法四、因式分解法74页77页 例3、例7、例11ClassisoveroverThanks
