1、)/()()()()()/()2(ABPAPABPAPABPABP 条件概率方法：条件概率方法：)/()/()/()()()3(12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP限限个个事事件件的的情情形形乘乘法法公公式式容容易易推推广广到到有有全概都用了全概都用了责任推断贝叶斯，乘法责任推断贝叶斯，乘法步骤要全了，步骤要全了，全概两步要走好，第一全概两步要走好，第一变成条件了。变成条件了。串并系统要可靠，拆桥串并系统要可靠，拆桥独立莫忘了。独立莫忘了。积概率等概率积，对立积概率等概率积，对立区间次数求和了。区间次数求和了。次对立算，次对立算，至少至少次了，次了，项项次独立实验
2、好，二项通次独立实验好，二项通1kn也独立也独立BABABA,第十六讲第十六讲 内容总结内容总结 件且两两互斥件且两两互斥包含了第一步的全部事包含了第一步的全部事一般情况下，一般情况下，全概率公式：全概率公式：nnnBBBBAPBPBAPBPBAPBPAP 212211/)(/)(/)()()4()()()(1)()()()()(,)5(2121212121nnnnnAPAPAPAAAPAPAPAPAAAPAAA 独独立立，则则独独立立事事件件公公式式：若若事事件件次的概率为：次的概率为：恰发生恰发生次试验中事件次试验中事件，则在，则在为为发生的概率发生的概率次试验事件次试验事件次独立试验序列
3、中，每次独立试验序列中，每在在伯努利概型伯努利概型mAnppAn)10()6(pqqpCmPmnmmnn 1)(其其中中 nmmnmmnqpCqp01,1第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题1)/(,85.0)/(,93.0)(,92.0)(BAPABPBPAP试求试求已知已知 ;)(1)()()()()/(),()()(BPABPAPBPBAPBAPBAPABPAP 分析：分析：862.0)(),(93.008.085.0)(1)()()()()/(85.0)()()(ABPABPAPABPBPAPABPABPABPBAPBP由已知由已知解：解：;988.093.01862.092.0)(
4、1)()()()()/(),()()(又又BPABPAPBPBAPBAPBAPABPAP第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题2的的概概率率。发发生生不不发发生生的的概概率率相相等等，求求发发生生且且不不发发生生的的概概率率与与发发生生，都都不不发发生生的的概概率率为为与与独独立立，与与设设事事件件AABBABABA91)()(21)()()()(1)()()(1)(1)()(912_APAPBPAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAP 由由)()()()()()()()(),()(BPABPBAPBAPABPBAPABPAPBAPBAP解解 .32)(,1)(0,02)(34)(3 AP
5、APAPAP第十六讲第十六讲 内容总结内容总结二、随机变量及其概率分布二、随机变量及其概率分布述几点：述几点：同时，还需重点掌握下同时，还需重点掌握下质，质，分布与密度的定义和性分布与密度的定义和性性质，连续型随机变量性质，连续型随机变量义、义、散变量的概率函数的定散变量的概率函数的定首先需要理解并记住离首先需要理解并记住离 babaIiiIiipxXPbxaP,)()(1：）离离散散变变量量的的区区间间概概率率（了了，泊松近似伯努里，正数泊松近似伯努里，正数了；了；比率变比率变二项近似超几何，次品二项近似超几何，次品通项记牢了；通项记牢了；几何二项泊松好，级数几何二项泊松好，级数，非负求和规
6、范了；，非负求和规范了；概括：离散概率函数好概括：离散概率函数好npp 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结密密度度与与区区间间概概率率：）连连续续变变量量的的分分布布函函数数（3 122121xFxFdxxfxXxPxx 相减概率了。相减概率了。概率累加得函数，反向概率累加得函数，反向各点左闭区间了；各点左闭区间了；，若求离散分布函若求离散分布函了；了；右右左左外外随机变量有区间，间随机变量有区间，间，非负规范单调了；，非负规范单调了；概括：连续分布函数好概括：连续分布函数好10密度变零了。密度变零了。随机变量有区间，间外随机变量有区间，间外，非负积分规范了，非负积分规范了，概括：密度单位区间
7、概概括：密度单位区间概第十六讲第十六讲 内容总结内容总结看下面例题：看下面例题：.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()52()0(21133003 XPXPCXPCXP xxiixPxXPxF)()()(),3),3,2),2,1),1,0),0,(分别求函数值分别求函数值中中分布函数则要求在分布函数则要求在 .3,1,32,125117,21,12581,10,12527,0,0)(xxxxxxF：求求例子：若概率函数为：例子：若概率函数为：)(.3,2,1,0,)53()52(33xFkCkXPkkk 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例
8、题例题的概率分布列。的概率分布列。试求试求的分布函数为：的分布函数为：设随机变量设随机变量XxxxxxFX 31318.0114.010)(来求来求的离散分布，应用的离散分布，应用断点为断点为解：这是一个有断点（解：这是一个有断点（)0()()()3,1,1 iiiaFaFaXP2.08.01)03()3()3(4.04.08.0)01()1()1(4.0)01()1()1(FFXPFFXPFFXPxp2.04.04.0311第十六讲第十六讲 内容总结内容总结积分伽马了。积分伽马了。系数要正指数负，幂指系数要正指数负，幂指正好两半了；正好两半了；指数分布正参数，区间指数分布正参数，区间分母密度
9、了；分母密度了；均匀分布度量好，放到均匀分布度量好，放到关系搞清了。关系搞清了。概率分布和密度，三者概率分布和密度，三者概括：概括：.)()()()()()()()(4)(dyydFyfdxxfyXgPyYPyFyFYxFxfXYYyxgXYYXX 再再求求，分分布布函函数数的的求求出出或或分分布布函函数数的的概概率率密密度度即即先先通通过过法法，基基本本的的方方法法是是分分布布函函数数求求变变量量的的函函数数分分布布的的最最）（第十六讲第十六讲 内容总结内容总结未知转成已知了。未知转成已知了。连续区间要选好，连续区间要选好，离散对应和算了；离散对应和算了；变量函数求分布，变量函数求分布，概括
10、一下：概括一下：都在全无穷区间上）都在全无穷区间上）与与的开区间（注意的开区间（注意区间确定区间确定区间，由区间，由定区间：即求定区间：即求YXYXY)1(的的分分布布。的的分分布布求求出出再再利利用用已已知知的的的的区区间间概概率率或或密密度度积积分分视视为为定定点点转转化化成成区区间间将将的的分分布布。通通过过区区间间概概率率的的分分布布转转化化成成变变分分布布：将将YXXyXY)2(对对应应的的区区间间。或或配配断断点点：将将断断点点分分配配到到的的密密度度；的的分分布布导导数数得得求求对对求求导导数数10)4(:)3(yYy的的密密度度的的一一般般方方法法求求的的密密度度已已知知)()
11、(XgYxfXX 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题（例题（9595研研6 6分）分）密密度度分分布布函函数数的的导导数数求求概概率率的的分分布布函函数数，然然后后利利用用分分析析：先先求求的的概概率率密密度度。求求随随机机变变量量的的概概率率密密度度设设随随机机变变量量YeYxxexfXXxX .00,0)(.1,1,1,0.0,0 yyyYYeyxxx的的变变量量区区间间定定义义区区间间为为的的则则分分段段区区间间解解：由由概概率率密密度度函函数数的的）原原则则，只只有有左左，值值为为右右（或或按按照照定定义义区区间间外外左左时时：010.00)0ln()()()(1ln yXYdty
12、XPyePyYPyFy)(0)0()()(0不可能事件不可能事件时：时：yePyYPyFyXY第十六讲第十六讲 内容总结内容总结 1,0,1,1)()(2yyyyFyfYY 1,0,1,11)(yyyyFY.110)()()ln()()()(,0ln1ln0ln00yedtedtdttfzXPyXPyePyYPyFyxyyyttzXXY 即：即：时，时，第十六讲第十六讲 内容总结内容总结)(),(6yYxXPyYxXP ）联合分布实际意义：）联合分布实际意义：（1),()(),()(,),(),()()7(jjiiXXXyxPxPxFxFdyyxfxxFxf合合密密度度。例例如如：下下（或或无
13、无穷穷条条件件）的的联联件件）是是另另一一变变量量在在完完备备条条边边缘缘密密度度（概概率率、分分布布第十六讲第十六讲 内容总结内容总结第十六讲第十六讲 内容总结内容总结二维事件积来算，这个边缘那必然；二维事件积来算，这个边缘那必然；分布函数四等式，单调非负还规范；分布函数四等式，单调非负还规范；二阶偏导密度函，概率区域积分办；二阶偏导密度函，概率区域积分办；样本里面区域圈，一个定来一个变；样本里面区域圈，一个定来一个变；另一变量积边缘，跟着样本上下限。另一变量积边缘，跟着样本上下限。联合等于边缘积，独立计算更方便。联合等于边缘积，独立计算更方便。例题（例题（0303数学一，数学一，4 4分）
14、分）)1(,010,6),(YXPyxxyxf求求其其它它密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量的的概概率率图图示示直直角角三三角角形形内内得得解解：由由,0,10:,10yxxGyx 图中阴影部分。图中阴影部分。内的内的得得即：即：再由再由xyxxDGXYYX 1,210:,1,1OYX121xy xy 1 1),()1(yxdxdyyxfYXP.41)21(662102101 dxxxxdydxxx第十六讲第十六讲 内容总结内容总结dzzdFzfdxdyyxfzYXgPzZPzFyxfZZzyxgZ)()(),(),()()(),(8),(且且，先先求求分分布布再再导导数数分分布布的的求
15、求法法，也也是是通通过过）两两个个随随机机变变量量函函数数的的（量上下限。量上下限。定样本定区间，积分变定样本定区间，积分变另一变；另一变；代代联密无穷积和函，一个联密无穷积和函，一个密度密度二维变量函数的分布与二维变量函数的分布与zz第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题（例题（07数学一，数学一，11分）分）的的概概率率密密度度求求）求求（其其它它的的概概率率密密度度为为已已知知YXZYXPyxyxyxfYX )()(,),(),(221010102 DdxdyyxfDYXP),(),()1(根据联合分布的定义根据联合分布的定义解：解：10,20210,10),(xxyyxyxDyxf组组
16、成成（如如图图）。即即：，由由：非非零零的的区区域域由由已已知知，被被积积函函数数xGy0D11第十六讲第十六讲 内容总结内容总结24785221021020 dxxxdyyxdxdxdyyxfYXPxG)()(),(的的积积分分变变限限。的的定定区区间间和和上上求求并并在在平平面面上上确确定定由由此此在在，区区域域为为的的（即即非非零零的的非非零零积积分分区区域域：由由已已知知，即即解解该该题题要要用用卷卷积积分分公公式式xzGGZXxzxxZXyxfxzyxyxfdxxzxfzfYXZZ,),(.110),),(;10,10),(),()(,)2(G1 xzxz 0 xz112第十六讲第十
17、六讲 内容总结内容总结20000222110zzdxzdxxzxdxxzxfdxyxfzfzxzzzzzZ )()(),(),()(:即：即：时，时，2111111112221121)()()(),(),()(:zdxzdxxzxdxxzxfdxyxfzfxzzzzzzZ 即：即：时，时，其其它它即即：,)()(021210222zzzzzzfZ.21,10:zzZ第十六讲第十六讲 内容总结内容总结值值。；独独立立可可加加减减，方方差差均均二二维维不不相相关关，等等效效独独立立；标标准准积积分分时时，关关注注偶偶奇奇；均均分分，标标准准求求正正态态P 6.尤其是：正态分布要关注和其它分布的不同
18、点，除分布函数与尤其是：正态分布要关注和其它分布的不同点，除分布函数与密度函数的形式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下：密度函数的形式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下：三、常用分布：三、常用分布：1.几何分布的意义与形式需要记住几何分布的意义与形式需要记住 0,00,1)(;0,00,)()(5xxexFxxexfexx ：指数分布指数分布.ekekkXPkkk 0!,2,1,0,!.3。且且：泊泊松松分分布布 求？求？二维情况下，密度如何二维情况下，密度如何其它其它均匀分布：均匀分布：.,0;,1.4bxaabxf,)(.2xnxxnqpCxp 二项分布：二项分布：,2,1,0
19、nx 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结第十六讲第十六讲 内容总结内容总结 xiiixxPxPxXE)()()(.11：均值计算公式，定义法均值计算公式，定义法 dxxxfxxfxxPxXEXiiiiiii)()()()(11连续，连续，若若 dxxfxgxPxgXgEYEXgYx)()()()()()()(时，时，一般方法：一般方法：dxdyyxfyxgyxPyxgYXgEYXgZijjiji),(),(),(),(),(),(时，时，四、数字特征及其计算：四、数字特征及其计算：几何级数导概率。几何级数导概率。二二泊松泊松，必然求和是均值；，必然求和是均值；概括：离散变量乘概率概括：离散变量
20、乘概率,np 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结 )()()()(:212 iiixpXExXgEXDX.方差：离散方差：离散 dxxfXExXgEXDX)()()()(:2 连连续续变变量量。提提方方，独独立立加加减减都都加加上上线线性性运运算算：常常数数为为零零系系，指数系数分之一。，指数系数分之一。加加均匀一半均匀一半，求和变成样本积；，求和变成样本积；概括：连续概率换密度概括：连续概率换密度ba可减独立积。可减独立积。常数不变系数提，可加常数不变系数提，可加出现伽马积。出现伽马积。函数期望代变量，幂指函数期望代变量，幂指 dxxfxXkkkk)(3 阶阶中中心心距距：阶阶原原点点矩矩与
21、与.kkXEXEX)()(第十六讲第十六讲 内容总结内容总结等等价价要要牢牢记记。系系数数为为零零不不相相关关，三三个个相相关关正正负负一一；标标准准以以后后相相关关系系，线线性性积积期期望望减减期期望望积积；离离差差积积，协协方方差差底底同同一一补补齐齐；原原点点矩矩算算中中心心距距，阶阶降降E31123323 412121344364 2122 中间组合数中间组合数系数末了系数末了阶凑；阶凑；阶正负降，不够阶正负降，不够,11 rr.0),cov(YXYX独独立立，则则、若若)()(,)()(cov(),cov(),(*YYEYXXEXYXYXR 5.相关系数：相关系数：（1）相关系数的计
22、算）相关系数的计算:)()(),cov(),(YDXDYXYXR 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结covariance )()(YEYXEXE ),(YXc co ov v4.协方差协方差(相关矩相关矩):),cov(2)()()()()()(),cov(YXYDXDYXDYEXEXYEYX 31123323 2122 且：且：间的关系：间的关系：注意原点矩与中心距之注意原点矩与中心距之)(),(21XDXEv 由定义容易得到不相关的几个等价结论由定义容易得到不相关的几个等价结论;0),()1(YXR式得到）式得到）（由相关系数的计算公（由相关系数的计算公;0),cov()2(YX到）到）由
23、协方差的均值定理得由协方差的均值定理得)()()()3(YEXEXYE 公公式式推推出出。提提示示：该该式式方方差差的的加加法法)()()()4(YDXDYXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结不不相相关关。与与则则称称随随机机变变量量即即若若YXYEXEXYEYXR),()()(,0),(4)(4)不相关概念不相关概念.1),()2(YXR性性质质定定理理：(3)(3)强相关定理强相关定理,bXaY 1),(YXR.10;10 RbRb时时时时且且第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题：（例题：（2008，4分）分）.1)12()(;1)12(
24、)(;1)12()(;1)12()(,1),4,1(),1,0(XYPDXYPCXYPBXYPARNYNX则：则：且相关系数且相关系数设随机变量设随机变量必然事件必然事件即即解：解：1)(,0,1 baXYPabaXYR22)(4)4,1(),1,0(aDXabaXDDYNYNX DXYPbaXYPbbabXaEbaXEEY选选且：且：,1)12()(0)()(1 第十六讲第十六讲 内容总结内容总结五、大数定律与中心极限定理五、大数定律与中心极限定理 这部分内容包括：一个不等式：切比雪夫不等式；两个这部分内容包括：一个不等式：切比雪夫不等式；两个定理：列维林德伯格中心极限定理和隶莫弗定理：列维
25、林德伯格中心极限定理和隶莫弗-拉普拉斯中心拉普拉斯中心极限定理。三个定律：切比雪夫大数定律，伯努利大数定律极限定理。三个定律：切比雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律。和辛钦大数定律。2)()(XDXEXP 于于估估计计概概率率切切比比雪雪夫夫不不等等式式主主要要用用即即概概率率。率率依依概概率率收收敛敛于于发发生生的的频频次次独独立立试试验验中中，个个是是收收敛敛于于它它的的期期望望，另另一一依依概概率率个个独独立立变变量量和和的的平平均均值值三三个个大大数数定定律律一一个个是是)(APAnn的的随随机机变变量量适适用用。定定的的服服从从二二项项分分布布而而后后一一个个定定理理只只对对
26、于于特特适适合合，项项部部分分和和的的标标准准变变量量都都变变量量序序列列前前期期望望同同方方差差存存在在的的随随机机同同何何相相互互独独立立的的，同同分分布布林林德德伯伯格格定定理理对对对对于于任任是是不不同同的的；列列维维，但但是是应应用用范范围围及及极极限限分分布布是是正正态态分分布布两两个个中中心心极极限限定定理理都都涉涉),(pnBn-第十六讲第十六讲 内容总结内容总结分分布布具具体体时时。独独立立样样本本同同总总体体，三三同同出出个个独独立立和和，标标准准正正态态解解欲欲求求极极限限标标正正趋趋；一一独独三三同同和和标标准准，中中心心收收敛敛概概率率值值；切切比比雪雪夫夫不不等等式
27、式，频频率率;Pn_1,21221依概率收敛于依概率收敛于时，时，简单随机样本，则简单随机样本，则的的为来自总体为来自总体的指数分布，的指数分布，服从参数为服从参数为设总体设总体 niinnXnYnXXXXX例题：（例题：（2003，数三，数三，4分分)望望同同方方差差。由由于于分分布布明明确确，且且同同期期同同分分布布即即服服从从独独立立且且与与性性质质，解解答答：由由简简单单随随机机样样本本).2(,21eXXXXn2121)(1)1()(121)21(41)(,1212122222222121 nnXEnXnEYEXnYEXDXEXXXXXXXniiniinniiniiinn，则，则令令
28、也独立且同分布，且：也独立且同分布，且：独立，独立，.41)()(,21)()(XDXDXEXEii即即21)(nnYEYnn依概率收敛于依概率收敛于时，时，它的期望值，即它的期望值，即平均值依概率收敛于平均值依概率收敛于个独立随机变量的和的个独立随机变量的和的由大数定理：由大数定理：第十六讲第十六讲 内容总结内容总结六：数理统计部分：六：数理统计部分：值值相相同同。布布；分分布布明明确确，方方差差均均样样本本独独立立，与与总总体体同同分分样样本本与与总总体体的的关关系系：.1；均值：均值：平平样本样本 niiXnX1)(1 21221211)(11XnXnXXnSniinii样本方差：样本方
29、差：样本统计量样本统计量.2，阶原点矩：阶原点矩：样本样本 nikikXnVk11 ，阶中心矩：阶中心矩：样本样本 nikikXXnUk11第十六讲第十六讲 内容总结内容总结)(),1,0(,/),(2kYNXkYXtkttFt 则则若若分布的关系：分布的关系：分布和分布和注意注意)1,(1),1(/1/),1(22222kFtkFkYXtX，即：即：则：则：分分布布三三倒倒性性。两两个个单单位位卡卡方方比比，对对称称；比比它它根根内内单单位位卡卡方方值值，标标正正具具有有可可加加性性；标标准准正正态态方方求求和和，卡卡方方正正态态亦亦可可用用；变变量量开开始始分分位位点点，标标准准Ft3.数
30、理统计中的数理统计中的4个常用分布个常用分布第十六讲第十六讲 内容总结内容总结第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题：（例题：（2002，数三，数三，3分分)分布。分布。服从服从分布；分布；都服从都服从和和服从正态分布；服从正态分布；服从正态分布；服从正态分布；则则都服从标准正态分布，都服从标准正态分布，和和设随机变量设随机变量FYXDYXCYXBYXAYX2222222/)()()()(）。自自由由度度的的卡卡方方分分布布之之比比分分布布是是两两个个独独立立的的单单位位（分分布布服服从从同同时时，也也不不能能确确定定正正态态变变量量的的平平方方和和），个个独独立立的的标标准准分分布布是是分分
31、布布（服服从从所所以以也也不不能能确确定定独独立立未未知知，服服从从正正态态分分布布；又又因因为为所所以以，不不能能确确定定维维正正态态分分布布未未知知，）的的联联合合分分布布是是否否为为二二，解解答答：由由于于（FFYXkYXYXYXYX222222,CYXNYNX故选故选因为因为).1(),1(),1,0(),1,0(2222 ，均均降降一一级级。横横批批：正正态态总总体体换换参参数数样样本本，方方差差之之比比；卡卡方方分分布布，总总体体均均值值换换右右：样样本本标标准准平平方方和和，；变变标标准准以以后后换换方方差差，分分布布方方差差除除左左：样样本本均均值值仍仍正正态态，可可用用一一副
32、副对对联联总总结结：tn,均无偏均无偏看期望：样本均值方差看期望：样本均值方差数，导数为零。数，导数为零。似然法：样本概率积对似然法：样本概率积对矩，一阶常用；矩，一阶常用；矩估计：样本总体原点矩估计：样本总体原点4.常用正态统计量常用正态统计量5.点估计点估计第十六讲第十六讲 内容总结内容总结第十六讲第十六讲 内容总结内容总结例题：（例题：（2006，数一，数一，9分分)的最大似然估计。的最大似然估计。求求的个数，的个数，中小于中小于为样本值为样本值的简单随机样本，记的简单随机样本，记为来自总体为来自总体）是未知参数（是未知参数（其中其中其它其它的概率密度为的概率密度为设总体设总体 1,10
33、,021,111,),(2121nnxxxNXXXXxxxfX ）之间。）之间。，取值于（取值于（即即需非零，需非零，所以所以又又，所以，所以，先，样本与总体同分布先，样本与总体同分布解：构造似然函数，首解：构造似然函数，首20,),(.),()().,(),(211niniiixxxxfxfLxfxf NnNniiixfLNnNnNNxfNn )1(),()(121),(1011 所所以以，似似然然函函数数为为：相相乘乘。个个）间间，便便有有，个个样样本本值值在在其其余余相相乘乘。个个个个这这样样的的样样本本，便便有有，故故对对应应的的）间间，属属于于（个个值值小小于于个个样样本本值值有有根
34、根据据题题目目条条件件，第十六讲第十六讲 内容总结内容总结)1ln()(ln)(ln NnNL似似然然函函数数对对数数化化：01)(ln0 NnNdLd：对对参参数数求求导导并并取取nNnNNnNNnN ,0)()1(,0)1()()1(故参数的似然估计为：故参数的似然估计为：分分位位双双一一半半。利利用用统统计计估估参参数数，单单侧侧度度须须降降级级算算，总总体体未未知知样样本本换换，自自由由分分位位左左一一减减。卡卡方方置置信信估估方方差差，右右限限；区区间间，对对称称上上下下限限两两边边估估标标正正 t6.概括区间估计：概括区间估计：第十六讲第十六讲 内容总结内容总结7.假设检验概括：假设检验概括：算。算。，标正估，方差比标正估，方差比均值差均值差单侧等两边。单侧等两边。假设有等有不等，不等假设有等有不等，不等以后才检验。以后才检验。置信以外拒绝域，代值置信以外拒绝域，代值水平无一减；水平无一减；假设参数置信间，显著假设参数置信间，显著F10
