1、通信原理第第2章章 确知信号确知信号第第2章章 确知信号确知信号2.1 确知信号的类型确知信号的类型按照周期性区分：周期信号：T0信号的周期，T0 0 非周期信号按照能量区分：能量信号：能量有限，功率信号：归一化功率：平均功率P为有限正值：能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于 0()(),s ts tTt=+-+20()Es t dt-=/22/21lim()TTTPst dtT-=2222/PVRI RVI=第第2章章 确知信号确知信号2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质2.2.1 功率信号的频谱傅里叶级数周期性功率信号频谱（函数）的定义 式中，f0 1/T0，n为整数，-n +
2、。双边谱，复振幅 (2.2 4)|Cn|振幅，n相位000/220/201()()(2.22)Tjnf tnTCC nfs t edtTp-=-02/()(2.21)jnt Tnns tC ep=-=-00/20/201()(2.23)TTCs t dtT-=-njnnCCeq=第第2章章 确知信号确知信号周期性功率信号频谱的性质对于物理可实现的实信号，由式(2.21)有正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即 Cn的模偶对称Cn的相位奇对称000000/2/222*/2/20011()()(2.25)TTjnf tjnf tnnTTCs t edts t edtCTTpp*+-轾犏=-犏
3、臌蝌n102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅谱102345-2-1-3-4-5nn(b)相位谱第第2章章 确知信号确知信号将式(2.25)代入式(2.21)，得到 式中式(2.28)表明：1.实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n=1时)和各次谐波(n=1,2,3,)。2.实信号s(t)的各次谐波的振幅等于3.实信号s(t)的各次谐波的相位等于4.频谱函数Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅之半。()()()02/000122001()cos 2/sin 2/cos 2/(2.28)jnt Tnnnnnnnns tC eCant Tbnt TCabnt Tppppq=-
4、=轾=+臌轾=+-犏臌邋()1tan/nnbaq-=22nnab+2212nnnCab=+称为单边谱。第第2章章 确知信号确知信号p若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。因为而所以Cn为实函数。000000000/2/2200/2/20/2/200/2/211()()cos(2)sin(2)11()cos(2)()sin(2)Re()Im()TTjnf tnTTTTnnTTCs t edts tnf tjnf t dtTTs tnf t dtjs tnf t dtCjCTTppppp-=-=-=-蝌蝌00/20/2()sin(2)0TTs tnf t dtp-=第第2章章 确知信号确知信号【
5、例2.1】试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：0T-TtVs(t),/2/2()0,/2(/2)()(),Vts ttTs ts tTttttt-=-=-0000/2/222/20/22/22/2000112sinsin2jnf tjnf tnjnfjnfVCVedteTTjnfV eeVVnnfcTjnfnf TTTttppttptptptptptpp-轾犏=-犏臌骣-=桫0022()sinjnf tjnf tnnnVns tC eceTTpptpt=-=-骣=桫邋Cn第第2章章 确知信号确知信号【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：因为此
6、信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。T-Tt0Vs(t),0()0,()(),Vts ttTs ts tTttt=-()0002200022/01121122jnf tjnf tnjnfjnTVCVedteTTjnfVeVeTjnfjnttppptptppp-轾犏=-犏臌-=-第第2章章 确知信号确知信号【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。由式(2.2-1)：由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。t1s(t)()sin()01()(1)s ttts tf ttp=-/22/21sin()()()sin()2jftjfjfafGfedteecfjfftpp tp ttp tttp tpp
7、t-=-=1(b)Ga(f)t0(a)ga(t)Ga(f)ga(t)f1/2/-2/-1/0图2-5 单位门函数 单位门函数第第2章章 确知信号确知信号【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。函数的定义：函数的频谱密度：函数的物理意义：一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。2()()1()1jftft edtt dtpdd-D=蝌()1()00t dtttdd-=第第2章章 确知信号确知信号函数的性质1：函数可以用抽样函数的极限表示：因为，可以证明式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。（见左图）和下式比较：(2.2-26)可见(2.2-2
8、8)即抽样函数的极限就是函数。sin()1kc kt dtp-=ttt()limsin()kktc ktdp=()1t dtd-=()limsin()kktc ktdp=第第2章章 确知信号确知信号函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密度2()()1()1jftft edtt dtpdd-D=蝌f(f)10t(t)0第第2章章 确知信号确知信号函数的性质3：(2.2-30)【证】因为物理意义：可以看作是用函数在 t=t0时刻对f(t)抽样。由于单位冲激函数是偶函数，即有所以式(2.2-30)可以改写成：d00()()()f tf tttdtd-=-0000()()()()()f ttt dt
9、f ttt dtf tdd-=-=蝌00()()()f tf ttt dtd-=-()()ttdd=-(2.2-31)函数的性质4：函数也可以看作是单位阶跃函数 的导数。单位阶跃函数的定义：即u(t)=(t)用函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。10t图2-8 单位阶跃函数第第2章章 确知信号确知信号0,0,()1,0tu tt=当当第第2章章 确知信号确知信号【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)按式(2.2-21)计算，可以写为参照式(2.2-28)，上式可以改写为引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。
10、/22000/20000sin()sin()()limcos2lim2()()limsin()sin()2jftffffS ff tedtffffcffcfftpttttptpttpptpttptpt-禳镲-+镲=+睚镲-+镲铪=-+001()()()2S fffffdd=-+f0f00(b)频谱密度t(a)波形第第2章章 确知信号确知信号2.2.3 能量信号的能量谱密度定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理 (2.2-37)将|S(f)|2定义为能量谱密度。式(2.2-37)可以改写为 (2.2-38)式中 G(f)=|S(f)|2 能量谱密度由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|
11、是一个偶函数,因此上式可以改写成 (2.2-40)22()()Es t dtS fdf-=蝌()EG f df-=02()EG f df=第第2章章 确知信号确知信号【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度：故由式(2.2-39)得出()()sin()aS fGfcftp t=2222()()sin()sin()G fS fcfcftp ttp t=第第2章章 确知信号确知信号2.2.4 功率信号的功率谱密度定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 t T/2 sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(f)|2，由巴塞伐
12、尔定理有(2.2-41)将定义为信号的功率谱密度P(f)，即信号功率 /222/2()()TTTTEst dtSfdf-=蝌21lim()TTSfT21()lim()TTP fSfT=()PP f df-=第第2章章 确知信号确知信号2.3 确知信号的时域性质2.3.1 能量信号的自相关函数定义：(2.3-1)性质：自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。当=0时，R(0)等于信号的能量：(2.3-2)R()是 的偶函数(2.3-3)自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：()()()Rs t s tdtttt-=+-2(0)()Rs t dtE-=()()RR
13、tt=-22()()jfS fRedp ttt-=22()()jfRS fedfp tt-=第第2章章 确知信号确知信号2.3.2 功率信号的自相关函数定义：(2.3-10)性质：当=0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：(2.3-11)功率信号的自相关函数也是偶函数 周期性功率信号：自相关函数定义：(2.3-12)R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：/2/21()lim()()TTTRs t s tdtTttt-=+-/22/21(0)lim()TTTRst dtPT-=00/2/201()()()TTRs t s tdtTttt-=+-2()()jfRP f edfp t
14、t-=2()()jfP fRedp ttt-=第第2章章 确知信号确知信号【例2.9】试求周期性信号s(t)=Acos(t+)的自相关函数。【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。求功率谱密度：结果为求自相关函数：222000()()()()()44nAAP fC ffnfffffddd=-=-=-+222()()cos42jfjjAARP f edfeepttttt-=+=第第2章章 确知信号确知信号2.3.3 能量信号的互相关函数定义：性质：R12()和时间 t 无关，只和时间差 有关。R12()和两个信号相乘的前后次序有关：【证】令x=t+，则 互相关函
15、数R12()和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换 互能量谱密度的定义为：1212()()(),Rs t s tdtttt-=+-2112()()RRtt=-2121211212()()()()()()()()Rs t s tdtsxs x dxs x s xdxRttttt-=+=-=+-=-蝌(2.3-23)*1212()()()SfSf Sf=21212()()jfSfRedp ttt-=21212()()jfRSf edfp tt-=第第2章章 确知信号确知信号2.3.4 功率信号的互相关函数定义：性质：R12()和时间t 无关，只和时间差 有关。R12()和两个信号相乘的前后次序有关：R21()=R12(-)若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为 式中 T0 信号的周期R12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：互功率谱定义：/21212/21()lim()(),TTTRs t s tdtTttt-=+-00/21212/201()()(),TTRs t s tdtTttt-=+-2*112)()(nnCCC021212()jnfnRCeptt=-=0212120()()()jnfRCffnfedfptd-=-
