1、 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 湘湘赣赣皖皖长长郡郡十十五五校校 考考试试时时间间 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题 一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的. 1.已知集合 2 1 |Ax x=， A.0|x x ），曲线yf x= （ ）与直线1y =相交，若存在相邻 两个交点间的距离为 3 ，则可取到的最大值为 . 15.过2 0M （， ）且斜率为 2 3 的直线l交抛物线() 2 :20C ypx p=于 A，B 两点，F 为 C 的 焦点，若MFB 的面积等于MFA 的面积的 2 倍，则 p 的值为 . 16.若点 N 为点 M 在平面 a 上的正投
2、影， 则记()NfM =.如图， 在棱长为 1 的正方体 ABCD 一 1111 ABC D:中，记平面 11 AB D为，平面 ABCD 为，点 P 是线段 1 CC上一动点, ( ) 1 Qffp = ，( ) 2 Qffp = .给出下列四个结论： 2 Q为 11 AB D的重心； 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 5 页 共 9 页 12 QQBD; 当 4 5 CP =时， 1 PQ平面; 当 三 棱 锥 11 DAPB的 体 积 最 大 时 ， 三 棱 11 DAPB外接球的表面积为2. 其中，所有正确结论的序号是 . 三三、解解答答题题：共共 70 分分.解解答答
3、应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.第第 1721 题题为为必必考考题题， 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答.第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答. （一一）必必考考题题：共共 60 分分. 17.（本小题满分 12 分） 记数列 n a的前 n 项和为 n S，且 2n， n a，2 nn Sa成等差数列( ) nN . （1）证明：数列1 n a +是等比数列，并求 n a的通项公式； （2）记 1 1 n n nn a b a a + + =，数列 n b的前 n 项和为 n T，求 n T. 18.（本小题
4、满分 12 分） 如图，平面四边形 ABCD 中，BCAD，ADC=90，ABC=120，E 是 AD 上的一点， AB=BC=2DE，F 是 EC 的中点，以 EC 为折痕把DEC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且 PC BF. 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 6 页 共 9 页 （1）证明：平面 PEC平面 ABCE； （2）求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 1 62 xy +=，过 Q（4，0）的直线l与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且与 y 轴 相交于 P 点. （1）若 3 2 PAAQ=
5、? ? ，求直线l的方程； （2）设 A 关于x轴的对称点为 C，证明：直线 BC 过x轴上的定点. 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 7 页 共 9 页 20.（本小题满分 12 分） 某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两 个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装. 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定 期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一 级滤芯每个 160 元，二级滤芯每个 80 元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每 个
6、400 元，二级滤芯每个 200 元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考 了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表， 其中表 1 是根 据 100 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表， 图 2 是根据 200 个二级过滤器更换 的滤芯个数制成的条形图. 以 100 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率， 以 200 个二 级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率. （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 16 的概率； 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C
7、第 8 页 共 9 页 （2）记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求 X 的分布列及数 学期望； （3）记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若 m+n=19，且98m，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值 为决策依据，试确定 m，n 的值. 21.（本小题满分 12 分） 函数() 1(lnf xaxx=+），( )sing xx=，且0(f x ）恒成立. （1）求实数 a 的集合 M； （2） 当aM时， 判断(f x）图象与g x（ ）图象的交点个数， 并证明. （参考数据：ln20.69， 1 2
8、 1.77e 7） 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 9 页 共 9 页 （二二）选选考考题题：共共 10 分分.请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答.若若多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题 计计分分. 22.（本本小小题题满满分分 10 分分）选选修修 4-4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程 在平面直角坐标系xOy中， 曲线 C 的参数方程为() 1cos , 1 sin xt t yt = + = + 为参数， 以坐标原点O为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0 2 = ，直线 l交曲线 C 于 A，B 两点，P 为 AB 中点. （1）求曲线 C 的直角坐标方程和点 P 的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）若3AB OP =i，求的值. 23.（本本小小题题满满分分 10 分分）选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲 已知( ) 1 25 2 f xxx=+. （1）求不等式1(f x ）的解集； （2）记( )fx的最小值为 m，且正实数 a，b 满足 44 ab ambbma +=+ . 证明：2ab+.
