1、 微专题 43线性规划作图与求解 一、基础知识 1、相关术语： （1）线性约束条件：关于变量, x y的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解, x y （3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于, x y的函数解析式 （5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域： （1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点 （比如坐标轴上的点） ，以便快速做出直线 （2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区 域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相
2、同，所以可用特殊值法，利用特殊点 判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下 三种情况： 竖直线xa或水平线yb：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 一般直线0ykxb kb：可代入0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域 即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式230xy，代入0,0符合 不等式，则230xy所表示区域为直线230xy的右下方 过原点的直线0ykx k：无法代入0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者 利用象限进行判断。例如：yx：直线yx穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。 考虑第四象限的点0,0xy， 所以必
3、有yx， 所以第四象限所在区域含在yx表示的区 域之中。 （3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件,0F x y （或,0F x y ） 边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件,0F x y （或,0F x y ） 边界能取值时，在图像中边界用实线表示 3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤 （1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域 （2）确定目标函数z在式子中的几何意义，常见的几何意义有： （设, a b为常数） 线性表达式与纵截距相关：例如zaxby，则有 az yx bb ，从而z的取值与 动直线的纵截距相关，要注意b的符号，若0b，则z的最
4、大值与纵截距最大值相关；若 0b，则z的最大值与纵截距最小值相关。 分式与斜率相关（分式） ：例如 yb z xa ：可理解为z是可行域中的点, x y与定点 , a b连线的斜率。 含平方和与距离相关：例如 22 zxayb：可理解为z是可行域中的点 , x y与定点, a b距离的平方。 （3）根据z的意义寻找最优解，以及z的范围（或最值） 4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同 时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。 例如：若变量, x y满足约束条件 0 0 3212 28 x y xy xy ，则34zxy的最大值
5、等于_ 作出可行域如图所示，直线3212xy的斜率 1 3 2 k ，直线28xy的斜率 2 1 2 k ， 目标函数的斜率 3 4 k ，所以 21 kkk，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程 度要介于两直线之间，从而可得到在2,3A取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的 联系，平移的直线比28xy还要平，则会发现最优解在 0,4B处取得， 以及若平移的直线比3212xy还要陡， 则会发现最优解在4,0C处取得，都会造成错误。所以在 处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并 确定直线间“陡峭”程度的不同。 （1）在斜率符号相同的情况下：k越大，则直线越“陡” （2）在作图
6、和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程 度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确 （3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无 数多个（位于可行域的边界上） （4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符 号的斜率作为分界点。 二、典型例题： 例 1：若变量, x y满足约束条件 20 0 220 xy xy xy ，则2zxy的最小值等于（ ） A. 5 2 B. 2 C. 3 2 D. 2 思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封 闭的三角形区域， 目标函数化为
7、：2yxz， 则z的 最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率 大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通 过 平 移 可 发 现 在A点 处 ， 纵 截 距 最 大 。 且 20 : 220 xy A xy 解得 1 1, 2 A ，所以2zxy 的最小值 min 15 21 22 z 答案：A 例 2：设变量, x y满足约束条件 20 20 1 xy xy y ，则目标函数2zxy的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函 数 1 22 z yx ， 通 过 平 移 可 得 最 优 解 为 20 :1,1 1
8、 xy AA y ，所以 min 3z 答案：B 例 3：若变量, x y满足 1 20 x xy xy ，则 22 zxy的最大值 为（ ） A. 10 B. 7 C. 9 D. 10 思路：目标函数 22 zxy可视为点到原点距离的平方，所以 只需求出可行域里距离原点最远的点即可， 作出可行域， 观察可 得最远的点为1, 3A，所以 2 max 10zOA 答案：D 例 4：设变量, x y满足约束条件 220 220 10 xy xy xy ，则 1 1 y s x 的取值范围是（ ） A. 3 1, 2 B. 1 ,1 2 C. 1,2 D. 1 ,2 2 思路：所求 1 1 y s
9、x 可视为点, x y与定点1, 1 连线 的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得 在1,0处的斜率最小，即 min 011 112 k ，在0,1 处的斜率最大，为 max 11 2 01 k ，结合图像可得 1 1 y s x 的范围为 1 ,2 2 答案：D 例 5：若实数, x y满足条件 0 10 01 xy xy x ，则3xy的最大值为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 思路：设3zxy，则可先计算出z的范围，即可求出z的最大值： 11 33 yxz，则最 优解为1, 1 ,1,2AB，所以5,4z ，则 max 5z 答案：B 例 6： 设O为坐标原点
10、， 点M的坐标为2,1， 若点,N x y满足不等式组 430 2120 1 xy xy x ， 则使OM ON取得最大值的点N的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 思路：设2zOM ONxy，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与 直 线2120xy重 合 ， 所 以 有 无 数 多 个 点 均 能 使 OM ON取得最大值 答案：D 例 7 ： （ 2015 ， 福 建 ） 变 量, x y满 足 约 束 条 件 0 220 0 xy xy mxy ，若2zxy的最大值为2，则实数 m等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 思路：本题约束条件含
11、参，考虑先处理常系数不等式， 作出图像，直线ymx为绕原点旋转的直线，从图像 可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数2yxz，若z最大则动直线的纵截距最小， 可 观 察 到A为 最 优 解 。 22022 :, 21 21 xym AA ymxmm ， 则 有 22 22 2121 m z mm ，解得：1m 答案：C 小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致 范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在 变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数 例 8：在约束条件 2 1 0 10
12、x xym xy 下，若目标函数2zxy 的最大值不超过 4，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3, 3 B. 0, 3 C. 3,0 D. 3, 3 思路：先做出常系数直线，动直线 2 0xym时注意到 2 0m ，斜率为常数 1，且发现围成的区域恒为一个三角形。 目 标 函 数2yxz， 通 过 图 像 可 得 最 优 解 为 22 2 10 11 :, 220 xy mm AA xym ，所以 22 2 max 1131 2 2222 mm zm ，则 2 31 4 22 m 解得：3, 3m 答案：D 例 9：若变量, x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y ，若zaxy的最
13、大值为 4，则a （ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 思路：如图作出可行域，目标函数为yaxz，由于a决定直线的方向，且约束条件中的 直线斜率有正有负。所以先考虑a的符号： 当00aa 时，此时与yx的斜率进行比较： 若11aa ，则z的最大值为 0，不符题意； 若0110aa ，则最优解为1,1A，代入解得 3a 与初始范围矛盾，故舍去；当00aa 时，直线与 2xy斜率进行比较： 若11aa ，则最优解为2,0B，代入解得2a ，符合题意 若1a ，可得z的最大值为 2，不符题意，舍去 若0101aa ，则最优解为1,1A，代入解得3a 与初始范围矛盾，舍去 综上所述：2a 答
14、案：B 小炼有话说： （1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时， 可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的 分界点。 （2）本题也可分别假设可行域 3 个顶点为最优解，求出a的值，再带入验证。 例 10：设, x y满足约束条件 320 0 0,0 xy xy xy ，若目标函 数0,0zaxby ab的最大值为2， 则 11 ab 的最 小值是（ ） A. 25 6 B. 8 3 C. 2 D. 4 思路：先做出可行域，目标函数 az zaxbyyx bb ，由0,0ab可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值 在1,1处取
15、得，即 max 2zab，所以 111 111 22 22 ba ab ababab 答案：C 小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而 后与均值不等式结合求出最值 三、历年好题精选 1、 （2016，衡阳联考）如果实数, x y满足条件 20 10 20 xy x y ，则 y z xa 的最小值为 1 2 ， 则正数a的值为_ 2、(2014，温州中学三月考)已知实数, x y满足 1 3 54 yx x xy ，则 2 x y 的最小值是_ 3、若点1,1在不等式组 0 240 33 mnxy mxny nxym 所表示的平面区域内，则 22 mn
16、的取值范围是 _ 4、 （2016，南昌二中四月考）已知实数, x y满足 2 0 50 11 44 xy xy yx ，则 2 2 22 2 xyy xy 的取值范 围是_ 5、设实数 yx,满足 20 250 20 xy xy y ,则 y x x y u的取值范围为（ ） A. 2 , 3 1 B. 2 , 3 8 C. 2 3 , 3 8 D. 2 3 , 0 6、设实数, x y满足 24 1 22 xy xy xy ，则zxy为（ ） A. 有最小值 2，最大值 3 B. 有最小值 2，无最大值 C. 有最大值 3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 7、设, x y满足约束条
17、件： 0 4312 x yx xy ，则 23 1 xy x 的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8、 （2016，湖南师大附中月考）若实数, x y满足 20 10 1 xy yx x ，设2 ,2uxy vxy， 则 u v 的最大值为（ ） A1 B 5 4 C 7 5 D2 9、 （2015，北京）若, x y满足 0 1 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 2 D. 2 10、 （2015， 广东） 若变量, x y满足约束条件 458 13 02 xy x y ， 则32zxy的最小值为 （ ） A 31 5 B.
18、6 C. 23 5 D. 4 11、 （2015，新课标 I）若, x y满足约束条件 10 0 40 x xy xy ，则 y x 的最大值为_ 答案：3 12、 （2015，新课标 II）若, x y满足约束条件 10 20 220 xy xy xy ，则zxy的最大值为_ 13、 （2015，山东）已知, x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y ，若zaxy的最大值为4，则a （ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 14、 （2014，北京）若, x y满足约束条件 20 20 0 xy kxy y ，且zyx的最小值为4，则k 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 1
19、 2 D. 1 2 习题答案：习题答案： 1、答案：1 解析：根据约束条件画出可行域，可知 1 1 x y 时， min 1 2 z即 11 1 12 a a 2、答案：4 解析：设 2 x z y ，则有 2 xzy，则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图 可 知 当1yx与 抛 物 线 相 切 时 ， 此 时z取 得 最 小 值 ， 联 立 方 程 2 2 0 1 xzy xzxz yx ，所以判别式 2 404zzz 3、答案： 9 ,61 10 解析：将1,1代入 0 240 33 mnxy mxny nxym 可得： 10 240 330 mn mn mn ，作出可行域
20、， 22 mn可视为 点,m n到原点距离的平方。结合图像可知：5,6到原点距离最大，即 22 max 61mn原 点到直线330mn 的距离为 3 10 10 ，所以 22 min 9 10 mn 4、答案： 13 5 , 9 3 解析： 2 2 22222 2 2 11 22 12 y xyyxy x z xyxy y x ，其中 y k x 可视为, x y与0,0 连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线ykx与 2 11 44 yx在第一象限相切时，k取得最大值，解得：1,2k， 2 22 11 1 12 2 k z k k k ，而1,2k时， 19 23, 2 k k ，所以
21、13 5 , 9 3 z 5 5、答案：C 解析：令 y t x ，作出可行域，可知t可视为 , 0,0x y连线的斜率， 1 ,2 3 t 且 1 ut t 为 1 ,2 3 t 关于t的增函数，所以 8 3 , 3 2 u 6、答案：B 解析：作出可行域（为开放区域） ，再平移直线yxz 即可得到z在2,0处达到最小值， 即 min 2z，但没有最大值 7、答案：B 解析： 231 12 11 xyy u xx ，则 1 1 y k x 可视为可行域中的点, x y与1, 1 连 线的斜率，作出可行域可得：1,5k，所以u的最小值为 3 8 8、答案：C 解析： 方法一： 13 2131
22、22 2222 21 xyy uxy x vxyxy y ， 其中 x y 为可行域中的点, x y 与原点0,0连线斜率k的倒数，作出可行域可知：1,3k，所以 1 ,1 3 x y ，从而可计算 出 7 1, 5 u v 方 法 二 ： 由 2 2 uxy vxy 可 得 ： 2 3 2 3 vu x uv y ， 代 入 到 不 等 式 组 可 得 ： 22 20 33 6 22 101 33 23 2 1 3 vuuv uv uvvu uv vu vu ，作出可行域，所求 u k v 为, v u与0,0连线的 斜率，数形结合即可得到最大值为 7 5 9、答案：D 解析： 11 2 2
23、2 zxyyxz ，作出可行域，可得最 优解为0,1时，z取得最大值2 10、答案：C 解析：由32zxy可得： 3 22 z yx ，数形结合可知 3 22 z yx 经过 4 1, 5 A 时，z 取得最小值 min 423 3 12 55 z 11、答案：答案：3 解析：作出可行域（如图所示） ，所求分式 0 0 yy xx ，即可行域 中点与原点连线的斜率最大值，由图可知点1,3A与原点连线斜 率最大，所以 y x 的最大值为3 12、答案： 3 2 解析： 目标函数变为yxz ， 即求动直线纵截距的最 大值，作出可行域，数形结合可得直线过 1 1, 2 D ，则 max 3 2 z
24、x y 12341234 1 2 3 4 1 2 3 4 D C B O 13、答案：B 解析：由zaxy得yaxz，借助图形可知：当1a ，即1a 时在0xy时 有最大值 0，不符合题意；当01a ，即10a 时在1xy时有最大值 14,3aa ，不满足10a ；当10a ，即01a时在1xy时有最大值 14,3aa ，不满足01a；当1a ，即1a 时在2,0xy时有最大值 24,2aa，满足1a ，所以2a 14、答案：D 解析：目标函数变形为yxz，由直线20kxy可得该直线过定点0,2，分 0,0kk讨论，若0k ，则由图可知yxz纵截距的最小值在直线过2,0处取得， 即 min 2z ，不符题意；当0k 时，可知直线yxz纵截距的 最小值过20kxy与x轴的交点 2 ,0 k ，所以 min 2 04z k ，解得 1 2 k
