1、1Schrodinger Equation)1926年年,薛定谔介绍薛定谔介绍德布罗意波后德布罗意波后,德拜：德拜：“有了波就应该有一个波动方程。有了波就应该有一个波动方程。”几周后几周后 薛定谔找到（提出）了波函数满足的薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程微分方程 薛定谔方程薛定谔方程从而建立了描述微观粒子运动规律的学科从而建立了描述微观粒子运动规律的学科量量子力学子力学。薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程。薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程。同牛顿定律一样，是不能由其它基本原理推同牛顿定律一样，是不能由其它基本原理推导出来的，导出来的，它最初只是一个假定，后通过实验它最初只是一个假定，
2、后通过实验检验了它的正确性，检验了它的正确性，获获19331933年诺贝尔奖年诺贝尔奖。2 薛定谔薛定谔Erwin Schrodinger 奥地利人奥地利人 1887-1961 创立量子力学创立量子力学获获1933年诺贝尔年诺贝尔物理学奖物理学奖3一一.自由粒子薛定谔方程的建立自由粒子薛定谔方程的建立自由粒子波函数自由粒子波函数(一维一维)：微分微分,得到方程得到方程),(),(txEittx )(0),(tExpixetx ),(),(2222txpxtxx Eti 2222xpx ),(),(txpixtxx xpxi )(10pxEtie 4 非相对论情况下：非相对论情况下：mpEx22
3、 Eti Epmxmx 2222212 一维自由粒子的一维自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程令其作用于波函数令其作用于波函数 上，上，),(tx 则得到自由则得到自由粒子波函数满足的微分方程：粒子波函数满足的微分方程：),(),(txxmtxti 2222 2222xpx 2222xmti 对自由粒子成立，作用对自由粒子成立，作用在波函数上才有意义！在波函数上才有意义！5由以上对波函数的微分操作得到物理启示：由以上对波函数的微分操作得到物理启示：二二.力学量的算符的引入力学量的算符的引入 某一某一微分微分算符作用在自由粒子算符作用在自由粒子波函数上，波函数上，相当于对该波函数乘以相当于对该波函数乘
4、以某一物理量。即：某一物理量。即：对自由粒子对自由粒子波函数而言，某些波函数而言，某些算符和某算符和某些物理量是一一对应的。些物理量是一一对应的。可以用算符来代替相应的物理量。可以用算符来代替相应的物理量。6定义定义能量算符、动量算符能量算符、动量算符和和坐标算符坐标算符分别为：分别为：xxxiptiEx ，),(),txxtxx （将它们作用到一维自由粒子波函数上，有：将它们作用到一维自由粒子波函数上，有：),()(),()(0txEetitxEEtxxpi ),()(),()(0txpexitxpxEtxxpix 7 若粒子在势场中，势能函数为若粒子在势场中，势能函数为U(x,t)，则则)
5、,(22txUmpE ),(22txUmpEx Uxmti 2222推广到推广到算符算符又又，tiE ，22222)(xxipx 所以有算符等式：所以有算符等式：三三.势场中的势场中的薛定谔方程薛定谔方程mpEx22 2222xmti 自由粒子：自由粒子：动能算符动能算符8三维：三维：),()(22222222trUzyxmti 2222222zyx 引入拉普拉斯算符：引入拉普拉斯算符：则有：则有：),(),(2),(22trtrUmtrti 薛定谔方程薛定谔方程 把把“算符等式算符等式”双方作用在双方作用在 上，就得到上，就得到：Uxmti 2222一维势场中的一维势场中的薛定谔方程薛定谔方
6、程动能算符动能算符9它是非相对论量子力学的基本方程。它是非相对论量子力学的基本方程。是是非相对论情况下、不发生实物粒子产生和湮灭非相对论情况下、不发生实物粒子产生和湮灭时时,粒子波函数满足的方程。粒子波函数满足的方程。给定给定),(trU，解该方程就能给出解该方程就能给出。),(tr),(),(trHtrti ，),(222trUmH 引入引入哈密顿算符哈密顿算符(Hamiltonian Operator)它对应于粒子的总能量它对应于粒子的总能量,有：有：),(),(2),(22trtrUmtrti 10 是量子力学的一个是量子力学的一个“基本假定基本假定”,它不能由它不能由其它更加基本的原理
7、推导出来。其它更加基本的原理推导出来。它的计算结果和实验一致，表明了它的正它的计算结果和实验一致，表明了它的正确性。确性。四关于薛定格方程的讨论四关于薛定格方程的讨论),(),(trHtrti 1.薛定谔方程的解满足态叠加原理薛定谔方程的解满足态叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，),(2tr),(1tr 则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc 这是因为薛定谔方程是这是因为薛定谔方程是线性线性偏微分方程偏微分方程。113.薛定格方程中含有虚数薛定格方程中含有虚数 i),(),(trHtrti 所以它的解所以它的解 必然是复数，必然是复
8、数，复数不能直接测量，复数不能直接测量，只有只有 的模方才有直接的物理意义。的模方才有直接的物理意义。2.薛定谔方程关于时间是一阶的薛定谔方程关于时间是一阶的经典波动方程：经典波动方程：2222 ut关于时间是二阶的。关于时间是二阶的。12则薛定则薛定谔谔方程可方程可分离变量。分离变量。五五.定态薛定谔方程定态薛定谔方程则则)()()()(tTrHrdttTdi ErHrtTdttTdi )()(1)(1)(),(),(trHtrti 若若 与与 t无关，无关，)(rUU),(222trUmH 设设 ，)()(),(tTrtr 双方同除双方同除)()(tTr 常数常数)()(tETtdtdTi
9、)()(rErH 13方程（方程（1 1）的解为）的解为EtiCetT )(振动因子振动因子(2)(2)式称为式称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程)1()()(tETtdtdTi)2()()(rErH )()()(222rErrUm 从数学上来讲：从数学上来讲：E E 不论为何值，该方程都有解。不论为何值，该方程都有解。E E 只有取一些特定值只有取一些特定值,该方程该方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续、归一）。连续、归一）。从物理上来讲：从物理上来讲：特定的特定的E E 值称为值称为能量本征值。能量本征值。它的解依赖于它的解依赖于 的形式的形式
10、)(rU式中式中E具有能量量纲，具有能量量纲，C 可以是复数。可以是复数。14 这些特定的这些特定的E E 值所对应的波函数称为值所对应的波函数称为能量本征函数。能量本征函数。这一方程又称为这一方程又称为能量本征值方程。能量本征值方程。这一波函数所描述的量子态称为这一波函数所描述的量子态称为定态。定态。定态定态:能量取确定值的状态能量取确定值的状态定态波函数定态波函数EtiEEerCtr )(),()()()(xExxUdxdm 2222 对自由粒子，对自由粒子，U=0，一维情况下，上式成为：，一维情况下，上式成为：一维定态薛定谔方程：一维定态薛定谔方程：15 Edxdm2222其解为其解为x
11、mEieBx 20)(xpieB 0mEp2)()(),(tTxtx )(xpEtiEtixpieCeeB 00这正是自由粒子的波函数，这正是自由粒子的波函数，E正是粒子的能量正是粒子的能量，p正是粒子的动量。正是粒子的动量。EtiCetT )(16守恒守恒而概率密度而概率密度 随时间的变化率是随时间的变化率是讨论粒子出现在一定的空间区域的概率将讨论粒子出现在一定的空间区域的概率将如何随时间变化。如何随时间变化。则在则在t t 时刻、时刻、附近的单位体积内，粒子附近的单位体积内，粒子出现的概率为：出现的概率为：r设粒子的波函数为设粒子的波函数为 ，),(tr),(),(),(),(2trtrt
12、rtr ),(),(),(),(trttrttrtrt 由薛定谔方程以及它的复数共轭方程由薛定谔方程以及它的复数共轭方程17),(*)(*),(*trrVm2trti22 ),()(1),(2),(2trrVitrmittr ),()(1),(2),(2trrVitrmittr ),()(),(trrVm2trti22 并利用势能的实函数性质，即并利用势能的实函数性质，即 ，可得，可得)()(*rV rV)(222 mit),(),(),(),(trttrttrtrt 代入代入18由矢量分析与场论的数学公式由矢量分析与场论的数学公式fff)(2 *)*(*)*(2 将以上两式化为将以上两式化为
13、 *)*(*2;*)*(*2代入代入)(22m2it可得可得)(2 mit19这就是概率守恒的微分表达式。这就是概率守恒的微分表达式。令令)(),(m2itrj或或)(21),(ppmtrj)(2 mit则得：则得：0 jt 将其对空间任意一个体积将其对空间任意一个体积V V 积分，得积分，得0)(VVdVjdVt 20设设S是包围体积是包围体积V的闭合曲面，的闭合曲面，利用矢量分析与中的奥利用矢量分析与中的奥 高公式，则上式可化为高公式，则上式可化为0 SVSdjdVt SVSdjdVt 进入曲面的概率流进入曲面的概率流是概率流密度是概率流密度)(2),(mitrj单位时间内体积单位时间内体
14、积V中增加的概率等于流进界面中增加的概率等于流进界面的概率的概率概率守恒。概率守恒。即为单位时间内流过单位面积的概率。即为单位时间内流过单位面积的概率。21即，对于一个粒子来说，在全空间中找到它的即，对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率的总和不随时间改变，概率的总和不随时间改变，或波函数的归一化不随时间改变。或波函数的归一化不随时间改变。0)(dVttotal 时时 r0 SSdj如果波函数在无穷远处为零，则有：如果波函数在无穷远处为零，则有：薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，而在非相对论情况下，实物粒子是没有产生和而在非相对论情况下，实物粒子
15、是没有产生和湮没的，所以在随时间演化过程中粒子数目应湮没的，所以在随时间演化过程中粒子数目应该保持不变。该保持不变。223 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子a金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x极极限限U=0EUUU(x)x0a 无限深方势阱无限深方势阱（potential well）一一.一维无限深方形势阱一维无限深方形势阱是实际情况的极端化和简化。是实际情况的极端化和简化。粒子在势阱内受力为零，势能为零。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内在阱内自由运动。自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力受极大的斥力,不能到阱外。不能到阱外。2
16、3oa 2a 24a 2nna a21 32 3a 二二.能量量子化能量量子化粒子在阱外的概率为零粒子在阱外的概率为零由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。壁上的值也必为零。允许的波长为允许的波长为:ahnhpnn2 粒子的动量粒子的动量能量能量.,3,2,1 n粒子被限制在势阱内，动量为粒子被限制在势阱内，动量为 hp 0 222282mahnmpEnn 24可见能量是量子化的。可见能量是量子化的。这是粒子的波动性和必须满这是粒子的波动性和必须满足边界条件的必然结果。足边界条件的必然结果。222282mahnmpEnn ,2 h 222
17、4 h22222manEn 三三.薛定谔方程和波函数薛定谔方程和波函数.,3,2,1 nUU(x)xoa/2-a/2U 1.1.势函数势函数U(x)=0 (|x|a/2)(|x|a/2)252.2.分区求解定态薛定谔方程分区求解定态薛定谔方程 阱内阱内:dxh22m-(x)=E (x)d22阱外：阱外：1(x)=0 ；3(x)=0 xExdxdm 2222阱外阱外:波函数和能量波函数和能量E都不应为无限大都不应为无限大,上式中波函数只能为零。上式中波函数只能为零。)x(mExd)x(d 2222 26通解通解：2(x)=Asin(kx+)A A、：待定常数。待定常数。+k2 (x)=0d2 (
18、x)dx2阱内方程为阱内方程为:由由 应满足的物理条件决定。应满足的物理条件决定。以上的解已自然满足以上的解已自然满足单值，有限单值，有限的条件。的条件。E 0，222kmE 可令可令)x(mExd)x(d 2222 27由由连续连续条件条件：2(-a/2)=1(-a/2)=0 Asink(-a/2)+=0 2(a/2)=3(a/2)=0 Asink(a/2)+=0 有有k(-a/2)+=l1 得得 =(l/2)其中其中 l=l1+l2也为整数或也为整数或0 0。2(x)=Asin(kx+)UU(x)xoa/2-a/2U0)(1 x 0)(3 x k(a/2)+=l2 有有 2(x)=Asin
19、(kx+)2l其中其中l1 和和 l2是整数或是整数或0。28l=0时时，o(x)=Asinkx是奇函数是奇函数(odd)l=1时时，e(x)=Acoskx是偶函数是偶函数(even)l=其他整数值时其他整数值时,所得解与所得解与 o(x)、e(x)形式相同形式相同 l取取0 0 或或1 1时时 2(x)有两种表示：有两种表示：2(x)=Asin(kx+)2l由由 o(a/2)=Asink(a/2)=0有有ka=n，(n=2,4,6,2,4,6,)由由 e(a/2)=Acosk(a/2)=0有有 ka=n ，(n=1，3,5,3,5,)合并有合并有ka=n ，(n=1，2，3，)若若 n=0,
20、则则 k=0,这种这种状态不存在。状态不存在。0)(xo 29k=n/a，(n=1，2，3，)2222 anmEknn 22222manEn n=1,2,3,（量子数）（量子数）能量是量子化的，能量是量子化的，ka=n ，3.能级能级 存在最低能量存在最低能量（零点能（零点能)这是不确定关系要求的。这是不确定关系要求的。022221 maE Ema22212)12(manEEEnnn a 或或 m 很大很大（宏观）（宏观）E 0（E 连续），连续），222kmE 30 o(x)=Asin(n/a)x (n=2,4,6,)e(x)=Acos(n/a)x (n=1,3,5,)波函数的空间部分波函数
21、的空间部分 4.波函数波函数 o(x)=Asinkx e(x)=Acoskx即即ka=n ，n=2,4,6,ka=n ,n=1,3,5,归一化条件：归一化条件：1d|)(|2 xx 2/1)2(aA en(x)=()1/2cos()x2an a on(x)=()1/2sin()x2an an=2,4,6,n=1,3,5,31考虑到考虑到振动因子振动因子tEine)(),(xtxnn tEine（驻波解）（驻波解）概率密度：概率密度：22|)(|),(|xtxnn 它所描写的它所描写的粒子的状态称作粒子的粒子的状态称作粒子的能量本征态能量本征态(Energy eigenstate)称为称为能量本
22、征能量本征波波函数函数，),(txn 32一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 x4 x3 x2 x1)(x o4E3E2E1E-a/2a/2 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 n-a/2a/2oa21 2a 323a 24a 33 n时，时，量子量子经典经典玻尔对应原理玻尔对应原理|2n|-a/2a/2n很大很大En0344.势垒和隧道效应势垒和隧道效应(Potential barrier and tunnel effect)2 21 1透射透射?反射反射入射入射1.1.势函数势函数 U(x)=U0，(x 0)(x 0)0
23、,入射能量入射能量 E E 0I 区：区：一一.粒子进入势垒粒子进入势垒令令222mEk 35有有0,0)()(12212 xxkdxxd 0),()()(22202222 xxExUdxxdm h2+(E-U0)2(x)=0,x 0d 2 2(x)dx22mII 区：区：0,0)()(22222 xxdxxd 有有)(2022EUm )(210EUm h令令22m(E-U0)=-2,)0(2 363.3.通解通解 1(x)=Aeikx+Be-ikx 2(x)=Ce-x+De x当当x 时时，2(x)应有限应有限，得得 D D=0=0，于是于是:(波动型解波动型解)2(x)=Ce-x(指数型解
24、指数型解)1(x)=Aeikx+Be-ikx 入射波入射波 反射波反射波EU02 2透射透射1 1入射入射+反射反射x区区区区0 xEUmeC)(210 )(210EUm 222mEk 37 4.4.概率密度概率密度 (x 0 区区)xEUmex)(22220|)(|可见可见 x 0区区(E U0)粒子出现的概率粒子出现的概率 0 0U0、x 概率概率 经典：电子不能进入经典：电子不能进入E E 02.怎样理解粒子通过势垒区怎样理解粒子通过势垒区?E0aU0 x41三三.隧道效应的应用隧道效应的应用隧道二极管，金属场致发射，核的隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，衰变，1.核的核的 衰变衰变
25、U Th+He2382344MeVE25.4 是通过是通过 隧道效应出来的隧道效应出来的对不同的核算出的衰变对不同的核算出的衰变概率和实验一致。概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV 0422.扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy）STM是一项技术上的重大发明，是一项技术上的重大发明，用于观察用于观察表面的微观结构表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。（不接触、不破坏样品）。原理：原理：利用量子力学的隧道效应利用量子力学的隧道效应1986年诺贝年诺贝 尔物理学奖尔物理学奖获得者：获得者：鲁斯卡鲁斯卡（E.Ruska）1932
26、发明电发明电 子显微镜子显微镜毕宁毕宁（G.Binning）罗尔罗尔（Rohrer）发明发明STM43U0U0U0ABdE电子云重叠电子云重叠隧道电流隧道电流iABUd探针探针样品样品dAUei A常量常量 样品表面平均势样品表面平均势 垒高度（垒高度（eV）d 10A。d变变 i变，变，反映表面情况。反映表面情况。44竖直分辨本领可达约十分之几竖直分辨本领可达约十分之几 A；。横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关，在真空中可达有关，在真空中可达1 A。技术关键：技术关键：1.消震：消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。2.探针尖
27、加工：探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污，电化学腐蚀，强电场去污，针尖只有针尖只有12个原子！个原子！3.驱动和到位：驱动和到位：利用压电效应的逆效应利用压电效应的逆效应 电致伸缩，一步一步扫描。电致伸缩，一步一步扫描。4.反馈：反馈：保持保持 I 不变不变 d 不变不变(不撞坏针尖不撞坏针尖)。扫描一步扫描一步0.4A，扫描扫描1 ，用，用0.7s。2 d 变变 1 A i 变几十倍，非常灵敏。变几十倍，非常灵敏。45隧道隧道电流电流反馈传反馈传感器感器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图46某种型号的扫描隧道显微镜某种型号的扫描隧
28、道显微镜47神经细胞的神经细胞的STM扫描图扫描图 硅表面的硅表面的STM扫描图扫描图481991年年 恩格勒等用恩格勒等用STM在镍单晶表面遂个移在镍单晶表面遂个移动氙原子拚成了字母动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长每个字母长5纳米，纳米，49“量子围栏扫描隧道显微术的又一杰作量子围栏扫描隧道显微术的又一杰作”物理物理 1994.10,p.5825051 谐振子不仅是经典物理的重要模型，谐振子不仅是经典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型。而且也是量子物理的重要模型。如：如：黑体辐射、黑体辐射、场量子化。场量子化。若选取线性谐振子的平衡位置为坐标原点，若选取线性谐振子的平衡位置为坐标
29、原点，并以坐标原点为零势能点，并以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能可以表示为：则一维线性谐振子的势能可以表示为：mK m是粒子的质量，是粒子的质量，K是是谐振子的劲度系数。谐振子的劲度系数。是谐振子是谐振子的角频率。的角频率。5 一维谐振子一维谐振子2222121)(xmkxxU 52薛定谔方程：薛定谔方程：02222 )x(UEmxdd021222222 xmEmxdd解得：解得：hnnEn)21()21(n=0,1,2,，hE210 hE231 hE252)()()(xExxUdxdm 222253，22212/1)()!2()(xnnnexHnx 波函数：波函数：Hn是是厄密厄
30、密（Hermite）多项式，多项式，最高阶是最高阶是 ，nx)(m 22212/10)()(xex 22212/11)(2)2()(xexx 222122/12)(42)8()(xexx 54线性谐振子波函数线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子位置概率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx5521111nx线性谐振子线性谐振子 n=11 时的概率密度分布时的概率密度分布虚线是经典结果。虚线是经典结果。经典谐振子在原点速度最大，停留时间短，经典谐振子在原点速度最大，停留时间短，粒子出现的概率小；粒子出现的概率小；在两端速度为零，出现的概率最大。在两端速度为零，出现
31、的概率最大。56xn很大很大EnE1E2E00U(x)21 2n 22 20 能量特点：能量特点：(1)量子化，等间距量子化，等间距:hE 室温下分子振动室温下分子振动kTE 符合不确定关系。符合不确定关系。(3)有选择定则：有选择定则：1 n概率分布：概率分布：E U 区有区有隧道效应。隧道效应。(2)有零点能：有零点能：，210 hE 57与经典谐振子的比较：与经典谐振子的比较：1基态位置概率分布基态位置概率分布 量子：量子：在在x=0处概率最大处概率最大22200 xexxW )()(n2当当 时时经典：经典：在在x=0处粒子的速度最大，概率最小。处粒子的速度最大，概率最小。符合符合玻尔对应原理。玻尔对应原理。量子概率分布量子概率分布经典概率分布经典概率分布能量量子化能量量子化能量取连续值能量取连续值200nx21111nx(宏观振子能量相应宏观振子能量相应n 1025，E 10-33J）
