1、第 1 页 共 22 页 2019 届福建省莆田市高中毕业班第二次质量检测（届福建省莆田市高中毕业班第二次质量检测（A 卷）数卷）数 学（文）试题学（文）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合|0 7UxNx ，2,5A ，1,3,5B ，则，则() UA B （ ） ） A5 B 1,5 C2,5 D1,3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据集合补集交集的定义进行求解即可 【详解】 解：|071,2,3,4,5,6UxNx， 则1,3,4,6 U C A， 则()1,3 U C AB ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键比较基础
2、 2已知复数已知复数z满足满足113zii ，则，则复数复数z的共轭复数为（的共轭复数为（ ） A1i B 1i C1 i D1i 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得. 【详解】 由 22 (1) | 13 |( 1)( 3)2zii ，得 z= 2(1) 1 (1)(1) 2 1 i i iii ， 1zi 故选 C 【点睛】 本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识 点很是丰富. 3已知角已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合若点轴的非负半轴重合若点( ,3
3、)( 0)aa a 第 2 页 共 22 页 是角是角终边上一点，则终边上一点，则tan() 4 （ ） A-2 B 1 2 C 1 2 D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用两角差的正切公 式，求得tan() 4 的值 【详解】 解：点( ,3 )(0)aa a 是角终边上一点， 3 tan3 a a ， 则 1tan1 tan() 41tan2 ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题 4 如图是计算 如图是计算 1111 1 22 33 41n n 的程序框图， 若输出的的程序框图，
4、 若输出的S的值为的值为 99 100 ， 则判断框中应填入的条件是（则判断框中应填入的条件是（ ） A98?n B99?n C100?n D101?n 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由于 1 11 1 111 n k n k knn ，故99n时要判断否，再循环一次， 100n时判断是，退出循环结构，故选B. 5已知两条平行直线已知两条平行直线 1 l、 2 l之间的距离为之间的距离为1， 1 l与圆与圆 22 :4C xy相切，相切， 2 l与与C相交相交 于于A、B两点，则两点，则AB （ ） A 2 B3 C2 2 D2 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意，由直线与
5、圆相切的性质可得圆心C到直线 1 l的距离为2，进而可得 圆心C到直线 2 l的距离2 1 1d ，再利用勾股定理可求得AB 【详解】 第 3 页 共 22 页 根据题意， 1 l与圆 22 :4C xy相切，则圆心C到直线 1 l的距离为2， 又由两条平行直线 1 l、 2 l之间的距离为1，则圆心C到直线 2 l的距离2 1 1d ， 因此， 2 2 42 4 12 3ABd . 故选：D. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，考查计算能力，属于基础题 6函数函数 ln x f xex的大致图象为（的大致图象为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】判
6、断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可 【详解】 解：函数 ln x f xex， - -?ln - x fxex， ()f xfx， ()f xfx， 则函数 f x为非奇非偶函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C，D，当 ,xf x，排除 B， 故选：A 【点睛】 本题主要考查函数图象的识别和判断， 利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关 键 7如图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的体积为（体的体积为（ ） 第 4 页 共 22 页 A 2 33 B 1 33
7、 C 816 33 D 88 33 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据三视图可知该几何体是 1 4 球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求 出 1 4 球与三棱锥的体积，从而可得结果 【详解】 根据三视图可知， 该几何体是半径为 2 的 1 4 球体挖去一个三棱锥， 三棱锥的底面是斜边 长为 4 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示： 则该几何体的体积为 3 141188 24 2 2 433233 V ,故选 D 【点睛】 本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题， 根据三视图的特征找出几何体结构特 征是关键解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的 三视
8、图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体， 并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几 何体补成长方体或者正方体等常见几何体. 8剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的 艺术享受在如图所示的圆形图案中有艺术享受在如图所示的圆形图案中有 12 个树叶状图形（即图中阴影部分） ，构成树叶个树叶状图形（即图中阴影部分） ，构成树叶 状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一
9、点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） 第 5 页 共 22 页 A 3 3 2 B 6 3 4 C 3 3 D 6 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率. 【详解】 设圆的半径为 r，如图所示， 12 片树叶是由 24 个相同的弓形组成，且弓形 AmB 的面积为 2222 1113 sin 62364 Srrrr 弓形 所求的概率为 P= 24S S 弓形 圆 22 2 13 24 64 6 3 4 rr r 故选 B 【点睛】 本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 9已知已知0a且且1a ，函数，函数 32
10、 232,0 ( ) 1,0 x xxx f x ax 在在 2,2上的最大值为上的最大值为 3， 则实数则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A(0,1)(1,2 B(1,2 C(0,1) 2,) D(0,1)(1, 2)U 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增 2,0 和(0,2上的最大值，建立 不等式关系进行求解即可 【详解】 解：当0x时， 32 ( )232f xxx， 2 ( )666 (1)fxxxx x， 由( )0fx 得0x（舍）或21x ，此时 ( )f x为增函数， 第 6 页 共 22 页 由( )0fx 得10x ，此时 (
11、 )f x为减函数， 则当1x时， ( )f x取得极大值，极大值为( 1)3f ， 当2x时， ( )f x取得最小值，最小值为( 2)2f ， ( )f x在 2,2上的最大值为 3， 当02x时，函数 ( )1 x f xa的最大值不能超过 3 即可， 当1a 时， ( )f x为增函数，则当0 2x时，函数( )1 x f xa的最大值为 2 (2)13fa ，即 2 2a ，得12a， 当01a时， ( )f x为减函数，则 0 ( )1 1 12f xa ，此时满足条件 综上实数a的取值范围是01a或1 2a ， 故选 A 【点睛】 本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式
12、，利用函数的导数，以及指数函 数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键 10函数函数( )cos(2 ) | 2 f xx 图象向右平移图象向右平移 6 个单位长度，所得图象关于原个单位长度，所得图象关于原 点对称，则点对称，则 ( )f x在 在, 3 3 上的单调递增区间为上的单调递增区间为( ) A , 3 12 B,0 3 C, 4 4 D, 12 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合 函数的单调性进行求解即可 【详解】 函数( )cos(2) | 2 f xx 图象向右平移 6 个单位长度， 得到cos 2
13、cos 2 63 yxx ，所得图象关于原点对称， 则 32 k ，得 5 6 k ，kZ， 第 7 页 共 22 页 | 2 ， 当1k 时， 6 ， 则( )cos 2 6 f xx ， 由222 6 kxk ，kZ， 得 5 1212 kxk ，kZ， 即函数的单调递增区间为 5 , 1212 kk ，kZ， , 3 3 x ， 当0k 时， 5 1212 x ， 即 312 x ， 即 ( )f x在, 3 3 上的单调递增区间为, 3 12 ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质， 求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决 本题的关键 11已知椭圆已知椭圆 22
14、22 1(0) xy ab ab 与双曲线与双曲线 22 22 1(0,0) xy mn mn 有共同的焦有共同的焦 点点 1 F， 2 F，且在第一象限内相交于点，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为，椭圆与双曲线的离心率分别为 1 e， 2 e若若 12 3 FPF ，则，则 12 e e的最小值是（的最小值是（ ） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】设共同的焦点为(,0)c，( ,0)c，设 1 PFs， 2 PFt，运用椭圆和双曲线 的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值 【详解】 解：设共同的焦点
15、为(,0)c，( ,0)c， 第 8 页 共 22 页 设 1 PFs， 2 PFt， 由椭圆和双曲线的定义可得2sta ，2stm ， 解得sam，tam， 在 12 PFF中， 12 3 FPF ， 可得 222 12121212 2cosFFPFPFPFPFFPF， 即为 22222 4()()()()3camamam amam， 即有 22 22 3 4 am cc ， 即为 22 12 13 4 ee ， 由 2222 1212 133 2 eee e ， 可得 12 3 2 e e，当且仅当 21 3ee时，取得最小值 3 2 ， 故选：C 【点睛】 本题考查椭圆和双曲线的定义、方
16、程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 12如图，在四棱锥如图，在四棱锥SABCD中，四边形中，四边形ABCD为矩形，为矩形，2 3AB ，2AD ， 120ASB，SAAD，则四棱锥外接球的表面积为（，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A16 B20 C80 D100 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由已知证明平面SAB平面ABCD，由正弦定理求出三角形SAB外接球的 第 9 页 共 22 页 半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面 积公式得答案 【详解】 解：由四边形ABCD为矩形，得ABAD， 又SAAD，且SAABA，AD 平面SAB， 则
17、平面SAB平面ABCD， 设三角形SAB的外心为G，则 2 33 2 2sin2sin1203 2 AB GA ASB . 过G作GO 底面SAB，且1GO，则 22 215OS . 即四棱锥外接球的半径为5 四棱锥外接球的表面积为 2 4( 5)20S. 故选 B 【点睛】 本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档 题 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量12113abxc， ，若，若ab c，则，则x_ 【答案】【答案】-10 【解析】【解析】先求出(1,3)abx，然后利用向量垂直数量积为零列方程求解即可. 【详解】 因为12113abxc， ，
18、 所以(1,3)abx； 又()abc； 第 10 页 共 22 页 ()1 90abcx ； 10x ，故答案为10 【点睛】 本题主要考查向量的运算以及向量垂直的性质，属于基础题. 利用向量的位置关系求参 数是出题的热点，主要命题方式有两个： （1）两向量平行，利用 1221 0x yx y解答； （2）两向量垂直，利用 1212 0x xy y解答. 14若实数若实数x，y满足约束条件满足约束条件 0 210 0 y xy xym 且目标函数且目标函数z xy 的最大值为的最大值为 2，则，则 实数实数m_ 【答案】【答案】2 【解析】【解析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出
19、 m. 【详解】 先作出实数 x，y 满足约束条件 0 210 0 y xy xym 的可行域如图， 目标函数 z=x-y 的最大值为 2， 由图象知 z=2x-y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2 由 2 0 xy y ，解得 A（2，0） ，同时 A（2，0）也在直线 x+y-m=0 上， 2-m=0，则 m=2， 故答案为 2 【点睛】 本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键. 第 11 页 共 22 页 15在在ABC中，内角中，内角, ,A B C所对的边分别为所对的边分别为 , , ,a b c S为为 ABC的面积，的面积， sin A C 2
20、2 2S bc ，且，且, ,A B C成等差数列，则成等差数列，则C的大小为的大小为_ 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】 由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得B， 由余弦定理和三角形面积 公式，可得 2 ,3ac bc ，再由余弦定理求得cosC，可求得角C的大小 【详解】 在ABC中， , ,A B C成等差数列，可得2BA CB，即 3 B ， 22 2 sin(AC) S bc ，即为 22 sin sin acB B bc ， 即有 22 bcac，由余弦定理可得 22222 2cosbacacBacac， 即有 2 ,3ac bc ， 222222 433 cos 22
21、2 23 abcccc C abcc ， 由C为三角形的内角，可得 6 C ，故答案为 6 【点睛】 本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，属 于中档题对余弦定理一定要熟记两种形式： （1） 222 2cosabcbcA； （2） 222 cos 2 bca A bc ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、 三角函数有关的问题时，还需要记住30 ,45 ,60 ooo 等特殊角的三角函数值，以便在解题 中直接应用. 16已知函数已知函数( )(1)(0) x f xxaex若若 ( )0f xa ，则，则a的最大整数值为的最大整数值为 _
22、 【答案】【答案】3 【解析】【解析】令( )(1) x g xxaea，0x( )(2) x g xxae，0x利用导 数研究函数的单调性极值即可得出 【详解】 解：令( )(1) x g xxaea，0x 第 12 页 共 22 页 ( )(2) x g xxae，0x. 令( )(2)0 x g xxae，2xa. 当20a ，即2a 时，( )g x在0, 单调递增， 0110gaa 恒 成立； 当20a ，即2a 时， 可得函数( )g x在(0,2)a单调递减，在(2,)a单调递增 2xa时，函数( )g x取得极小值即最小值 2 (2)0 a g aea . 令 2 ( ) a
23、h aea ， 2 ( )1 a h ae ， 2a时， (2)0h. 可得(2,)a时，函数( )h a单调递减 2a时，(0)120g 3a 时，(1)30ge ，4a时， 2 (2)40ge . 满足 2 (2)0 a g aea 的a的最大整数值为 3； 综上，a 的最大整数值为 3， 故答案为 3 【点睛】 本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题三、解答题 17等差数列等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 215 17aa， 10 55S数列数列 n b满足满足 2 log nn ab . （
24、1）求数列）求数列 n b的通项公式；的通项公式； （2）若数列）若数列 nn ab的前的前n项和项和 n T满足满足 32 18 n TS，求，求n的值的值 【答案】【答案】 （1）2n n b ； （2）8n. 【解析】【解析】 （1）利用等差数列通项公式以及对数运算性质转化求解求数列 n b的通项公 第 13 页 共 22 页 式； （2）求解数列的和，通过数列 nn ab的前n项和 n T满足 32 18 n TS，即可求n 的值 【详解】 解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 则有 1 1 21517 104555 ad ad ， 解得 1 1 1 a d ，则 n an. 又
25、 2 log nn ab，即2 n a n b ， 所以2n n b . （2）依题意得： 1212 (.)(.) nnn Taaabbb 23 (1 23 .)(222.2 ) n n 2 1 2 (1) 21 2 n n n 1 (1) 22 2 n n n . 又 32 32(1 32) 1818546 2 S ，则 1 (1) 2548 2 n n n ， 因为 1 (1) ( )2 2 n n n f n 在 * nN上为单调递增函数， 所以8n 【点睛】 本小题主要考查等差数列、等比数列及前n项和等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养
26、18 如图， 在多面体 如图， 在多面体 111 ABCC B A中， 四边形中， 四边形 11 BBCC为矩形，为矩形， 5ABBC ， 1 CC 面面ABC， 11 / /AACC， 11 22AACCAC ，E，F分别是分别是 11 AC，AC的中点，的中点，G是是 线段线段 1 BB上的任一点上的任一点 第 14 页 共 22 页 （1）求证：）求证：ACEG； （2）求三棱锥）求三棱锥 1 FEAG的体的体积积 【答案】【答案】 （1）详见解析； （2） 1 2 . 【解析】【解析】 （1）连接BF证明EFACACBF推出AC 平面 1 BB EF即可 证明ACEG （2）利用三棱锥
27、 1 FEAG的体积为 1111 1 3 F EAGG A EFB A EFA EF VVSBFV 求解即可 【详解】 （1）证明：连接BF 因为E，F分别是 11 AC，AC的中点，且 11 / /AACC， 所以 1 / /EFCC，又 11 / /CCBB，所以 1 / /EFBB， 所以E，F，B， 1 B四点共面 因为 1 CC 平面ABC， 所以EF 平面ABC，所以EFAC. 因为ABBC，F是AC的中点， 所以ACBF. 又EFBFF， 所以AC 平面 1 BB EF. 又因为 1 GBB，所以EG 面 1 EFBB， 所以ACEG （2）解：在Rt BCF中，由5BC ，1C
28、F ，得2BF 因为 1 CC 平面ABC，所以 1 CCBF. 又ACBF， 1 CCACCI， 第 15 页 共 22 页 所以BF 平面 11 ACC A， 因为 11 / /AACC， 11 22AACC，E，F分别是 11 AC，AC的中点， 所以 3 2 EF . 又1AF ，所以 1 AEF的面积 1 1133 1 2224 A EF SEFAF ， 因为 1/ / BBEF， 1 BB 面 1 AEF，EF 面 1 AEF，所以 1/ / BB面 1 AEF 三棱锥 1 FEAG的体积为 1111 1 3 F EAGG A EFB A EFA EF VVSBFV 131 2 3
29、42 . 【点睛】 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质，空间 几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化 归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养 19 随着新课程改革和高考综合改革的实施， 高中教学以发展学生学科核心素养为导向， 随着新课程改革和高考综合改革的实施， 高中教学以发展学生学科核心素养为导向， 学习评价更关注学科核心素养的形成和发展为此，我市于学习评价更关注学科核心素养的形成和发展为此，我市于 2018 年举行第一届高中文年举行第一届高中文 科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估我市高中
30、学生的文科素养，从所有参赛学生中随机科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估我市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机 抽取抽取 1000 名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五成绩整理后分成五 组，从左到右依次记为组，从左到右依次记为50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并绘制成，并绘制成 如图所示的频率分布直方图如图所示的频率分布直方图 （1） 请补全频率分布直方图并估计这） 请补全频率分布直方图并估计这 1000 名学生成绩的平均数 （同一组数据用该组区名学生成绩的平均数 （同一组数据
31、用该组区 间的中点值作代表） ；间的中点值作代表） ； 第 16 页 共 22 页 （2）采用分层抽样的方法从这）采用分层抽样的方法从这 1000 名学生的成绩中抽取容量为名学生的成绩中抽取容量为 40 的样本，再从该样的样本，再从该样 本成绩不低于本成绩不低于 80 分的学生中随机抽取分的学生中随机抽取 2 名进行问卷调查，求至少有一名学生成绩不低名进行问卷调查，求至少有一名学生成绩不低 于于 90 分的概率；分的概率； （3） 我市决定对本次竞赛成绩排在前） 我市决定对本次竞赛成绩排在前 180 名的学生给予表彰， 授予名的学生给予表彰， 授予“文科素养优秀标兵文科素养优秀标兵” 称号 一
32、名学生本次竞赛成绩为称号 一名学生本次竞赛成绩为 79 分， 请你判断该学生能否被授予分， 请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵文科素养优秀标兵” 称号称号 【答案】【答案】 （1）67； （2） 3 5 ； （3）能. 【解析】【解析】 （1）根据各小长方形的面积和为 1，可以得到(60,70)的频率，除以组距 10， 即可得到小长方形的高度， 画到图中即可；（2） 计算出再(80,90)的人数， 及再(90,100 的人数，列举出所有可能，根据古典概型的计算方法，即可得到至少有一名学生成绩不 低于 90 分的概率； （3）根据本次考试的总人数，以及表扬学生的比例，借助频率分布 直方图
33、估算出获得“文科素养优秀标兵”称号的分数，判断即可 【详解】 解： （1）成绩落在60,70)的频率为1 (0.300.150.100.05)0.40， 补全的频率分布直方图如图： 样本的平均数55 0.30 65 0.40 75 0.15x 85 0.10 95 0.0567. （2）由分层抽样知，成绩在80,90)内的学生中抽取 4 人，记为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 成绩在90,100内的学生中抽取 2 人，记为 1 b， 2 b， 则满足条件的所有基本事件为： 12 ()a a,， 13 ()a a,， 14 ()a a,， 11 ()a b,， 12 ()a b,， 2
34、3 ()a a,， 24 ()a a,， 21 ()a b,， 22 ()a b,， 34 ()a a,， 31 ()a b,， 32 ()a b,， 41 ()a b,， 42 ()a b,， 12 ()b b,共 15 个， 记“至少有一名学生成绩不低于 9”为事件A， 则事件 A 包含的基本事件有： 11 ()a b,， 12 ()a b,， 21 ()a b,， 22 ()a b,， 31 ()a b,， 32 ()a b,， 41 ()a b,， 第 17 页 共 22 页 42 ()a b,， 12 ()b b,共 9 个 故所求概率为 93 ( ) 155 P A . （3） 因
35、为 180 0.18 1000 ， 所以由频率分布直方图可以估计获得“文科素养优秀标兵”称号 学生的成绩为 (0.180.050.10) 8078 0.015 . 因为7978，所以该同学能被授予“文科素养优秀标兵”称号 【点睛】 本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率求法、利用频率分布直方图估计某个频率 段的下限，属于中档题 20已知已知(0, 1)A，B是曲线是曲线 2 1 1 8 yx上任意一点，动点上任意一点，动点P满足满足 0APBP . （1）求点）求点P的轨迹的轨迹E的方的方程；程； （2）过点）过点(0,1)D的直线交的直线交E于于M，N两点，过原点两点，过原点O与点与点M的
36、直线交直线的直线交直线1y 于点于点H，求证：，求证：DNHN . 【答案】【答案】 （1） 2 4xy； （2）详见解析. 【解析】【解析】 （1）设( , )P x y， 00 (,)B x y，由 0APBP 推出 0 0 2 21 xx yy 代入方程即可 求解点P的轨迹E的方程； （2）直线MN的斜率存在，其方程可设为1ykx，设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，联立 2 1 4 ykx xy ，利用韦达定理，转化求解斜率，推出结果 即可 【详解】 解：（1） 设(, )Pxy， 00 (,)B x y， 由 0A P B P 得： 00 ( ,1)(,)(0,0)
37、x yxxyy ， 则 0 0 20 210 xx yy ， 即 0 0 2 21 xx yy ， 因为点BB 为曲线 2 1 1 8 yx上任意一点，故 2 00 1 1 8 yx，代入得 2 4xy. 所以点P的轨迹E的方程是 2 4xy 第 18 页 共 22 页 （2）依题意得，直线MN的斜率存在，其方程可设为1ykx， 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 联立 2 1 4 ykx xy 得 2 440xkx， 所以 2 16160k ， 12 4x x . 因为直线OM的方程为 1 1 y yx x ， 且H是直线OM与直线1y 的交点，所以M的坐标为 1 1 (
38、, 1) x y . 根据抛物线的定义DN等于点N到准线1y 的距离，由于H在准线1y 上， 所以要证明DNHN，只需证明HN垂直准线1y ， 即证/ /HNy轴 因为H的纵坐标 1112 2 2 1111 4 4 xxx x x xyxx . 所以/ /HNy轴成立，所以DNHN成立 【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置 关系、轨迹方程的求解等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心 素养 21已知函数已知函数 1 ( )ln a f xx x . （
39、1）讨论）讨论 ( )f x的单调性； 的单调性； （2）当）当01a时，证明：时，证明：( )(sin1)xf xax 【答案】【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析. 【解析】【解析】 （1）求出导函数，通过当1a时，1a 时，判断导函数的符号，图象函 数的单调性； （2）要证( )(sin1)xf xax只需证明lnsin1xxax，证明 ln1xxax设 ( )ln1g xxxax利用导函数转化证明，再证： 第 19 页 共 22 页 1sin1axax ，设 ( )sinh xxx，则( )1 cos0h xx 利用函数的单调性 转化证明即可 【详解】 解： （1）由 1 ( )
40、ln a f xx x 得 22 11(1) ( )(0) axa fxx xxx . 当10a 即1a时，( )0fx ，所以 ( )f x在(0,)上单调递增 当10a 即1a 时，由( )0fx 得1xa；由( )0fx 得1xa， 所以 ( )f x在(0,1)a 上单调递减，在(1,)a上单调递增 （2）要证( )(sin1)xf xax成立， 只需证ln1sinxxaaxa 成立，即证lnsin1xxax. 现证：ln1xxax. 设( )ln1g xxxax则( )1 lnln1g xxaxa ， 所以 ( )f x在 1 (0,e) a 上单调递减，在 1 (e,) a 上单调
41、递增 所以 1111 ( )()(1)1 1 aaaa g xg eaeaee . 因为01a，所以 1 10 a e ，则 ( )0g x ， 即ln1xxax，当且仅当1x ，1a 时取等号 再证：1sin1axax . 设( )sinh xxx，则( )1 cos0h xx . 所以( )h x在(0,)上单调递增，则( )(0)0h xh，即sinxx. 因为01a，所以1sin1axax 当且仅当0a 时取等号， 又ln1xxax与1sin1axax 两个不等式的等号不能同时取到， 即lnsin1xxax， 所以( )(sin1)xf xax 【点睛】 本题主要考查函数的单调性与最值
42、、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理 论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、 数形结合思想考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养 第 20 页 共 22 页 22在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 cos, 3sin x y （为参数）为参数）.以坐标以坐标 原点为极点，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为 sin()2 2 4 . (1)写出写出 1 C的普通方程和的普通方程和 2 C的直角坐标方程
43、；的直角坐标方程； (2)设点设点P在在 1 C上，点上，点Q在在 2 C上，求上，求PQ的最小值及此时的最小值及此时P的直角坐标的直角坐标. 【答案】【答案】 （1） 1 C的普通方程为： 2 2 1 3 y x ； 2 C的直角坐标方程为直线40xy； （2）PQ的最小值为2, 1 3 , 2 2 P . 【解析】【解析】 （1） 消参数可得 1 C的普通方程； 将 2 C的极坐标方程展开， 根据cosx， siny 即可求得 2 C的直角坐标方程。 （2）设(cos , 3sin )P，利用点到直线距离公式表示出点 P 到直线的距离，根据三 角函数的性质即可求得最小值，将代入参数方程即可求得 P 点坐标。 【详解】 （1）曲线 1 C的参数方程为 cos 3sin x y （为参数） ， 移项后两边平方可得， 2 222 cossin1 3 y x 即有椭圆 2 2 1: 1 3 y Cx ； 曲线 2 C的极坐标方程为sin2 2 4
