1、初二年级第一学期数学鲲鹏班讲义1在ABC中， ABAC，D是直线 BC上一点， 以 AD为一边在AD的右侧作ADE，使 AEAD， DAEBAC，连接 CE设BAC， DCEAAAEEBDC图BC图BCD图(1) 如图，点 D在线段 BC上移动时， 角 与 之间的数量关系是 ，并证明；证明你的结论；(2) 如图，点 D在线段 BC的延长线上移动时，角 与 之间的数量关系是 ，并证明；(3) 当点 D在线段 BC的反向延长线上移动时，请在图中画出完整图形并猜想角 与 之间的数量关系是 ，并证明2已知： 如图，在平面直角坐标系 xOy中，A(2,0) ，B(0, 4) ，点 O在第四象限，CA A
2、B，AC=AB(1) 求点 O的坐标及CAO的度数；(2)若直线 BC与 x轴的交点为 M，点 P在经过点C与 x轴平行的直线上，直接写出SPOM+ S:BOM的值3 已知： 如图，RtABC中， A=90(1) 按要求作图： (保留作图痕迹)延长 BC到点 D，使 CD=BD；延长CA到点 E，使 AE=2CA；连接 AD，BE并猜想线段 AD与 BE的大小关系；(2) 证明(1) 中你对线段AD与 BE大小关系的猜想DBCBNAHDllNNEM(E)CBC(M)B24 已知： 如图，ABC是等腰直角三角形， BAC=90，过点 C作 BC的垂线 l，把一个足够大的三角板的直角顶点放到点 A
3、处(三角板和ABC在同一平面内) ，绕着点 A旋转三角板， 使三角板的直角边 AM与直线 BC交于点 D，另一条直角边 AN与直线 l交于点 E.(1) 当三角板旋转到图 1 位置时，若 AC= ，求四边形 ADCE的面积；(2)在三角板旋转的过程中，请探究EDC与BAD的数量关系，并证明.llAAECM图1备用图5如图 1，在ABC中， ACB=2B， BAC的平分线 AO交 BC于点 D，点 H为 AO上一动点，过点 H作直线 lAO于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M.(1) 当直线 l经过点 C时(如图 2) ，求证： BN=CD；(2)当 M是 BC中点时，写出 C
4、E和 CD之间的等量关系， 并加以证明；(3) 请写出 BN、CE、CD之间的等量关系，并证明AHDOO图1图2ABDCO备用图ABDC备用图O36 如图， 在ABC中， AB=AC，A= 108，请你在图中， 分别用两种不同方法，将ABC分 而另外两个是不全等的等腰三角形 请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内割成四个小三角形， 使得其中两个是全等的不等边三角形(不等边三角形指除等腰三角形以外)，角的度数， 在每个等腰三角形中标出相等两底角度数(画图工具不限， 不要求证明，不要求写出画法，但要保留作图痕迹，若经过图形变换后两个图形重合， 则视为同一种方法) AABC图1BC图2
5、7阅读下列材料：通过 小 学 的 学 习 我 们 知 道 ， 分 数 可 分 为 “ 真 分 数 ” 和 “ 假 分 数 ” 而 假 分 数 都可化为带分数， 如： = = 2 + = 2 8 6 + 2 2 23 3 3 3我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为 “ 假分式 ” ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”x1x2 3 2x如：x+1 ，x1 这样的分式就是假分式，再如：x+1 ，x2 +1是真分式类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)如：x1= (x+1) 2= 1 2 ；x+1 x+1 x
6、+1再如： x2 = x2 1+1= (x+1)(x1) +1= x+1+ 1 x1 x1 x1 x1解决下列问题：(1) 分式 是分式(填“真分式”或“假分式”)；（2）假分式x-1x+2可以化为带分式的形式(3) 如果分式 2x-1x+ 1 的值为整数，那么 x的整数值为CDMA48在ABC中， AB=AC，点 D是射线 CB上的一动点(不与点 B、C重合) ， 以 AD为一边在AD的右侧作ADE，使 AD=AE， DAE=BAC，连接 CE(1) 如图 1，当点 D在线段 CB上，且BAC=90时，那么DCE= _度；(2)设BAC= ， DCE= 如图 2 ， 当 点 D在 线 段 C
7、B上， BAC 9 0。时，请你探究 与 之间的数量关系， 并证明你的结论； 如图 3 ， 当 点 D在线 段 CB的延 长 线 上 ， BAC 90。时 ，请将 图 3 补 充 完 整，并直接写出此时 与 之间的数量关系(不需证明)AAAEECDCBDD图 2BCB图 1图 39已知： 四边形 ABED中， ADDE、BEDE.(1) 如图 1，点 C是边 DE的中点，且 AB=2AD=2BE判断ABC的形状；(2) 保持图 1 中ABC固定不变，将直线 DE绕点 C旋转到图 2 中所在的 MN的位置(垂线段AD、BE在直线 MN的同侧) 探究线段 AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予
8、证明；(3) 保持图 2 中ABC固定不变，继续绕点 C旋转 DE所在的直线 MN到图 3 中的位置(垂线段 AD、BE在直线 MN的异侧) 中结论是否依然成立，若成立请证明； 若不成立， 请写出新的结论， 并给予证明ENNCECDEBBABAD图 1图 2M图 3BD510 阅读材料 1：对于两个正实数a,b，由于()20，所以()22.b+()20，即a2ab+ b0 ，所以得到 a+ b2ab，并且当 a= b时， a+ b= 2阅读材料 2：若 x0 ， 则 = + = x+ ， 因 为 x 0, 0 ， 所 以 由 阅 读 材 料 1 可 得 ，x2 +1x2 1 1 1xxxxxx
9、+ 2 x. = 2 ，即 的最小值是 2，只有 x= 时，即 x= 1 时取得最小值1 1 x2 +11xxxx根据以上阅读材料， 请回答以下问题：(1) 比较大小：x2 +12x(其中 x1)； x+ 2 (其中 x1)(2) 已知代数式变形为 x+ n+ ，求常数 n的值；x+ 3 + 3+1(3)当 x= 有最小值，最小值为. (直接写出答案)11在四边形 ABDE中， C是 BD边的中点(1) 如图(1)，若 AC平分 BAE， ACE=90, 则线段 AE、AB、DE的长度满足的数量关系为； (直接写出答案)EACD图(1)(2) 如图(2)， AC平分 BAE， EC平分 AED
10、，若 ACE= 120，则线段 AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明EABCD图(2)DCB=B，若 AC=10，BAC12已知： 如图，在ABC中， AD平分BAC，CDAD于点 D，AB=26，求 AD的长MMEAADNBCBBC图1D613 已知： 如图，AOB的顶点 O在直线 l上，且 AOAB(1) 画出AOB关于直线 l成轴对称的图形COD，且使点 A的对称点为点C； (2) 在(1)的条件下， AC与 BD的位置关系是；(3) 在(1) 、(2) 的条件下，联结 AD，如果ABD=2ADB，求AOC的度数OlAB14我们知道， 假分数可以化为整数与真分数
11、的和的形式.例如： =1+. 在分式中， 对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” .例如：像 ， ，这样的分式是假分式；像 ，x+ 1x2 4 x1 x 2 x 22xx+12 ， 这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式例如： = = + = 1 + ；x+ 1 (x-1) +2 x1 2 2x1 x1 x1 x1 x1= = = x+ 2+ .x2 x2 4 + 4 (x+ 2 )(x 2) + 4 4x 2 x 2 x 2 x 2(1) 将分式 化为整式与真分式的和的
12、形式；x+22x1x1(2) 如果分式 2x-1x+ 1 的值为整数，求 x的整数15 请阅读下列材料：问题： 如图 1 ，ABC中， ACB=90，AC=BC，MN是过点A的直线， DBMN于点 D，联结CD.求证： BD+ AD = CD小明的思考过程如下：要证 BD+ AD = CD，需要将 BD，AD转化到同一条直线上， 可以在MN上截取AE=BD，并联结 EC，可证ACE和BCD全等， 得到CE=CD，且ACE=BCD，由此推出CDE为等腰直角三角形， 可知 DE = CD，于是结论得证小聪的思考过程如下：要证 BD+ AD = CD，需要构造以 CD为腰的等腰直角三角形，可以过点
13、C作CECD交 MN于点 E，可证ACE和BCD全等， 得到 CE=CD，且 AE=BD，由此推出CDE为等腰直角三角形，可知 DE = CD，于是结论得证请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：(1) 将图 1中的直线 MN绕点A旋转到图 2 和图 3 的两种位置时， 其它条件不变， 猜想 BD，AD，CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；(2) 在直线 MN绕点 A旋转的过程中，当BCD=30 ，BD= 时， CD=_MADCNN图2图3A716 如图， 在ABC中， BAC=60，ACB=40，P、Q分别在 BC、是BAC、 ABC的角平分线求证： (1) BQ = CQ；
14、 (2) BQ+AQ=AB+BPCA上， 并且 AP、BQ分别QBPC17 在ABC中，BAC=90，AB=AC，点 D是线段 BC上的一个动点(不与点 B重合) DEBE于E， EBA=ACB，DE与 AB相交于点 F(1) 当点 D与点 C重合时(如图 1)， 探究线段 BE与 FD的数量关系，并加以证明；(2) 当点 D与点 C不重合时(如图2) ，试判断(1) 中的猜想是否仍然成立，请说明理由321818 如图，在直角ABC中， ACB=90，CDAB，垂足为 D，点 E在 AC上，BE交 CD于点G，EFBE交 AB于点 F，若 AC=BC，CE=EA，试探究线段 EF与 EG的数量
15、关系，并加以证明CEGAFDB19 在平面直角坐标系 xoy中， 等腰三角形 ABC的三个顶点 A(0 ，1)，点 B在 x轴的正半轴上，ABO=30，点 C在 y轴上(1) 直接写出点 C的坐标为；(2)点 P关于直线 AB的对称点 P在 x轴上， AP=1，在图中标出点 P的位置并说明理由；(3)在(2) 的条件下， 在 y轴上找到一点 M，使 PM+BM的值最小，则这个最小值为y123x-4-3-2-1O-1-2-320 解决下面问题：如图， 在ABC中， A是锐角，点 D，E分别在 AB，AC上， 且DCB= EBC= A，BE与 CD相交于点 O，探究 BD与 CE之间的数量关系，并证明你的结论小新同学是这样思考的：BDAEOC在平时的学习中，有这样的经验：假如ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图 a，BE，CD分别是两底角的平分线(或者如图 b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图 c，BE，CD分别是两条腰的中线) 时， 依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决BADEC图aBEDAC图 bADEBC(3) 如图9
