1、第 1 页 共 27 页 2019 届福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查数学（理）届福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查数学（理） 试题试题 一、单选题一、单选题 1在复平面内，复数在复平面内，复数 34 2 i z i （i为虚数单位）所对应的点在（为虚数单位）所对应的点在（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用复数的除法运算化简复数可得z，可得复数z对应点，可得答案 【详解】 解析： 342346384 2 255 iii z ii i i ， 对应的点为2,1，所以，在第一象限， 故选：A. 【点睛
2、】 本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题 2已知集合已知集合 2 60AxZ xx， 1Bx x，则，则AB （ ） A1 2xx B |13xx C1,2 D1,2,3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先求出集合A，然后再求AB 【详解】 解析：323, 2, 1,0,1,2AxZx 1,2AB 故选：A. 【点睛】 本题考查集合的描述法和求两集合的交集，属于基础题. 3已知等差数列已知等差数列 n a的前的前 n 项和为项和为 n S， 354 2aaa，则，则 7 S （ （ ） A14 B 7 C7 D14 【答案】【答案】D 第 2 页 共 27 页 【解析】【解析】利用等
3、差数列的通项公式（或性质）由条件 354 2aaa可得 4 2a ，然 后利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质可求解答案. 【详解】 解析：由 354 2aaa，得： 111 2432adadad， 即 1 32ad，即 4 2a ， 所以 17 74 7 714 2 aa Sa 故选：D 【点睛】 等差数列的通项公式，等差数列的性质.属于基础题. 4斐波那契螺旋线，也称斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线黄金螺旋线”.如图，矩如图，矩形形ABCD是以斐波那契数为边长的是以斐波那契数为边长的 正方形拼接而成的， 在每个正方形中作一个圆心角为正方形拼接而成的， 在每个正方形中作一个圆心角为90的
4、圆弧，这些圆弧所连成的弧的圆弧，这些圆弧所连成的弧 线就是斐波那契螺旋线的一部分线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率内任取一点，该点取自阴影部分的概率 为（为（ ） A 8 B 4 C 1 4 D 3 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由圆的面积公式及几何概型中的面积型得：点取自阴影部分的概率为 104 4 104 P 得解. 【详解】 解析：由图可知各正方形的边长为：1，1，2，3，5，8， 第 3 页 共 27 页 矩形ABCD的面积为： 1 8 13104S ， 阴影部分面积为： 2 1104 492564 44 S ， 所求概率为：
5、 104 4 1044 P 故选: B 【点睛】 本题主要考查了与面积有关的几何概型的概率公式的简单应用，属于基础试题 5如图是某手机商城如图是某手机商城 2018 年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆 积图（如：第三季度华为销量约占积图（如：第三季度华为销量约占 50%，苹果销量约占，苹果销量约占 20%，三星销量约占，三星销量约占 30%） 根） 根 据该图，以下结论中一定正确的是（据该图，以下结论中一定正确的是（ ） A华为的全年销量最大华为的全年销量最大 B苹果第二季度的销量大于第三季度的苹果第二季度的销量大于第三季度
6、的 销量销量 C华为销量最大的是第四季度华为销量最大的是第四季度 D三星销量最小的是第四季度三星销量最小的是第四季度 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量 最大，从而得出A正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个 季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B，C，D都错误 【详解】 根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道， 根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度 销量多少的， 同样不能判断华为在哪个季度销量最大， 三星在哪个季度销量最小；B
7、， C，D都错误，故选A 【点睛】 第 4 页 共 27 页 本题主要考查对销量百分比堆积图的理解 6 已知 已知 O 为坐标原点， 双曲线为坐标原点， 双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为的右焦点为 F， 焦距为， 焦距为2 5， C 的一条渐近线被以的一条渐近线被以 F 为圆心，为圆心， OF 为半径的圆为半径的圆 F 所截得的弦长为所截得的弦长为 2， 则， 则 C 的方程是 （的方程是 （ ） ） A 2 2 1 4 y x B 22 1 416 xy C 2 2 1 4 x y D 2 2 1 19 y x 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据点到
8、直线的距离公式，可求出点 F 到渐近线的距离刚好为b，由圆的知识 列出方程，通过焦距为2 5，求出a，b即可得到双曲线方程 【详解】 O为坐标原点，双曲线 22 22 :1 xy C ab 的右焦点为F，焦距为2 5，可得5c ， C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为 2， 因为点 F 到渐近 线的距离刚好为b，所以可得 222 15cbb 即有2b，则1a ， 所以双曲线方程为： 2 2 1 4 y x 故选A 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法， 意在考查学生的数学运 算能力 7如图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为
9、 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体的体积为（何体的体积为（ ） A238 B 9 3 4 8 C12 D12 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由三视图还原原几何体， 可知该几何体为组合体， 左边为圆柱， 底面半径为 1 2 ， 高为 2，右边为长方体，长、宽、高分别为 4、3、1，再由圆柱及长方体的体积公式求 解 第 5 页 共 27 页 【详解】 解析：由三视图，该几何体为一个圆柱与一个四棱柱的组合体， 1 24 3 1=12 42 V 故选：D 【点睛】 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题
10、8在同一平面中，在同一平面中，AD DC ， 2BEED ，若，若AE mABnAC （m，nR） ，） ， 则则mn（ ） A 2 3 B 3 4 C 5 6 D1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】运用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则，可解决此问题 【详解】 解析：由AD DC ，可知，D为AC的中点， 11 23 AEADDEACDB 11 23 ACABAD 111 232 ACABAC 11 33 ABAC 则 1 3 m ， 1 3 n ，所以 2 3 mn 故选：A 第 6 页 共 27 页 【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则和基本定理的简单应用，属于中档题. 9已知
11、定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数 f x满足满足 2fxf x，曲线，曲线 yf x在点在点 0,0f处的处的切线的倾斜角为切线的倾斜角为 2 3 ，则曲线，则曲线 yf x在点在点2,2f处的切线方程处的切线方程 为（为（ ） A32 3yx B32 3yx C 32 3 33 yx D 32 3 33 yx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 R 上的奇函数可得 00f，结合奇函数的导数为偶函数，可得 f x在 2x处的切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程 【详解】 因为 f x是奇函数，所以， f xfx， 由 2fxf x,得2fxfx 即 2f xf x， 所以， 42
12、f xf xf x. 即 f x是周期为 4 的函数， 由 2fxf x得11fxfx，图象关于1x 对称， 所以，曲线 yf x在点0,0处的切线与点2,0处的切线的倾斜角互补， 而在点2,0的切线和点2,0处的切线平行， 因为 f x是定义在R上的奇函数，所以， 00f， 200ff， 线( )yf x在点2,0处的切线的倾斜角为 3 ， 第 7 页 共 27 页 切线方程为：3232 3yxx， 故选：B. 【点睛】 本题考查导数的运用,求切线方程，考查函数的奇偶性，以及直线方程的运用，考查化 简运算能力，属于中档题 10 已知抛物线 已知抛物线 2 :2(0)E ypx p， 直线，
13、直线l过过E的焦点， 交的焦点， 交E于于 ,A B两点， 且两点， 且A在在x 轴上方，轴上方，M是是E的准线上一点，的准线上一点，AM平行于平行于x轴，轴，O为坐标原点，若为坐标原点，若 | 4 | OM OB ，则，则 l的斜率为（的斜率为（ ） A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 设直线l的方程为 2 p xmy， 设点 1122 ,A x yB x y， 则点 1 , 2 p My ， 将直线l的方程与抛物线E的方程联立，列出韦达定理，计算直线OB和OM的斜率得 知，,O B M三点共线，再由已知条件得出 12 4yy ，代入韦达定理
14、可得出m的值， 从而求出直线l的斜率. 【详解】 解：设点 1122 ,A x yB x y，则点 1 , 2 p My ，如下图所示， 抛物线E的焦点为,0 2 p F ，设直线AB的方程为 2 p xmy， 将直线AB的方程与抛物线E的方程联立 2 2 2 p xmy ypx ， 得 22 20ympyp， 第 8 页 共 27 页 由韦达定理得 2 1212 2,yympy yp ， 直线OM的斜率为 11 2 2 OM yy k p p ， 直线OB的斜率为 221 22 222 1 222 2 OBOM yyypp kk ypxyp yp ， 所以，,O B M三点共线， | 4 |
15、 OM OB ，则 4OMOB ，所以， 12 4yy ， 则 122 32yyymp ，得 2 2 3 mp y ， 2 22 22 122 216 44 39 mpm p y yyp ， 结合图形可知，直线AB的斜率为正数，所以， 3 4 m ， 因此，直线l的斜率为 14 3m . 故选：D. 【点睛】 本题考查直线与抛物线的综合问题， 考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应 用，考查计算能力，属于中等题. 11已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 1 1 3 a ，当，当2n时，时， n a，1 n S ， ， n S成等比数成等比数 列，若列，若 19 21
16、 m S ，则，则m的最大值为（的最大值为（ ） A9 B11 C19 D21 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由2n时， n a，1 n S ， n S成等比数列，有 2 1 nnn Sa S，即可化为 1 11 1 11 nn SS ，可求出 n S的表达式，再通过解不等式可得答案. 【详解】 解析：因为2n时， n a，1 n S ， n S成等比数列， 所以， 2 1 nnn Sa S， 第 9 页 共 27 页 即 2 1 1 nnnn SSSS ，即 1 21 nnn SSS 所以 1 1 2 n n S S ，即 1 11 11 11 22 n n nn S S SS 所以
17、1 1 111 11211 1 1111 n n nnnn SS SSSS 所以， 1 11 1 11 nn SS 所以， 1 1 n S 是等差数列， 所以， 11 12 n n S ， 即 21 21 n n S n 所以， 2119 2121 m m ， 解得10m，所以，m的最大值为 9. 故选：A 【点睛】 本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式、构造法求数列的通项公式等、属于 中档题 12在长方体在长方体 111 ABCDABC D中，中， 2AB ，3AD， 1 2AA ，E是是 1 AA的中点，的中点， F是棱是棱AD上一点，上一点，1AF ，动点，动点P在底面在底面 1
18、111 DCBA内，且三棱锥内，且三棱锥PBEF与三棱与三棱 锥锥 1 BD EF的体积相等，则直线的体积相等，则直线CP与与 1 BB所成角的正切值的最小值为（所成角的正切值的最小值为（ ） A 13 4 B 4 13 13 C 5 5 D 5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】过 1 D构造与平面BEF平行的平面，得出P的轨迹，从而可得出当所求角最小 时对应的P的位置 【详解】 解析：因为 11 P BEFB D EFDBEF VVV ，设 1 1CG ， 1 CC的中点为M， 则 1 / /DGBF，/MGEF，因为 1 DG 平面BEF，BF 平面BEF， 第 10 页 共 27 页
19、 所以 1 / /DG平面BEF，MG平面BEF，EF 平面BEF， 所以/ /MG平面BEF，又因为 1 DGGMG， 所以平面 1 / /DGM平面BEF， 所以P平面 1 DGM，因为P底面 1111 DCBA， 因为平面 1 DGM平面 11111 ABC DDG， 所以P在底面 1111 DCBA的轨迹为线段 1 DG， 在平面 1111 DCBA内，过点 1 C作 1 C H垂直于 1 DG，垂足为H，连接CH， 则 1 CCH为直线CP与 1 BB所成的最小角，所以 1 1 1 5 tan 5 C H C CH C C . 故选：C 【点睛】 本题考查了异面直线所成角的计算，考查
20、面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于 中档题 二、填空题二、填空题 13设设x，y满足约束条件满足约束条件 220 20 0 xy xy y 则则z xy 的最小值是的最小值是_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】由题意作平面区域，化z xy 为y xz ，从而结合图象求最小值 【详解】 解析：不等式组表示的平面区域如下图所示， 目标函数z xy 可化为y xz ， z表示直线yxz 在y轴上截距的相反数. 当直线y xz 在y轴上截距最大值时，z有最小值. 第 11 页 共 27 页 由图可知直线y xz 经过点0,2A时，z取得最小值为2 故答案为：2 【点睛】 本题考查了学生的作
21、图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用,属于基础题. 14在在“2022 北京冬奥会北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等宣传活动中，甲、乙、丙、丁等 4 人报名参加了人报名参加了A、 、B、C 三个项目的志愿者活动， 每个项三个项目的志愿者活动， 每个项目至少需要目至少需要 1 名志愿者， 则共有名志愿者， 则共有_种不同的方种不同的方 案案.（用数字填写答案）（用数字填写答案） 【答案】【答案】36 【解析】【解析】先分组，然后全排列进行计算即可 【详解】 解析：依题意，有一个项目有 2 名志愿者，4 人分组人数为：2、1、1， 所以，方案有： 23 43 36C A 种. 故答
22、案为：36 【点睛】 本题主要考查计数问题的应用，先分组后排列是解决本题的关键属于中档题. 15函数函数 3sin4cosf xxx，若直线，若直线x是曲是曲线线 yf x的一条对称轴，则的一条对称轴，则 cos2sin cos_. 【答案】【答案】 19 25 【解析】【解析】引入辅助角,根据对称性的性质可得,sin()1 ,从而 2 k ,kZ, 结合诱导公式和二倍角公式可求得. 【详解】 因为 3sin4cosf xxx 34 5( sincos ) 55 xx, 令 3 cos 5 , 4 sin 5 , 第 12 页 共 27 页 则( )5(sincoscos sin )f xxx
23、5sin()x, 因为直线x是曲线 yf x的一条对称轴, 所以, 2 kkZ , 所以 2 k ,kZ, 所以222k,kZ, 所以cos2cos(22 )cos2k 22 37 2cos12( )1 525 , 11143 sincossin2sin(22 )sin2sincos 22255 k 12 25 , 所以cos2sin cos 71219 252525 . 故答案为: 19 25 . 【点睛】 本题考查了三角函数的辅助角公式,函数的对称性,诱导公式和二倍角公式,属于中档题. 16若函数若函数 222 210 xx f xa eaxexx a 的最小值为的最小值为 2 ln3ln
24、2aa，则，则a的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 3 2, e 【解析】【解析】将函数 f x整理为 2 xx f xaexaex ，然后换元设 e x tg xax ， 讨论 g x的单调性得到 g x的值域， 在由二次函数的最值得到 参数范围. 【详解】 解析： 2 xx f xaexaex ，设 e x tg xax ， 则 2 yh ttt， 1 x gxae ， 当,lnxa 时， 0gx ， g x在,lna上单调递减； 当ln ,xa时， 0g x ， g x在ln , a 上单调递增， lnln1gaa，x 时， g x ， 第 13 页 共 27 页 所以， g
25、 x的值域为ln1,a ，即ln1,ta ， 又因为 2 min ln3ln2ln1h taaha， 所以 1 ln1 2 a ，解得 3 2 ae . 故答案为： 3 2, e 【点睛】 本题考查根据二次型函数的最值求参数和利用导数讨论函数单调性从而得到函数的值 域，考查换元的方法，属于难题. 三、解答题三、解答题 17在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，已知，已知22 cosb caC . （1）求）求A； （2）若）若3a ，sin sin6sins2inBCBC ，求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1） 3 A （2） 3 8 【解析】
26、【解析】(1)由余弦定理有 222 cos 2 abc C ab ，将条件代入得 222 bcabc，再 用余弦定理可得答案. (2)由条件结合正弦定理可得sin 2 b B ，sin 2 c C ，再代入条件 sinsin6sins2inBCBC 中可得3 2bcbc，再由余弦定理可得到bc的值， 从而得到ABC面积 【详解】 解法一： （1）在ABC中，由余弦定理得， 222 cos 2 abc C ab ， 又因为22 cosb caC ，所以 222 bcabc， 所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 又因为0,A，所以 3 A . （2）在ABC中，由正弦定理得 si
27、nsinsin bca BCA ， 第 14 页 共 27 页 因为3a ， 3 A ，所以sin 2 b B ，sin 2 c C ， 又因为sin sin6sins2inBCBC ，所以3 2bcbc， 因为 222 2cosabcbcA，即 2 2 3abcbc， 所以 22 610b cbc ，解得 1 2 bc 或 1 3 bc （舍去） ， 所以，ABC的面积 13 sin 28 ABC SbcA . 解法二： （1）在ABC中，由正弦定理得 sinsinsin bca BCA ， 又因为22 cosb caC ，得2sinsin2sincosBCAC， 即2sinsin2sinc
28、osA CCAC，所以2cossinsinACC， 因为sin0C ，所以 1 cos 2 A， 又因为0,A，所以 3 A . （2）同解法一. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查运 算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想.属于中档题. 18如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，/ABCD，ADCD，2ABAD，4CD， 1PD ，平面，平面PAD 平面平面ABCD，二面角，二面角P CDB-为为60 . （1）求证：）求证：PA 平面平面PCD； （2）求直线）求直线PB与平面与平面PAC所成角的正弦值所成角的正
29、弦值. 【答案】【答案】 （1）见解析（2） 2 119 119 【解析】【解析】 （1）证明CD平面PAD可得ADCD，且ADP为二面角P CDB的 平面角，计算出PA，可根据勾股定理得出APDP，可得AP 平面PCD. 第 15 页 共 27 页 （2）建立空间坐标系，求出平面PAC的法向量n,则cos, n PB为直线PB与平面 PAC所成角的正弦值 【详解】 解： （1）因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD平面ABCDAD，CD 面ABCD，CDAD. 所以CD平面PAD， 因为PD 平面PAD，所以CDPD， 又因为ADCD， 所以ADP即为二面角P CDB的平面角，所以60AD
30、P， 又因为在ADP中，1PD ，2AD ，由余弦定理得3AP ， 所以 222 ADPDAP ，所以APDP， 又因为CD平面PAD，AP 平面PAD，所以CDAP， 又因为CDDPD，所以AP 平面PCD. （2）在平面PAD内过点P作POAD.垂足为O， 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面 ABCD，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为2ABAD，4CD，1PD ， 3 sin60 2 POPD ， 所以 3 ,0,0 2 A ， 3 0,0, 2 P ， 3 ,2,0 2 B ， 1 ,4,0 2 C ， 33 ,2, 22 PB ，
31、 33 ,0, 22 PA ，2,4,0AC ， 设平面PAC的法向量为, ,nx y z， 所以 0 0 n PA n AC ，即 33 0 22 240 xz xy ， 取2x，则平面PAC的一个法向量为2,1,2 3n . 记直线PB与平面PAC所成角为，则 2 119 sincos, 119 n PB n PB nPB ， 所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 2 119 119 . 第 16 页 共 27 页 【点睛】 本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、空间角、空间向量等基础知识；考查空间 想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等,属 于中档
32、题. 192018 年年 11 月月 1 日，习总书记在民营企业座谈会上日，习总书记在民营企业座谈会上指出， 指出，“我国民营经济只能壮大、我国民营经济只能壮大、 不能弱化不能弱化”.某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产A种产品；项目种产品；项目 二使用乙种机器生产二使用乙种机器生产B种产品种产品.甲种机器每台甲种机器每台 2 万元，乙种机器每台万元，乙种机器每台 1 万元，当甲、乙万元，当甲、乙 两种机器出现故障时， 它们每次的维修费用分别为两种机器出现故障时， 它们每次的维修费用分别为 2500 元元/台和台和 1000
33、元元/台台.该企业调查该企业调查 了甲、乙两种机器各了甲、乙两种机器各 200 台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：台一年内的维修次数，得到频数分布表如下： 维修次数维修次数 0 1 甲种机器台数甲种机器台数 40 160 维修次数维修次数 0 1 2 乙种机器台数乙种机器台数 20 160 20 以这各以这各 200 台甲、 乙两种机器需要维修次数的频率分别代替台甲、 乙两种机器需要维修次数的频率分别代替 1 台相应机器需要维修次数台相应机器需要维修次数 的概率的概率. （1）若该企业投入）若该企业投入 100 万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学万元购买甲种机器进行生
34、产，求一年内该企业维修费用的数学 期望；期望； （2）该企业现有资金）该企业现有资金 1110 万元，计划只投资一个项目，其中万元，计划只投资一个项目，其中 100 万元用于购买机器，万元用于购买机器， 并根据机器维修费用的均值预留维修费用， 将其余资金作为生产专用资金全部投入生产并根据机器维修费用的均值预留维修费用， 将其余资金作为生产专用资金全部投入生产. 据统计：当投入项目一的生产专用资金为据统计：当投入项目一的生产专用资金为a万元时，生产万元时，生产A产品获利的概率是产品获利的概率是 3 4 ，且，且 一年获利一年获利 3 10 a万元； 亏损的概率是万元； 亏损的概率是 1 4 ，
35、且一年亏损， 且一年亏损 1 10 a万元万元.当投入项目二的生产专用当投入项目二的生产专用 资金为资金为a万元时， 生产万元时， 生产B产品获利的概率是产品获利的概率是 2 3 ， 且一年获利， 且一年获利 2 5 a万元； 亏损的概率是万元； 亏损的概率是 1 3 ， 第 17 页 共 27 页 且一年亏损且一年亏损 1 5 a万元万元.你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由. 【答案】【答案】 （1）见解析（2）项目一的风险更小，该企业应投资项目一. 【解析】【解析】 （1）根据题意维修费用满足二项分布，得出数学期望； （2）分别计算投资两项目的利润
36、期望和方差，根据期望和方差大小得出结论 【详解】 解： （1）依题意，100 万元可购买甲种机器10050 2 台， 一台甲种机器一年内需要维修一次的频率为 160 0.8 200 . 记这 50 台机器一年内需要维修的次数为X，则50,0.8XB， 所以，50 0.840EX 次， 所以，一年内该企业维修费用的数学期望为 250025002500 40100000EXEX元， 即一年内该企业维修费用的数学期望为 10 万元. （2）若该企业投入项目二，则可购买乙种机器 100 台， 记 1 台乙种机器需要的维修费用为Y元，则Y的可能取值为 0，1000，2000， 且00.1P Y ，100
37、00.8P Y ，20000.1P Y . 所以，随机变量Y的分布列为 Y 0 1000 2000 P 0.1 0.8 0.1 所以，0 0.1 1000 0.8 2000 0.1 1000EY 元， 所以，一年内这 100 台乙种机器维修费用的数学期望为100100100000EYEY 元， 即一年内这 100 台乙种机器维修费用的数学期望为 10 万元. 所以，若该企业投资项目二，则企业的生产专用资金为1110 100 10 1000万元. 由（1）知，若该企业投资项目一，则一年内该企业维修费用的数学期望为 10 万元， 所以，企业的生产专用资金为1110 100 10 1000万元. 若
38、该企业投资项目一，记一年的收益为万元， 第 18 页 共 27 页 则随机变量的分布列为 300 100 P 3 4 1 4 所以 31 300100200 44 E 万元； 若该企业投资项目二，记一年的收益为万元， 则随机变量的分布列为 400 200 P 2 3 1 3 所以 21 400200200 33 E 万元. 又因为 2 231 30020010020030000 44 D ， 2 221 40020020020080000 33 D ， 所以EE，DD， 所以，项目一的风险更小，该企业应投资项目一. 【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列及其期望、方差等基础知识；考查学生的阅
39、读理解能 力、运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识，属于中档题 20已知椭圆已知椭圆 2 2 :1 4 x Ey，A，C分别是分别是E的上顶点和下顶点的上顶点和下顶点. （1）若）若B，D是是E上位于上位于y轴两侧的两点轴两侧的两点，求证：四边形，求证：四边形ABCD不可能是矩形；不可能是矩形； （2）若）若B是是E的左顶点，的左顶点，P是是E上一点，线段上一点，线段PA交交x轴于点轴于点M，线段，线段PB交交y轴于轴于 第 19 页 共 27 页 点点N， 9 4 BMAN，求，求MN . 【答案】【答案】 （1）见解析（2） 10 3 MN 【解析】【解析】 （1）
40、11 ,B x y，计算BA，BC的斜率的乘积，根据斜率公式即可证明. （2）设 00 ,P x y，分别求出直线,PA PB的方程，求出点,M N的坐标，再根据 9 4 BMAN，结合点P在椭圆上即可求出 【详解】 解法一： （1）依题意，0,1A，0, 1C. 设 11 ,B x y，则 1 0x ，且 2 2 1 1 1 4 x y， 设直线BA，BC的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 2 2 1 111 12 22 1111 1 1111 4 1 4 x yyy k k xxxx ， 所以BA与BC不垂直，所以四边形ABCD不可能是矩形. （2）设 00 ,P x y，则 0 0x
41、， 0 0y ，且 2 2 0 0 1 4 x y， 所以直线 0 0 1 :1 y PA yx x ，令0y ，得 0 0 1 x x y ， 所以 0 0 ,0 1 x M y ， 直线 0 0 :2 2 y PB yx x ，所以 0 0 2 0, 2 y N x ， 又因为 9 4 BMAN，所以 00 00 29 21 142 xy yx ，所以 00 4910xy . 由 00 2 2 0 0 4910 1 4 xy x y 得， 2 00 145323200xx， 第 20 页 共 27 页 解得 0 8 5 x 或 0 40 29 x （舍去） ， 所以 83 , 55 P ，
42、1,0M， 1 0, 3 N ，故 10 3 MN . 解法二： （1）假设四边形ABCD为矩形， 因为A，C关于原点对称，所以直线BD原点且2BDAC， 设直线:BD ykx， 11 ,B x y， 22 ,D xy， 由 2 2 1 4 ykx x y 得 22 144kx，解得 2 2 14 x k ， 所以 2 2 12 2 4 1 12 1 4 k BDkxx k ， 所以 22 4 114kk ，显然不成立， 所以假设不成立，所以四边形ABCD不可能是矩形. （2）同解法一. 【点睛】 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能 力等；考查数形结合
43、思想、函数与方程思想、化归与转化思想等. 属于中档题. 21已知函数已知函数 2xx f xaeexb （0a，bR） （1）讨论）讨论 f x的单调性；的单调性； （2）若对任意）若对任意0a， f x恰有一个零点，求恰有一个零点，求b的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）见解析（2） 3 ,ln2 2 【解析】【解析】 （1）讨论a的范围，得出( )0fx 的解的情况，从而得出 ( )f x的单调区间； （2）分离参数可得 2xx baeex ，令 2xx g xaeex，求出( )g x的单调性 和值域，从而可得出b的范围 【详解】 解法一： （1）依题意， 2 21 xx fxaee ， 令 0fx ，1 8a ， 第 21 页 共 27 页 当 1 8 a 时，0， 0fx， f x在, 单调递增； 当 1 0 8 a时，由 0fx得， 11 8 4 x a e a ， 因为 1 0 8 a
