1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示feixuejiaoyufeixuejiaoyu 由平面向量的坐标运算，推广到空由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算间向量运算.向量向量 a a 在平面上可用有序实数对（在平面上可用有序实数对（x,yx,y）表示，在空间则用有序实数组表示，在空间则用有序实数组x,y,zx,y,z表示表示.feixuejiaoyufeixuejiaoyu1212(,),(,)aa abb b 设设则则;ab;ab;a;a b1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)aa1 122a ba b;a a a2212aafeixuejiaoyufeixuejiao
2、yu/;abab()abR1122,()ab abR0a b1 1220a ba bcos,;a ba ba b1 12222221212a ba baabb空间向量运算的坐标空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢表示又是怎样的呢?类比是我们探究规律的重要方法类比是我们探究规律的重要方法feixuejiaoyufeixuejiaoyu1.1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单 几何体的顶点坐标几何体的顶点坐标.2 2掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个 向量的共线或垂直向量的共线或垂直.（重点）（重点）3 3掌握空间
3、向量的模、夹角公式和两点间距离掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离 公式，并能运用这些知识解决一些相关问题公式，并能运用这些知识解决一些相关问题 （难点）（难点）feixuejiaoyufeixuejiaoyu123123(,),(,)aa a abb b b设则;ab;ab;a;a b/;ab.ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b探究点探究点1 1 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示feixuejiaoyu
4、feixuejiaoyu2222123|.aa aaaa2222123|.bb bbbb1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度的长度.探究点探究点2 2 距离与夹角距离与夹角设设 =(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3).).bafeixuejiaoyufeixuejiaoyuAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在
5、空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式|ABAB ABfeixuejiaoyufeixuejiaoyucos,|a ba bab1 1223 3222222123123.a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1 1）当）当 时，同向时，同向.（2 2）当）当 时，反向时，反向.（3 3）当）当 时，时，.cos,1 a bab与 cos,1 a bab与 cos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什
6、么范围内？0cos,1 a b1cos,0 a bfeixuejiaoyufeixuejiaoyu 已已知知 a a=(2 2,-3 3,5 5),b b=(-3 3,1 1,-4 4),求求a a+b b,a a-b b,|a a|,8 8a a,例例 a a.b b1 1a a-b b=(2 2,-3 3,5 5)-(-3 3,1 1,-4 4)=(5 5,-4 4,9 9),a a+b b=(2 2,-3 3,5 5)+(-3 3,1 1,-4 4)=(-1 1,-2 2解解：,1 1),2 22 22 2|a a|=2 2+(-3 3)+5 5=3 38 88 8a a=8 8(2 2
7、,-3 3,5 5)=(1 16 6,-2 24 4,4 40 0),a a b b=(2 2,-3 3,5 5)(-3 3,1 1,-4 4)=2 2(-3 3)+(-3 3)1 1+5 5 (-4 4)=-2 29 9.feixuejiaoyufeixuejiaoyuF1E1C1B1A1D1DABCD D1 1yzx解：解：设正方体的棱长为设正方体的棱长为1 1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Dxyz13(1,1,0),(1,1),4BE11(0,0,0),(0,1).4DF，131(1,1)(1,1,0)(0,1),44BE 例例2 2如图如图,在正方体在正方体
8、中，中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF111(0,1)(0,0,0)(0,1).44DF ，feixuejiaoyufeixuejiaoyu1111150 0()1 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 所所以以111111151516cos,.17|171744BE DFBEDFBEDF feixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyu.3.3.三三点点A 1,5,-2,B 2,4,1
9、,C p,3,qA 1,5,-2,B 2,4,1,C p,3,q 共共线线，则则p=,q=p=,q=3 34 4z.1.1.与与a=2,-1,2a=2,-1,2 共共线线,且且满满足足 a=-18 a=-18的的z=z=.2.A 1,2,1,B-1,3,4,AP=2PB,2.A 1,2,1,B-1,3,4,AP=2PB,则则OP=OP=1 8(,3)3 34,2,4feixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyu7 7、如图，在棱长为、如图，在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E
10、 E，F F，G G分别是分别是DDDD1 1，BDBD，BBBB1 1的中点的中点(1)(1)求证：求证：EFEFCFCF.(2)(2)求求CECE的长的长feixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyu22210(1)()2 feixuejiaoyufeixuejiaoyu1.1.基本知识：基本知识：（1 1）向量的长度公式与两点间的距离公式）向量的长度公式与两点间的距离公式.（2 2）两个向量的夹角公式）两个向量的夹角公式.2.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
11、时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明证明.feixuejiaoyufeixuejiaoyu平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示123123123123设设a=(a,a,a),b=(b,b,b)a=(a,a,a),b=(b,b,b)则则1122331 1223 3123(,);(,),().ab ab aba ba ba baaaaba baR12121212设设a=(a,a),b=(b,b)a=(a,a),b=(b,b)则则11221 12212(,);(,),().ab abaa baaaba bbaRfeixuejiaoyufeixuejiaoyu 拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力.feixuejiaoyufeixuejiaoyu
