1、第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.1 平稳性与联合平稳性3.2 平稳信号的相关函数3.3 随机信号的各态历经性第三章第三章 随机信号的平稳性与各随机信号的平稳性与各态历经性态历经性第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.1.1 严平稳与宽平稳随机信号严平稳与宽平稳随机信号1.严平稳随机信号严平稳随机信号1）定义 若随机信号X(t)的任意n维分布不随时间起点的不同而变化，即取样点在时间轴上平移了任意t后，其n维概率分布保持不变。公式表式为3.1 平稳性与联合平稳性平稳性与联合平稳性第三章 随机信号的平稳性与各态历经性FX(x1,x2,xn;t1+t,t2+t,tn+t)=FX(x1,x2,
2、xn;t1,t2,tn)（3-1）或者fX(x1,x2,xn;t1+t,t2+t,tn+t)=fX(x1,x2,xn;t1,t2,tn)(3-2)第三章 随机信号的平稳性与各态历经性严平稳的意义在于统计特性与时间起点无关，在任意时刻对平稳信号的测试都可以得到相同结果，这种分析简化具有重要的实际意义。对严平稳随机信号无论从什么时间开始测量n个状态，得到的统计特性是一样的，即X(t1),X(t2),X(tn)与X(t1+t),X(t2+t),X(tn+t)具有相同的分布与统计特性，见图3-1。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性图3-1 平稳随机信号第三章 随机信号的平稳性与各态历经性2）性质 性
3、质性质1 若X(t)是严平稳随机信号，则它的一维概率密度和一维数字特征与时间t无关。任取t=t1，则公式（3-2）变为fX(x1;t1)=fX(x1;t1+t)=fX(x1;0)=fX(x1)(3-3)图3-2表明严平稳随机信号X(t)的一维概率密度与时间t无关，具有时移不变性。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性图3-2 一维密度函数平稳性示例第三章 随机信号的平稳性与各态历经性严平稳随机信号的一维数字特征如下：均值(见图3-3)(3-4)均方值(3-5)方差(3-6);ddXXXE X txfx txxfxxm 2222;ddXXXE Xtx fx txx fxx 222t;ddXXXXX
4、D Xxmfx txxmfxx第三章 随机信号的平稳性与各态历经性图3-3 平稳随机信号均值示例第三章 随机信号的平稳性与各态历经性式（3-4）式（3-6）表明：严平稳随机信号的一维数字特征都是与时间t无关的常数。性质性质2 严平稳随机信号X(t)的二维概率密度和二维数字特征只与t1,t2的时间间隔=t2t1有关，而与时间起点无关。令t=t1，且=t2t1，则式（3-2）变为fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,x2;t1+t,t2+t)=fX(x1,x2;0,t2t1)=fX(x1,x2;)(3-7)第三章 随机信号的平稳性与各态历经性严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下：自相关函
5、数（见图3-4）(3-8)121212121212121212,;,d d ,;d dXXXXRt tE X tX tx x fx x t tx xx x fx xx xR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性图3-4 自相关函数平稳性示例第三章 随机信号的平稳性与各态历经性同理，自协方差函数CX(t1,t2)=CX()=RX()m2X(3-9)当t1=t2=t即=0时，有CX(0)=2X=RX(0)m2X(3-10)第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.1 设有随机信号X(t)=Acost，其中A是均值为零、方差为2A的高斯随机变量，试问随机信号X(t)是否严格平稳？解解 当t=12时
6、，X(t)=0，它与t=0时的分布不同，则X(t)不是严格平稳的。事实上，工程中很难用到严格平稳随机信号，因为其定义实在太“严格”了。要确定随机信号的无穷多维分布函数的时移不变性通常是十分困难的，几乎不可能实现。实际应用中讨论的各种随机信号，通常只研究其一、二阶矩（均值、均方值和相关函数）的特性。因此，接下来研究随机信号一、二阶矩特性的平稳性，也就是下面讨论的广义平稳性。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.1.2 广义平稳的判定与意义广义平稳的判定与意义1.定义定义若随机信号X(t)的数学期望为常数，其自相关函数只与时间间隔=t2t1有关，且均方值有限，即满足下面三个条件(3-11)则称X
7、(t)为宽平稳随机信号，也称为广义平稳随机信号或弱平稳随机信号。1212212,XXXE X tmRt tE X tX tRttE Xt 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性2.宽平稳与严平稳的关系宽平稳与严平稳的关系从上面讨论可知，宽平稳随机信号只涉及与一、二维概率密度有关的一、二阶矩函数，它只是严格平稳性条件放宽要求时的一个特例。显然，严格平稳信号在均值和相关函数存在的条件下一定是广义的，而广义平稳不一定是严格的。但对高斯随机信号而言，宽平稳与严平稳等价，原因在于高斯信号的概率密度可由均值和自相关函数完全确定。严平稳和宽平稳之间的关系可用下式表示：(3-12)若其均值和相关函数存在不一定是
8、严格平稳广义平稳随机信号随机信号第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.平稳随机信号的重要性平稳随机信号的重要性（1）平稳性是随机信号的统计特性对参量(组)的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响。若平稳随机信号代表电压或电流，那么其均值和相关函数给定后，可以直接或间接得到信号的直流分量、交流分量、总平均功率、信号功率沿频率的分布以及信号各时刻上取值的相关程度等重要参数，这些参数可以解决工程上的大量问题。（2）实际应用与研究最多的平稳信号是宽平稳信号，严平稳性因为条件要求太苛刻，更多地只用于理论研究中。在实际信号产生、传输和处理过程中，大多数的信号都是广义平稳随机信号，这有助于解决
9、实际的工程问题。因此，以后在没有特殊声明的条件下，我们所讲的平稳指的都是广义平稳，而非严平稳。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性（3）在实际工程中，如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间改变，那么通常可以认为此信号是平稳的，或者当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们通常对其进行10 ms30 ms的分帧后，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.2 设随机信号X(t)=acos(0t+)，式中a，0都为常数，随机变量服从(0,2)上的均匀分布，试判断X(t)是否为平稳随机信号，并给出理由
10、。解解 由题意可知，随机变量的概率密度为 10220f其他第三章 随机信号的平稳性与各态历经性根据定义式可求得信号X(t)的均值、自相关函数和均方值分别为 220001dcosd02XXmtE X txfatm 1200200022200000,coscoscoscos 2221coscos 22cos222XXXRt tRt tE X t X tE atataEtaatdR 22,02XXaE XtRt tR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.3 设随机信号X(t)=tX，其中X服从均值为零、方差为1的标准高斯分布，试判断其平稳性。解解EX(t)=EtX=tEX=0RX(t1,t2
11、)=EX(t1)X(t2)=t1t2EX2=t1t2由于相关函数与t1和t2的取值有关，所以X(t)不是平稳的。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.4 判断随机信号X(t)=Acos(t+)是否平稳，其中A,是相互统计独立的随机变量，且在,上均匀分布。解解 因为EX(t)=EAcos(t+)=EAEcos(t+)=0=mX又由于X(t)的平均功率有限，可以确定此随机信号X(t)是平稳的。22,+=+=cos+cos+1 =cos 2+2+cos21 =cos=2XXRt tE X t X tE AtAtE AEtEE AR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.5 证明由不相关的
12、两个任意分布的随机变量A、B构成的随机信号X(t)=Acos0t+Bsin0t是宽平稳随机信号。式中，0为常数，A、B的数学期望为零，方差2相同。证明证明 由题意知：2=0=0E AE BD AD BE ABE A E B 0000=cos+sin =cos+sin=0=XE X tE At BttE AtE Bm第三章 随机信号的平稳性与各态历经性 00002000020000,+=+=cos+sincos+sin+=coscos+cossin+sincos+sinsin+XRt tE X t X tEAt BtAtBtE AttE ABttE BAttE Btt 2000020 =cosc
13、os+sinsin+=cos=XttttR 22=0=0时，就认为X(t+)与X(t)是不相关的。一般用图3-8中高为X(0)=1、底为0的矩形面积等于高为X()、底为的正轴的矩形面积来定义0，即(3-41)工程上也常用下式来定义相关时间0:|X(0)|0.05 (3-42)00dX第三章 随机信号的平稳性与各态历经性图3-8 相关系数的两种定义第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.11 已知随机信号X(t)和Y(t)的协方差函数分别为（1）比较两个信号的变化快慢；（2）比较当=/时两个信号的相关程度。21e4sinXYCC第三章 随机信号的平稳性与各态历经性解解 （1）根据随机信号X（
14、t）可以求得 2222000104e1ded2XXXXXXXCC第三章 随机信号的平稳性与各态历经性同样，根据随机信号Y（t）可以求得 2200001sinsindd2YYYYYYYCC第三章 随机信号的平稳性与各态历经性（2）当=/时，有可见，此时信号X(t)是相关的，而信号Y(t)是不相关的。22eesin0XY第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.3.1 统计平均与时间平均统计平均与时间平均1.统计平均统计平均前面讨论随机信号的数字特征及矩函数所用的平均都是统计平均，这些矩函数都是平均统计参量。这种对集合中所有样本函数在同一（或同一些）时刻的取值采用统计平均方法求其平均，称为统计平均或
15、集平均，记为E。例如，对于平稳随机信号X(t)，其统计平均均值为(3-43)3.3 随机信号的各态历经性随机信号的各态历经性 dXXE X txfxxm第三章 随机信号的平稳性与各态历经性其统计平均自相关函数为(3-44)12121212,;d dXXXRt tx x fx xx xR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性2.时间平均时间平均前面已经指出，随机信号X(t)是一簇时间函数的集合，此集合中的每个样本都是时间的确定函数，对集合中的某个特定样本在各个时刻的值，用一般数学方法求其平均，称为时间平均，记为或者A。根据此定义，某一个样本函数xi(t)的时间平均均值为(3-45)而样本函数xi
16、(t)的时间平均自相关函数为(3-46)1limd2TiiTTx tx ttT 1limd2TiiiiTTx t x tx t x ttT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.12 设xi(t)=acos(0t+i)是例3.2所示随机初相信号X(t)=acos(0t+)的任一样本函数，试求xi(t)的时间平均的均值和自相关函数，并与例3.2所得结果作比较。解解 00001limcosd2coscossin limcosdlim02TiiTTTiiTTTx tattTaaTt tTT 200022001limd21 limcoscosd2 limcosdcos42TiiiiTTTiiTTT
17、TTx t x tx t x ttTatttTaatT 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性与例3.2所得结果比较，有如下关系式可见，对于这种随机初相信号，其任一样本函数的时间平均都等于集合的统计平均，所以允许用简单的时间平均代替复杂的统计平均。各态历经性有多种类型。一般情况下，随机信号的各态历经性总是针对其某种统计特性而言的，是指这种统计特性的“统计平均依概率等于相应的时间平均”。因此，统计特性不同，各态历经性也不同。各态历经性的分类如表3-1所示。iiiE X tx tE X t X tXt Xt第三章 随机信号的平稳性与各态历经性表表3-1 各态历经性分类各态历经性分类第三章 随机信号的
18、平稳性与各态历经性3.3.2 均值各态历经性均值各态历经性1.均值各态历经性的定义均值各态历经性的定义对于二阶平稳随机信号X(t)，若存在(3-47)随机信号的时间平均均值定义为(3-48)且以概率1成立，则称随机信号X(t)具有各态历经性。图3-9给出了可能具有均值各态历经的随机信号和不具有均值各态历经的随机信号示意图。XX tE X tm 1limd2TTTX tX ttT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性图3-9 两类典型的随机信号第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.13 设随机信号Z(t)=X(t)+Y，其中X(t)是均值各态历经信号，Y是与X(t)相互独立的随机变量。试讨论
19、信号Z(t)的均值各态历经性。解解 根据已知有EZ(t)=EX(t)+Y=mX+mY为常数。同时，可求得 因为YEY=mY，所以，故Z(t)为非均值各态历经。XZ tX tYmY Z tE Z t第三章 随机信号的平稳性与各态历经性2.判定均值各态历经性的定理判定均值各态历经性的定理若随机信号X(t)广义平稳，协方差函数为CX()，则它的均值各态历经性的判定条件如下：（1）充分条件：且（3-49）（2）充要条件：（3-50）（3）充要条件：(3-51)lim0XC 0XC 1lim()d02TXTTCT221lim1()d022TXTTCTT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.14 设
20、随机信号X(t)=Acos(t+)，式中A,为统计独立的随机变量，且A的均值为2，方差为4；在5,5上均匀分布；在,上均匀分布。问：X(t)是否广义平稳？是否均值各态历经？解解 X(t)的均值为 cos coscossinsin2 00E X tE AtE A Ett 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性X(t)的自相关函数为因为EX2(t)=RX(0)=4，所以X(t)是广义平稳的。22,coscos1 coscos 222 4cos XXRt tE X t X tE AttE AEtER 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性由于根据 551sin54cos4cosd4105XRE 2sin
21、545XXXXCRmR第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.3.3 相关函数各态历经性相关函数各态历经性1.相关函数各态历经性定义相关函数各态历经性定义对于二阶平稳随机信号X(t)，若(3-52)以概率1成立，则称随机信号X(t)的自相关函数具有各态历经性。上式的时间平均自相关函数定义为(3-53)XXRX t X tE X t X tR 1limd2TXTTRX t X tX t X ttT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.15 设通信系统中的随机信号X(t)=S(t)cos(0t+)，其中S(t)为平稳随机信号且具有自相关函数各态历经性，0为常数，为在,上均匀分布的随机变量且与
22、S(t)统计独立，试讨论随机信号X(t)的自相关函数是否具有各态历经性。解解 X(t)的统计平均自相关函数为第三章 随机信号的平稳性与各态历经性 0000000000,coscos coscos1 coscos 2221 cos2XSSSRt tE X t X tE S t S tttREttREtR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性X(t)的时间平均自相关函数为 0000000000 coscos coscos1 coscos 2221 cos2XSSRX t X tS t S tttS t S tttRtR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性由以上可得：2.判断相关函数各态历经性的定
23、理判断相关函数各态历经性的定理若随机信号X(t)广义平稳，自相关函数为RX()，则它为各态历经性的充要条件是 (3-54)E X t X tX t X t2201lim1()()d02TZXTuRuRuTT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性可以证明，若X(t)是零均值高斯信号，则它为各态历经性的充要条件是 (3-55)0()dXR 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.3.4 随机信号的广义各态历经性随机信号的广义各态历经性1.广义各态历经性广义各态历经性若随机信号X(t)是广义平稳的，且X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)是广义各态历经性信号。由定义可见，广义各态历经
24、信号必然是广义平稳信号，而广义平稳信号不一定为各态历经信号。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性一般情况下，随机信号的统计平均为时间t的函数，自相关函数为时间起点t与间隔的二维函数；时间平均均值是随机变量，时间平均自相关函数为随机信号，因此，时间平均均值和时间平均自相关函数无法代表整个随机信号的统计特性。平稳随机信号的数学期望为常数，自相关函数为时间间隔的一维函数；因为每个样本的时间均值都为常数，所以样本集合的时间平均均值为随机变量，时间平均自相关函数为随机信号。进一步地有，各态历经性的随机信号时间平均均值为常数，时间平均自相关函数为时间的确定函数。表3-2总结了各种随机信号的统计特性。第三章
25、 随机信号的平稳性与各态历经性表表3-2 各种随机信号的统计特性各种随机信号的统计特性第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.16 讨论随机相位信号X(t)=acos(0t+)的各态历经性。其中a,0为常数，是在0,2上均匀分布的随机变量。解解 由例3.2知，X(t)是平稳随机信号，且满足mX=EX(t)=0 20cos2XaRE X t X t 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性如果其均值和自相关函数满足式（3-47）和式（3-52），则X(t)是广义各态历经信号。X(t)的时间平均均值为X(t)的时间平均自相关函数为 00011limdlimcosd22 limsin0TTTTTTT
26、X tX ttattTTaTT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性可见，随机信号X(t)的时间平均均值和自相关函数满足 200cos2XE X tX taRX t X t 2000201limd21 limcoscosd2 =cos2TTTTTTX t X tX t X ttTatttTa 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性2.联合广义各态历经性联合广义各态历经性若随机信号X(t)和Y(t)均为广义各态历经信号，且它们的时间平均互相关函数等于统计平均互相关函数，即有(3-56),1 limd2 XYTTTXYRt tX t Y tX t Y ttTE X t Y tR第三章 随机信号的平稳性
27、与各态历经性或者(3-57)1 limd2 YXTTTYXRY t X tY t X ttTE Y t X tR第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.17 随机信号X(t)和Y(t)是联合广义各态历经的，试分析Z(t)=aX(t)+bY(t)的广义各态历经性，其中a与b是常数。解解 X(t)和Y(t)分别为广义各态历经的，且为联合广义平稳。Z(t)的统计平均均值和自相关函数为EZ(t)=EaX(t)+bY(t)=aEX(t)+bEY(t)=amX+bmY为常数。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性 2222 XYXYE Z t Z tEaX tbY taX tbY ta E X t X
28、tb E Y t Y tabE X t Y tbaE Y t X ta Rb RabR YXbaR则Z(t)为广义平稳的。第三章 随机信号的平稳性与各态历经性 Z(t)的时间平均均值和自相关函数为 XYZ taX tbY taX tbY taE X tbE Y tambm第三章 随机信号的平稳性与各态历经性为常数，则Z(t)为均值各态历经的。2222 XYXYYXZ t Z taX tbY taX tbY ta X t X tb Y t Y tabX t Y tbaY t X ta Rb RabRbaR第三章 随机信号的平稳性与各态历经性3.3.5 意义及应用意义及应用1.随机信号各态历经性的
29、实际意义随机信号各态历经性的实际意义一般随机信号，其时间平均是随机变量。对各态历经性信号而言，其时间平均等于其统计平均，是一个非随机的确定量。各态历经性随机信号中各样本函数的时间平均都等于随机信号的统计平均。这样，对于各态历经性随机信号X(t)，可以直接用它的一个样本函数x(t)的时间平均来代替对整个随机信号统计平均的研究，故有(3-58)(3-59)1lim()d2TTTE X tx ttT1()lim()d2TXTTRx t x ttT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性2.各态历经性信号数字特征的工程应用各态历经性信号数字特征的工程应用在电子技术中，代表噪声电压（或电流）的各态历经性随机
30、信号X(t)，其数字特征的物理意义如下：（1）为信号直流分量幅度；m2X为信号消耗在1 电阻上的直流功率。其中(3-60)（2）2X为信号消耗在1 电阻上的交流平均功率，其中(3-61)X t 1limd2TXTTX tX ttEX tmT 221lim()d2TXXTTD X tX tmtT第三章 随机信号的平稳性与各态历经性（3）EX2(t)为信号消耗在1 电阻上的总平均功率，其中(3-62)221()lim()d(0)2TXTTE XtXttRT 第三章 随机信号的平稳性与各态历经性例例3.18 调幅信号X(t)=A0+m(t)cos0t，其中A0,0为常数，m(t)为交流信号，且X(t),m(t)为广义各态历经信号，试求该调幅信号X(t)的直流分量以及总平均功率。解解 m(t)为交流信号且各态历经，则。因为X(t)具有各态历经性，所以X(t)的直流分量为 0m t 00000coscoscos0X tAm ttAtm tt第三章 随机信号的平稳性与各态历经性X(t)的总平均功率为 22002222200000220cos coscos2cos 22XPAm ttAtmttm t AtmtA
