1、 .)2(;)1(古古典典概概型型验验称称为为等等可可能能概概型型或或具具有有以以上上两两个个特特点点的的试试生生的的可可能能性性相相同同试试验验中中每每个个基基本本事事件件发发有有限限个个元元素素试试验验的的样样本本空空间间只只包包含含1.定义定义1.3.1 古典概型古典概型 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 k 个样本点个样本点，则事则事件件 A 发生的概率为发生的概率为:2.古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式().kAP An所所包包含含样样本本点点的的个个数数样样本本点
2、点总总数数称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 则则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求求次次出出现现正正面面”“至至少少有有一一为为设设事事件件求求”次次出出现现正正面面为为“恰恰有有一一设设事事件件将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷三三次次.,)1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH1例例对于比较简单的试验，可以直接写出样本空间对于比较简单的试验，可以直接写出样本
3、空间和事件，然后数出各自所含样本点的个数即可和事件，然后数出各自所含样本点的个数即可.对于较复杂的试验，一般不再将中的元素一一对于较复杂的试验，一般不再将中的元素一一列出，而只需利用排列、组合及乘法原理、加法原列出，而只需利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数，再由公式即可求出的概率本事件的个数，再由公式即可求出的概率.说明：说明：例例2 设有设有5件产品，其中件产品，其中3件是正品，件是正品，2件是次品件是次品.今今从中抽取两次，每次从中抽取两次，每次1件，取出后不再放回件，取出后不再放回.试求：试
4、求：（1）两件都是正品的概率；）两件都是正品的概率；（2）一件是正品一件是次品的概率；）一件是正品一件是次品的概率；（3）至少有一件是正品的概率）至少有一件是正品的概率.解解,AB设设两两件件都都是是正正品品一一件件是是正正品品一一件件,C 是是次次品品至至少少有有一一件件是是正正品品n25P5420;则则:基基本本事事件件总总数数AkP23A6;而而 所所包包含含的的基基本本事事件件数数BBkP PP P1111322312;所所包包含含的的基基本本事事件件数数CCkP PP PP111123223312618.所所包包含含的的基基本本事事件件数数所以，由公式可求得：所以，由公式可求得：Ak
5、P An63();2010BkP Bn123();205CkP Cn189().2010说明：说明：PP CP C229()1()1.2010 本例中（本例中（3）有更简单的求法。）有更简单的求法。本例中样本空间可以作不同的设计。本例中样本空间可以作不同的设计。思考：改为放回抽样，结果又如何？思考：改为放回抽样，结果又如何？古典概型古典概型其他问题其他问题随机抽球随机抽球问题问题随机分球随机分球问题问题随机取数随机取数问题问题1.3.2 古典概型的经典问题古典概型的经典问题例例3 设盒中设盒中有有3个白球，个白球，2个红球，现从个红球，现从盒盒中任中任抽抽2个个球，求取到一红一白的概率球，求取
6、到一红一白的概率.解解:设设 A=取到一红一白取到一红一白nC25,AkC C1132,53)(251213 CCCAP答答:取到一红一白的概率为取到一红一白的概率为3/5.解法一解法一:1、随机抽球问题、随机抽球问题解法二解法二:,nA255 4,Ak 3 22 3().P A 3 22 335 45可见可见:随机抽球问题可以用组合法解随机抽球问题可以用组合法解,也可以也可以用排列法解用排列法解.关键是关键是:计算事件概率时保证分计算事件概率时保证分子子,分母在同一个样本空间下讨论分母在同一个样本空间下讨论.把小球的数目推广到一般的情形把小球的数目推广到一般的情形一般地，设盒中有一般地，设盒
7、中有N个球，其中有个球，其中有M个白球，个白球，现从中任现从中任抽抽n个个球，则这球，则这n个个球中恰有球中恰有k个白球的个白球的概率是概率是.kn kMNMnNC CpC在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多地交代实际背景更加突出，而不必过多地交代实际背景。类似问题：产品检验、抽签问题、福彩摸奖等类似问题：产品检验、抽签问题、福彩摸奖等.取出的这取出的这n个个球中至多球中至多2个白
8、球个白球的概率是多少？的概率是多少？在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,kn kMNMC C种种于是所求的概率为于是所求的概率为解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,nNC 种种,()?NMnk kM设设有有件件产产品品 其其中中有有件件次次品品 今今从从中中任任取取件件 问问其其中中恰恰有有件件次次品品的的概概率率是是多多少少.kn kMNMnNC CpC超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式例例4例例5 将将3个球随机的放入个球随机的放入3个盒子中去，问：个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球
9、的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？解解:设设A=每盒恰有一球每盒恰有一球,B=空一盒空一盒,n 33!,Ak 3().P A 29()P BPP 1空空两两盒盒全全有有球球32923313 (1)(2)解法一解法一:(用对立事件用对立事件)2、随机分球问题、随机分球问题()CP B 2333 2233(2)解法二解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中空一盒相当于两球一起放在一个盒子中,另一球单独放在另一个盒子中另一球单独放在另一个盒子中)()P B33322233(2)解法三解法三:(空一盒包括空一盒包括1号盒空号盒空,2号号合空合
10、空,三号盒空且其余两盒全满这三三号盒空且其余两盒全满这三种情况种情况)答答:每盒恰有一球的概率为每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是空一盒的概率是2/3.一般地，把一般地，把n个个球随机地分配到球随机地分配到N个盒子中去个盒子中去(n N)，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnNNAp 某班级有某班级有n 个人个人(n 365)，问至少有两个人的生日在同一天问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？的概率有多大？类似问题：分房问题、生日问题等类似问题：分房问题、生日问题等.()n 365 个个人人生生日日各各不不相相同同的的概概率率为为.365)1365(364365
11、nnp n而而 个个人人中中至至少少有有两两个个人人生生日日在在同同一一天天的的概概率率为为.365)1365(3643651nnp n p20 23 30 40 50 64 100 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.99999973、随机取数问题随机取数问题例例6 从从1到到200这这200个自然数中任取一个个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被求取到的数能被6整除的概率；整除的概率；(2)求取到的数能被求取到的数能被8整除的概率；整除的概率；(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6整除也能被整除也能被8整除的概率整除的概率.解解:故故(1),(2
12、),(3)的概率分别为的概率分别为:,n 200,n 1200336,n 2200258,n 3200824;.3311200 8 25例例7 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解解,33462000333 因因为为,2000333)(AP所所以以,
13、8424200083 由于由于.200083)(ABP得得于是所求概率为于是所求概率为)(BAP 200083200025020003331)()()(1ABPBPAP .43.2000250)(BP故得故得,25082000 由于由于3、分组问题、分组问题*例例8 30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分名学生平均分成成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解:设设A=每组有一名运动员每组有一名运动员;B=3名运动员集中在名运动员集中在一组一组101010302
14、010nC C C30人人(1)(2)(3)!302011020101030101010!.!mnnn1一般地，把一般地，把n个个球随机地分成球随机地分成m组组(n m),要求第要求第 i 组恰组恰有有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：27!3!509!9!9!(1)()203P An30人人(1)(2)(3)(2)解法一解法一(“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”包括包括“3名运动员名运动员都都在在第第一组一组”,“3名运动员名运动员都都在在第二第二组组”,“3名运动员名运动员都都在在第三第三组组”三种情况三种情况.)()!710101071010107272010
15、271710271773010101018203C C CC C CC C CP B71010272010318()30!20310!10!10!C C CP B30人人(1)(2)(3)(2)解法二解法二(“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”相当于相当于“取一组有取一组有3名运动员名运动员,7名普通队员名普通队员,其余两组分配其余两组分配剩余的剩余的20名普通队员名普通队员.)答答:每组有一名运动员的概率每组有一名运动员的概率为为50/203;3名运动员集中在一个组的概率名运动员集中在一个组的概率为为18/203.例例9 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均
16、分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少?解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:55515105C C C.!5!5!5!15(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.)!4!4!4()!12!3(种种 因此所求概率为因此所求概率为!5!5!5!15!4!4!4!12!31 p.9125(2)将将3名
17、优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.!5!5!2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,)!5!5!2()!123(种种 因此所求概率为因此所求概率为!5!5!5!15!5!5!2!1232 p.916 定义定义 设样本空间是一个有限区域设样本空间是一个有限区域S.若样本点落若样本点落在在S内任何区域内任何区域G中的事件中的事件A的概率与区域的概率与区域G的测的测度（长度、面积或体积等）成正比，则区域度（长度、面积或体积等）成正比，则区
18、域S内内任意一点落在区域任意一点落在区域G内的概率为区域内的概率为区域G的测度与的测度与区域区域S的测度的比值，即的测度的比值，即().GP AS的的测测度度的的测测度度说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型就归结为几何概型.1.3.3 几何概型几何概型这一类概率通常称为几何概率这一类概率通常称为几何概率.(1)设线段设线段l是线段是线段L的一部分的一部分,向线段向线段L上任投一点上任投一点.lLp 的的长长度度的的长长度度 则点落在线段则点落在线段l上的概率为上的概率为常见的几何概率有以下三种情况常见的几何概率有以下三种情况:(2
19、)设平面区域设平面区域g是是平面区域平面区域G的一部分的一部分,向区域向区域G上任投一点上任投一点.则点落在区域则点落在区域g上的概率上的概率为为.gGp 的的面面积积的的面面积积(3)设空间区域设空间区域v是是空间区域空间区域V的一部分的一部分,向区域向区域V上任投一点上任投一点.则点落在区域则点落在区域v上的概率为上的概率为.vVp 的的体体积积的的体体积积例例10随机地向区间随机地向区间0,5内掷一点，求点落在内掷一点，求点落在区间区间1,3的概率的概率.解解,.1 30 525p 的的长长度度的的长长度度 那么那么.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为,tyx 例例
20、11 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在预在预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(tT)后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻这段时间内各时刻到达该地是等可能的到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵且两人到达的时刻互不牵连连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解解,时刻时刻的的分别为甲、乙两人到达分别为甲、乙两人到达设设yx故所求的概率为故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy t
21、yx 若以若以 x,y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标,则有则有 t T T例例12 甲、乙两人约定在下午甲、乙两人约定在下午1 时到时到2 时之间到时之间到某某站乘公共汽车站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定如果甲、乙约定(1)见车就乘见车就乘;(2)最多等一辆最多等一辆车车.求甲、乙同乘一车的概率求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到时到 2 时的任何时刻到
22、达车时的任何时刻到达车站是等可能的站是等可能的.xoy 1 2 见车就乘见车就乘的概率为的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p22)12()41(4 .41 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1设设 x,y 分别为分别为甲、乙两人到甲、乙两人到达的时刻达的时刻,则有则有,21 x.21 y解解 最多等一辆车最多等一辆车,甲、乙甲、乙同乘一车的概率为同乘一车的概率为.8521)161(341 pxoy 1 2 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1最简单的随机现象最简单的随机现象古典概型古典概型 古典概率古典概率()kA
23、P An所所包包含含样样本本点点的的个个数数样样本本点点总总数数几何概型几何概型试验结果试验结果连续无穷连续无穷 52张扑克平均分发给甲、乙、丙、张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁丁4个人，求个人，求(1)甲拿到甲拿到4个个A的概率；的概率；(2)4个个A在一个人手上的概率；在一个人手上的概率；(3)每人手上都有每人手上都有A的概率的概率.(),()()994848131352521212121248362412131313135239261341144124165416542197320825：！CCCCC C C CC C C C答答乘法公式乘法公式：设完成一件事需分两步，：设完成一件事需分两
24、步，第一步有第一步有n1种方法种方法,第二步有第二步有n2种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有n1n2种方法种方法加法公式加法公式：设完成一件事可有两种途径，第：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有一种途径有n1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n2种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有n1+n2种方法。种方法。有重复排列有重复排列：从含有：从含有n个元素的集合中随机个元素的集合中随机抽取抽取k 次，每次取一个，记录其结果次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，后放回，将记录结果排成一列，n n nn共有共有nk种排列方式种排列方式.无重复排列无重复排列：从含有：从含有n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k 次，次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有共有Ank=n(n-1)(n-k+1)种排列方式种排列方式.n n-1 n-2n-k+1组合组合：从含有：从含有n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k 个，个，共有共有种取法种取法.!()!kkknnnPnCCkk nk作业本三：P16 1,3,4,5.本二
