1、 在认知世界中,人们遇到的现象大致分为以下三类:(1)确定性的(非此即彼)例如:”太阳从东方升起”，“小明昨天迟到了”-经典数学去刻画(2)随机性的例如:”抛一枚硬币,观看字面朝上”-概论统计去刻画(3)模糊性的(不分明性的)例如:”今天气温高”，“他很年轻”-模糊数学去刻画 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时
2、模糊性比精确性还要好要好.例如例如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他男人，而其他信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领
3、域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用应用.一一 经典集合经典集合 1.1.经典集合具有两条基本属性：经典集合具有两条基本属性：元素彼此相元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素即一个元素x要要么属于集合么属于集合A(记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必居其一，二者必居其一.2.2.集合的表示法集合的表示法 (1)(1)枚举法，枚举法，A=x1,x2,xn；有限集合
4、有限集合 (2)(2)描述法，描述法，A=x|P(x).3.3.集合的包含集合的包含定义定义1 1 A包含于包含于B：A B 若若x A，则则x B；A包含包含B：A B 若若x B，则则x A；A等于等于B：A=B A B且且 A B.定义定义2 2 若若A包含于包含于B，称，称A是是B的的子集子集；不含有任何；不含有任何元素的集合称为元素的集合称为空集空集，用，用 表示；设有集合表示；设有集合U，对于任意集合对于任意集合A，总有，总有A U，则称，则称U为为全集全集.显然，任何非空集合显然，任何非空集合A，都有两个子集：，都有两个子集：A及及 .全集是个具有相对性的概念全集是个具有相对性的
5、概念.4.4.集合的幂集集合的幂集定义定义3 3 集合集合A的所有子集所组成的的所有子集所组成的集合集合称为称为A的的幂幂集集，记为，记为(A)，即，即(A)=B|B A.例例:A A=1,2,3,=1,2,3,(A)=1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,.对于有限集合来说，对于有限集合来说，|(A)|=2|A|,|,|A A|表示表示A A的个数的个数 5.5.集合的运算集合的运算定义定义4 4 并集并集：AB=x|x A或或x B；交集交集：AB=x|x A且且x B；余集余集：Ac=x|x A.6.6.集合的运算规律集合的运算规律幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交
6、换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：排中律：AAc=U，AAc=.7.7.集合的直积集合的直积 (是个集合是个集合)定义定义5 5X Y=(x,y)|x X,y Y .例例1 1 设设X=1,2，Y=a,b,c.则则X Y=(1,a),(1,b),(1,c),
7、(2,a),(2,b),(2,c),Y X=(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2).对于有限集合来说，对于有限集合来说，|X Y|=|X|Y|.1.1.映射映射定义定义6 6 设设X 与与 Y是两个是两个非空集合，如果存在一个对非空集合，如果存在一个对应规则应规则 f，使得，使得 x X，有唯一的元素，有唯一的元素 y Y 与之与之对应，则称对应，则称 f 是是 X 到到 Y 的的映射映射，记为，记为f：X Y定义域、值域、满映射、单射、一一映射定义域、值域、满映射、单射、一一映射.2.2.集合集合A的特征函数的特征函数特征函数满足：特征函数满足：.,0;,1)
8、(AxAxxA).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc取大运算取大运算,如如23=3取小运算取小运算,如如23=2扩张：点集映射扩张：点集映射 集合变换集合变换3.3.映射的扩张映射的扩张定义定义7 7(扩张原理扩张原理)设设映射映射 f：X Y，定义，定义f(A)=y|f(x)=y，x A (集合集合映射映射到集合到集合)例例2 2 设设X=a,b,c，Y=1,2.f：X Y 且且f(a)=1，f(b)=2，f(c)=1.则则f：(X)(Y)(幂集到幂集幂集到幂集)且且 f()=，f(a)=1，f(b)=2，f(c)=1，f(a,b)=1,2，f(a,c
9、)=1，f(b,c)=1,2，f(a,b,c)=1,2 .点集映射点集映射(点映射到集合点映射到集合)、集合变换、集合变换(集合映射到集合集合映射到集合)1.1.二元关系二元关系 (是个集合是个集合)定义定义8 8 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二元关系，二元关系，特别地，当特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上的上的二元关系二元关系.二元关系简称为二元关系简称为关系关系.若若(x,y)R，则，则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为R(x,y)=1；若若(x,y)R，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，记为关系，记为R(x,y)=0.映射映射R
10、:X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的子集的子集R上的特征函数上的特征函数.定义定义9 9 设设R为为 X 上的上的关系关系 (1)自反性自反性：若：若 X 上的任何元素都与自己有上的任何元素都与自己有关系关系R，即，即R(x,x)=1，则称关系，则称关系 R 具有自反性；具有自反性；(2)对称性对称性：对于：对于X 上的任意两个元素上的任意两个元素 x,y，若若 x 与与y 有关系有关系R 时，则时，则 y 与与 x 也有关系也有关系R，即，即若若R(x,y)=1，则，则R(y,x)=1，那么称关系那么称关系R具具有对称性有对称性；(3)传递性传递性：对于：对于X上的任意三个元素上的任
11、意三个元素x,y,z，若若x 与与y 有关系有关系R，y 与与z 也有关系也有关系R 时，则时，则x与与z 也有关系也有关系R，即若，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则则R(x,z)=1，那么称关系那么称关系R具有传递性具有传递性.定义定义1010 设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn，R为从为从 X 到到 Y 的的二元关系，记二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)mn，则则R为布为布尔矩阵尔矩阵(Boole)，称为称为R的关系矩阵的关系矩阵.布布尔矩阵尔矩阵(Boole)是元素只取是元素只取0或或1的矩阵的矩阵.关系的合成关系的合成 定义定义1111 设设R1
12、 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系,则则R1与与 R2的的合成合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一个关上的一个关系系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 例例3 3 设设 X=1,2,3,Y=1,2,3,4,Z=1,2,3,R1=(x,y)|xy 是是X到到Y的关系的关系,R2=(y,z)|y=z 是是Y 到到 Z 的关系的关系,则则 R1=(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),R2=(1,1),(2,2),(3,3),R1与与 R2的合成的合成 R1 R2=(x,z)|xz=(1,2),(
13、1,3),(2,3).设设 X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且，且X 到到Y 的关系的关系R1=(aik)ms，Y 到到 Z 的关系的关系R2=(bkj)sn，则则X 到到Z 的关系可表示为矩阵的合成：的关系可表示为矩阵的合成：R1 R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.定义定义12 12 若若R为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义R 2=R R，R 3=R 2 R 例例3 3 设设 X=1,2,3,Y=1,2,3,4,Z=1,2,3,R1=(x,y)|xy 是是X到到Y的关系的关系,R2=(y,z)|y=z 是是Y 到到 Z 的关系的
14、关系,则则R1 R2=(x,z)|xz.1000110011101R0001000100012RR1 R2 000100110 性质性质1：(A B)C=A (B C)；性质性质2：Ak Al=Ak+l，(Am)n=Amn；性质性质3：A (BC)=(A B)(A C)；(BC)A=(B A)(C A)；性质性质4：O A=A O=O，I A=A I=A；性质性质5：AB，CD A C B D.O为零矩阵为零矩阵，I 为为 n 阶单位方阵阶单位方阵.AB aijbij.设设R为为 X=x1,x2,xn 上的上的关系，则其关关系，则其关系系矩阵矩阵R=(rij)nn 为为 n 阶方阵阶方阵.(1
15、)R具有具有自反性自反性 I R；(2)R具有具有对称性对称性 RT=R；(3)R具有具有传递性传递性 R2R.性质性质:若若R具有具有自反性，则自反性，则 I R R2 R3 定义定义1313 设设 X 上的上的关系关系R具有具有自反性、对称性、传递自反性、对称性、传递性，则称性，则称R为为 X 上的上的等价等价关系关系.若若x与与y 有等价关系有等价关系R，则记为，则记为 x y.设设 R是是X 上的等价上的等价关系，关系，x X.定义定义x的等价的等价类：类：xR=y|y X，y x.xR为集合为集合X上的一个等价类上的一个等价类.121,2,3,(1,1),(2,2),(2,1),(1
16、,2),(1,1),(2,2),(2,1),(1,2),(3,3),XRR例12RRXX、R1仅是X上的关系,R2是X上等价关系等价关系矩阵为2110110001R相似相似关系关系(具有自反性、对称性具有自反性、对称性)设X=1244,157,287,456,690,定义在X上的关系 则R为相似关系,其相似矩阵为(,),Rx y x yX xy与 有相同的数字1111011110111001101100011R定义定义14 14 设设 X 是非空集，是非空集，Xi 是是 X 的非空子集，若的非空子集，若Xi=X，且，且XiXj=(i j)，则称集合族则称集合族 Xi 是集合是集合 X 的一个分
17、类的一个分类(亦称划分亦称划分).定理定理 集合集合X 上的任一个等价上的任一个等价关系关系R可以确定可以确定X 的的一个分类一个分类.即即 (1)任意任意 x X，xR非空；非空；(2)任意任意 x,y X，若，若x与与y 没有关系没有关系R，则，则xRyR=；(3)X=xR.9.9.集合的分类集合的分类121,2,3,(1,1),(2,2),(3,3),(1,1),(2,2),(2,1),(1,2),(3,3),XRR例12RRXX、1,23;1,2,3，R1,R2都是X上等价关系按等价关系R1，R2分类分别为例例4 4 设设X=1,2,3,4,定义关系定义关系R 1：xixj；R 2：x
18、i+xj为偶数；为偶数；R 3：xi+xj=5.则关系则关系R1是传递的，但不是自反的，也不是是传递的，但不是自反的，也不是对称的；容易验证关系对称的；容易验证关系R2 是是X上的等价关系；关上的等价关系；关系系R3是对称，但不是自反的和传递的是对称，但不是自反的和传递的.按关系按关系R2可将可将X分为奇数和偶数两类，即分为奇数和偶数两类，即X=1,32,4.按关系按关系R3可将可将X分为两类，即分为两类，即X=1,42,3.一一 模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 定义定义1 1 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的上的模糊模糊子子集集A，映射，映
19、射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.使使A(x)=0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数.可见经典子可见经典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形.例.学生a父亲是“河北人”，母亲是“河南人”，则a属于“河北人”A的隶属程度是0.5;属于”河南人”B的隶属程度是0.5.即()0.5,()0.5ABaa或 A(a)=0.5)例例1 设论域设论域U=x1(140),x
20、2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人的身表示人的身高，那么高，那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属的隶属函数函数A(x)可定义为可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118.06.04.02.00 xxxxxxA6543219.08.06.042.02.015.0 xxxxxxA(1)()(,()Axxx xUA2510021025(2),()/25()1/(1()/5AUUAxxxxxxA连续时例如 年轻(1)(2)()().1
21、2AAAxxxnUxxxxnA离散时,相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).例例2 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集商品集)，在在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集：A=“商品质量好商品质量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量
22、不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见可见Ac B,Bc A.又又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；
23、还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即除了排中律以外，即AAc U，AAc .模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，这正的特点，这正是模糊性带来的本质特征是模糊性带来的本质特征.对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc
24、；(A)=A=x|A(x)-截集截集 模糊集的模糊集的-截集截集A 是一个经典集合，由隶属是一个经典集合，由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成.例例1 1 论域论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学学习成绩好的学生习成绩好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则，则A0.9 (90分及以上者分及以上者)=u5,u6,A0.6 (60分及以上者分及以上者)=u2,
25、u3,u4,u5,u6.定理定理1 1 设设A,B(U)(A,B是论域是论域U 的两个的两个模糊子集模糊子集)，,0,1，于是有，于是有-截集的性质：截集的性质：(1)A B A B；(2)A A；(3)(AB)=A B，(AB)=A B.定理定理2 2 (分解定理分解定理)设设A(U)，x A，则，则A(x)=，0,1，x A 定义定义 (扩张原理扩张原理)设设映射映射 f：X Y，定义，定义 Y上的模上的模糊集糊集 f(A)f(A)(y)=A(x)，f(x)=y 例例2 2 设设X=a,b,c,Y=1,2.f：X Y 且且f(a)=f(b)=1,f(c)=2;X上的模糊集上的模糊集A=(0
26、.7,0.8,0.4),求求Y上的模糊集上的模糊集 f(A)？f(A)(1)=A(a)A(b)=0.7 0.8=0.8,f(A)(2)=A(c)=0.4.精品课件精品课件！精品课件精品课件！1.模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为计比喻为“变动的点变动的点”是否落在是否落在“不动的圈不动的圈”内，则把模糊统计比喻为内，则把模糊统计比喻为“变动的圈变动的圈”是否盖是否盖住住“不动的点不动的点”.2.指派方法指派方法 一种主观方法，把人们的实践经验考虑进一种主观方法，把人们的实践经验考虑进去，一般给出隶属函数的解析表达式去，一般给出隶属函数的解析表达式.3.借用已有的借用已有的“客观客观”尺度尺度 详细见参考资料详细见参考资料
