1、 微专题 53 求数列的通项公式 一、基础知识求通项公式的方法 1、累加（累乘法） （1）累加法：如果递推公式形式为： 1nn aaf n ，则可利用累加法求通项公式 等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和 1,nn aa 的系数相同，且为作差的形式 例：数列 n a满足： 1 1a ，且 1 21 n nn aa ，求 n a 解： 1 21 n nn aa 1 1 21 n nn aa 1 21 21aa 累加可得： 21 1 2221 n n aan 1 2 21 123 21 n n nn 22 n n an （2）累乘法：如果递推公式形式为： 1n n a f n a ，则可利用累
2、加法求通项公式 例：已知数列 n a满足： 1 1a ，且 1 1 nn nana ，求 n a 解： 1 1 1 1 n nn n an nana an 12 121 12 121 nn nn aaann aaann 1 n a n a 1n anan 2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构相邻项同构的特点，进而将相同的结构 视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项 公式 （1）形如 1 1,0 nn apaq pq 的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。 例：数列 n a中， 1 1a ， 1 32 nn aa ，求数列
3、 n a的通项公式 思路：观察到 n a与 1n a 有近似 3 倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对 n a与 1n a 分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出 解：设 1 3 nn aa 即 1 32 nn aa 对比 1 32 nn aa ，可得1 1 131 nn aa 1 n a是公比为3的等比数列 1 1 11 3n n aa 1 2 31 n n a （2）形如 1 n nn apaq ，此类问题可先处理 n q，两边同时除以 n q，得 1 1 nn nn aa p qq ， 进而构造成 1 1 1 nn nn ap a qqq ，设 n n n
4、a b q ，从而变成 1 1 nn p bb q ，从而将问题转化为第 （1）个问题 例：在数列 n a中， 1 1a ， 1 32 3n nn aa 解： 1 32 3n nn aa 1 1 2 33 nn nn aa 3 n n a 是公差为 2 的等差数列 1 1 5 122 333 n n aa nn 5 23 3 n n an 小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如 1nn apaf n （其中 f n为 关 于n的 表 达 式 ） ， 可 两 边 同 时 除 以 n p， 1 1 nn nnn f naa ppp 。 设 n n n a b p ， 即 1nn n
5、f n bb p ，进而只要 n f n p 可进行求和，便可用累加的方法求出 n b，进而求出 n b。 以（1）中的例题为例： 1 32 nn aa 1 1 1 2 333 n nn nn aa 设 3 n n n a b ，则 1 1 3 b 1 1 2 3 n nn bb 1 12 1 2 3 n nn bb 2 21 1 2 3 bb 1 2231 1 11 1 33 11111 221 1 33333 1 3 n nn n bb 11121 33333 nn n b 1 21 2 31 333 n n n n n a a （3）形如： 11nnnn qapaa a ，可以考虑两边同
6、时除以 1nn a a ，转化为 1 1 nn qp aa 的形 式，进而可设 1 n n b a ，递推公式变为 1 1 nn qbpb ，转变为上面的类型求解 例：已知在数列 n a中， 1 0,2 n aa，且 11 2 nnnn aaaa 解： 11 1 11 22 nnnn nn aaaa aa 1 11 2 nn aa 12 11 2 nn aa 21 11 2 aa 累加可得： 1 11 21 n n aa 1 1115 22222 22 n nnn aa 12 5 54 2 2 n a n n （4）形如 21nnn papq aqak ，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反
7、数， 则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为： 211nnnn p aaq aak 的形 式，将 1nnn baa ，进而可转化为上面所述类型进行求解 例：已知数列 n a中， 12 1,3aa，且 21 24 nnn aaa ，求 n a 解： 21211 244 nnnnnnn aaaaaaa 设 1nnn baa ，则 1 4 nn bb ，且 121 2baa n b为公差是 4 的等差数列 1 1 442 n bbnn 1 42 nn aan 1 412 nn aan 21 4 12aa 1 4 12121 n aann 2 1 421242 2 n n nnn 2 243 n
8、 ann 4、题目中出现关于, nn S a的等式：一方面可通过特殊值法（令1n ）求出首项，另一方面 可考虑将等式转化为纯 n S或纯 n a的递推式，然后再求出 n a的通项公式。 例：已知数列 n a各项均为正数， 1 , 2 nn n aa SnN ，求 n a 解： 11 1 11 , 22 nnnn nn aaaa SS 两式相减，可得： 11 1 11 ,2 22 nnnn nn aaaa SSnN n 22 22 11 11 2 nnnn nnnnn aaaa aaaaa 111nnnnnn aaaaaa 0 n a 1 1 nn aa n a是公差为 1 的等差数列 在 1
9、2 nn n aa S 中，令1n ，可得 11 11 1 1 2 a a Sa 1 1 n aandn 5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下 一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递 推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。 （详见例 5，例 8） 以上面的一个例子为例：数列 n a中， 1 1a ， 1 32 nn aa ，求数列 n a的通项公式 解： 1 32 nn aa 1 32 nn aa 可得： 11 3 nnnn aaaa 1nn aa 是公比为3的等比数列 21 32
10、5aa 21 4aa 11 121 34 3 nn nn aaaa 2 1 4 3n nn aa 3 12 4 3n nn aa 0 21 4 3aa 累加后可得： 1 21 1 31 4 13342 32 3 1 n nn n aa 1 2 31 n n a 6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学 归纳法） 例 1：在数列 n a中， 2 11 1,23,2 1 n nn n aaannN n n ，求数列 n a的通项 公式 n a 思路： 观察递推公式中 1 1 1 n an n 的特点， 两边同时除以n可得 2 1 1 23 1 n n n
11、a a nn ， 进而可将 n a n 视为一个整体，利用累加法即可得到 n a n 的表达式，从而求出 n a 解： 2 1 23 1 n nn n aan n 2 1 1 23 1 n n n a a nn 即 2 1 23 1 n nn aa nn 则有 2 1 23 1 n nn aa nn 3 12 23 12 n nn aa nn 21 2 21 aa 累加可得： 1 2 1 2 31 2 133 3 1 n n n a a n 即 11 1 313 nn n a a n 1 3n n an 例 2：已知在数列 n a中， 1 1a ， 2 2 21 n n n S a S ，则
12、n a的通项公式为_ 思路：在本题中很难直接消去 n S，所以考虑 n a用 1nn SS 进行表示，求出 n S之后再解出 n a 解： 当2,nnN时， 1nnn aSS 2 22 111 2 222 21 n nnnnnnnn n S SSSSS SSS S ，整理可得： 11 2 nnnn SSS S 1 11 2 nn SS 1 n S 为公差为 2 的等差数列 1 11 1221 n nn SS 1 21 n S n 11 ,2 2123 1,1 n n ann n 点评：在, nn S a同时存在的等式中， 例 3：数列 n a满足 11 0,2 nn aaan ，则 2015
13、a_ 思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即 1 21 ,2, nn aannnN ，两式相减可得： 11 2,2, nn aannN ，从而 可 得 在 n a中 ， 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 可 构 成 公 差 为2 的 等 差 数 列 ， 所 以 20151 10072014aad 答案：2014 例 4：已知数列 n a满足： 1 3 2 a ，且 1 1 3 2, 21 n n n na annN an ，则数列 n a的通 项公式为_ 思路：观察到递推公式的分子只有 1n a ，所以考虑两边同取倒数，再进行变形： 11 1111 31
14、212121 2133333 nn n nnnnnn naannnn a ananannaaa ，从而找到同构特 点，并设为辅助数列： n n n b a ，求出 n b通项公式后即可解出 n a 解： 1 1 3 21 n n n na a an 1 11 12121 333 n nnn ann ananna 1 21 33 nn nn aa 设 n n n b a ，则 1 12 33 nn bb ， 1 1 12 3 b a 而 11 121 11 333 nnnn bbbb 1 n b为公比是 1 3 的等比数列 1 1 1 11 3 n n bb 1 1 3 n n b 即 1 1
15、3 n n n a 3 31 1 1 3 n nn n nn a 例 5：已知数列 n a为正项数列，且 12 12 444 222 n n n SSS S aaa ，求 n a 解： 12 12 444 222 n n n SSS S aaa 121 1 121 444 222 n n n SSS S aaa 2,nnN 可得： 2 4 42 2 n nnnn n S aSaa a ，2n 在已知等式中令1n ，可得： 1 1111 1 4 42 2 S SSa a a ，满足上式 2 42 nnn Saa 2 111 42 nnn Saa 两式相减可得： 22 11 422 nnnnn a
16、aaaa 22 11 2 nnnn aaaa ， 22 111nnnnnn aaaaaa 1 2 nn aa n a为公差是 2 的等差数列，由可解得： 1 2a 1 12 n aandn 例 6：已知数列 n a的各项均为正数，且 11 2 nn n Sa a ，求 n a 思路：所给为, nn S a的关系，先会想到转为 n a递推公式， 11 1 11 2 2 nn n San a ，两 式相减可得： 11 11 1111 2 nnnnn nnnn aaaaa aaaa ，很难再往下进行。从而 考虑化为 n S的递推式：2n时， 22 11 1 11 1 2 nnnnn nn SSSSS
17、 SS ， 从而 2 n S 为公差是 1 的等差数列，可求出 n S，进而求出 n a 解： 11 2 nn n Sa a ，当2n，有 1 1 11 2 nnn nn SSS SS 11 11 11 2 nnnn nnnn SSSSS SSSS 22 1 1 nn SS 2 n S为公差是 1 的等差数列 22 1 1 n SSn 在 11 2 nn n Sa a 中， 令1n 可得： 11 1 11 2 Sa a 可解得 1 1a 2 n Sn n Sn 1 1 ,2 1,2 ,1 1,1 nn nn SSn nnn aa S n n 小炼有话说：在处理, nn S a的式子时，两种处理
18、方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方 向。本题虽然表面来看消去 n S方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻调 转方向，去得到 n S的式子，迂回一下再求出 n a 例 7：已知数列 n a满足)(3) 1)(1( 11 nnnn aaaa，2 1 a，求 n a的通项公式 解： 11 (1)(1)311 nnnn aaaa 1 11 111111 113113 nn nnnn aa aaaa 1 1 n a 是公差为 1 3 的等差数列 1 11112 1 11333 n nn aa 35 1 22 nn n aa nn 例 8：设数列 n a中， 11 22 2, 11
19、n nn nn a aabnN aa ，则数列 n b的通项公式为 n b _ 思路：题目中所给的是 n a的递推公式，若要求得 n b，则考虑以 n a作为桥梁得到关于 n b的 递推公式： 1 1 1 2 1 n n n a b a ，代入 1 2 1 n n a a 可得： 1 2 2 1242 22 2 11 1 1 nnn nn nn n aaa bb aa a ， 所 以 可 得 n b为 等 比 数 列 ， 且 1 1 1 2 4 1 a b a ，从而可得： 11 1 22 nn n bb 答案： 1 2n n b 例 9：在数列 n a中，1 1 a， )( 2 1 32 1
20、321 Nna n naaaa nn ，求数列 n a的 通项 n a 解： )( 2 1 32 1321 Nna n naaaa nn 1231 231(2 ) 2 nn n aaanaa n 1 1 2, 22 nnn nn naaannN 1 1 313 221 n nn n nnan aa an 2 13 122 122 3 13 n nn nn aaann aaann 2 2 2 3n n a an 21 1aa 2 2 3 2, n n annN n 2 2 3 ,2 1,1 n n n a n n 例 10：设数列 n a满足： 12 1,2aa，且对于其中任意三个连续的项 11
21、 , nnn aa a ，都有： 11 11 2 nn n nana a n ，求 n a通项公式 思路：由已知条件可得： 11 211 nnn nanana ，观察发现 11 , nn aa 的系数和与 n a 相等，所以可将2 n na拆为1 n na和1 n na，从而与 11 , nn aa 配对，将原递推公式转化 为： 1 1 1 1 nn nn aan aan ，进而可将 1nn aa 视为一个整体，设为 n b，则符合累乘的特点。累 乘后可得： 1 2 1 nn aa n n ，再进行累加即可得到通项公式 解： 11 11 11 211 2 nn nnnn nana ananan
22、a n 11 11 nnnn naanaa 1 1 1 1 nn nn aan aan 设 1nnn baa ，即 1 1 1 n n bn bn 12 1211 1212 131 nnn nn bbbnnb bbbnnbn n 1 2 1 n bb n n 121 1baa 1 211 2 11 nnn aab n nnn 11221 11111 21 1212 nnnn aaaaaa nnnn 1 2 1 n 即 1 1 2 1 n aa n 2 3 n a n 思 路 二 ： 本 题 还 可 以 从 递 推 公 式 中 的 “ 同 构 入 手 ”， 构 造 辅 助 数 列 ， 11 11
23、 11 211 2 nn nnnn nana ananana n ， 此三项具备同构特点， 故设 nn bna，则递推公式变为： 11 2 nnn bbb ，所以 n b为等差数列，其公差可由 12 ,b b 计算，从而得到 n b通项公式以求得 n a 解： 11 11 2 nn n nana a n 11 211 nnn nanana 设 nn bna，则递推公式变为： 11 2 nnn bbb n b为等差数列 1122 1,24baba 21 3dbb 1 132 n bbndn ，即32 n nan 2 3 n a n 小炼有话说：两个思路对比可发现，求数列的通项公式关键在于寻找合适的模型，抓住递推 公式的特点构造出辅助数列，选取角度的不同也会导致运算复杂程度的差异
