1、1122第第 8 章章 刚体的基本运动刚体的基本运动3 81 刚体的平行移动刚体的平行移动 82 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 83 定轴转动刚体内各点的速度与加速度定轴转动刚体内各点的速度与加速度 84 绕定轴转动刚体的传动问题绕定轴转动刚体的传动问题 85 角速度与角速度的矢量表示角速度与角速度的矢量表示 点的速度与加速度的矢积表示点的速度与加速度的矢积表示 习题课习题课 第第8章章 刚体的基本运动刚体的基本运动4第第8章章 刚体的基本运动刚体的基本运动例 由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 是指刚体的平行 移动和转动8
2、-18-1刚体的平行移动刚体的平行移动(平动平动)基本运动基本运动5OB作定轴转动作定轴转动CD作平动作平动AB、凸轮均作平动、凸轮均作平动位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。61、定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。7)0()(dtrdvdtrdrrdtddtrdvABAAABABB一一.刚体平动的定义刚体平动的定义:刚体在运动中刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变其上任意两点的连线始终保持方向不变。由由A,B A,B 两点的运动方程式两点的运动方程式:而而(t
3、)rr(t),rrBBAAABABrrrAAABABBadtrdrrdtddtrda222222)(:同理例例AB在运动中方向和大小始在运动中方向和大小始终不变终不变 它的轨迹它的轨迹可以是直线可以是直线可以是曲线可以是曲线8得出结论得出结论:即即二二.刚体平动的特点刚体平动的特点:平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度速度,加速度都一加速度都一样。样。即即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。98-2 8-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一一.刚体定轴转动的特征及其简化刚体定轴转动的特征及其简化 特点:有一条不变的
4、线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。二二.转角和转动方程转角和转动方程 -转角,单位弧度(rad)=f(t)-为转动方程 方向规定:从z 轴正向看去,逆时针为正 顺时针为负10三三.定轴转动的角速度和角加速度定轴转动的角速度和角加速度 1.角速度角速度：工程中常用单位：n=转/分(r/min)则则n与与w w的关系为的关系为:)nnn(rad/s1030602w)(:tf w则单位单位 rad/s若已知转动方程f(t)(lim :0代数量定义wdtdtt112.角加速度角加速度:设当t 时刻为,t+t 时刻为+w w 与与w w方向一致为加速转动方向一致为加速转动,与与w
5、w 方向相反为减速转动方向相反为减速转动 3.匀速转动和匀变速转动匀速转动和匀变速转动当w w=常数常数,为匀速转动匀速转动；当=常数常数,为匀变速转动匀变速转动。02002200122()tttwwwww 常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的运动相类似。220:lim()tddfttdtdtww 角加速度单位单位:rad/s2(代数量代数量)12 w w,对整个刚体而言(各点都一样)；v,a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。tSdtdSvt0limRtRvtw0limRvw(即角量与线量的关系)8-3 8-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度一一.线速度线速度V
6、和角速度和角速度w w之间的关系之间的关系13(),dvddaRRRdtdtdtww222)(wwRRRvan2224|nnaaaaaRw全22tg naRaRww二二.角加速度角加速度 与与an,a 的关系的关系指向由指向由 转向确定转向确定指向转轴指向转轴O O14结论结论:v方向与方向与w w 相同时为正相同时为正,R,与与 R 成正比。成正比。各点的全加速度方向与各点转动半径夹角各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致都一致,且且 小于小于90o ,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:各点速度分布图各点速度分布图各点加速度分布图各点加速度分布图15
7、 我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢?8-4 8-4 绕定轴转动刚体的传动问题绕定轴转动刚体的传动问题一一.齿轮传动齿轮传动因为是做纯滚动(即没有相对滑动)定义齿轮传动比齿轮传动比EFEFFEEFZZrriwwEFvv EFvv EEFFrrww1.1.内啮合内啮合16DDCCDCDCrrvvvvwwCDCDDCCDZZrriwwtrZ2齿数EFEFEFZZtrtrrr/2/22.外啮合外啮合17由于转速n与w 有如下关系：成正比2121 602nnnwww从动轮主动轮即121221212,1:zzrrnniww显然当:时,为升速转动；时,为降速转
8、动。1|2,1i12ww1|2,1i12ww 有些场合为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值，正号表示主动轮与从动轮转向相同（内啮合），负号表示转向相反（外啮合）。18三三.链轮系链轮系:设有：A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：HGGFFEEDDCCBBAmHGGFFEEDDCCBBAmHAHAiiiiiiii,)1()1(wwwwwwwwwwwwwwww 其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。二二.皮带轮系传动皮带轮系传动BAvv (而不是 方向不同)BAvv BBAArrww皮带传
9、动ABBAABrriww198-5 8-5 角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示一一.角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示|:|dtdw大小kww方向如图按右手定则规定按右手定则规定 ，的方向。的方向。w w ddddkkttww20角速度矢量ddtwww大小作用线 沿轴线滑动矢量指向右手螺旋规则kww角加速度矢量ddddkkttww21二、二、刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示w Rvrvw()dvdradtdtddrrdtdtrvwwwwarvwvrarwvanwww
10、wRrrsin|任一点速度的矢积表示任一点速度的矢积表示的方向亦相同，和而的大小相同，和rvrvww 任一点加速度的矢积表示任一点加速度的矢积表示22|sinaRrrRar，而和方向亦相同，方向亦相同，和而vaRvvRanonwwwww,90sin|22arvanwvrarwvanw23一一.基本概念和基本运动规律及基本公式基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：直线运动基本概念：直线运动,曲线运动曲线运动 (点点);平动平动,定轴转动定轴转动 (刚体刚体)。2.基本运动规律与公式基本运动规律与公式:第第 8 8 章章 刚体的基本运动刚体的基本运动习题课习题课24 刚体定轴转动刚体定轴转
11、动转动方程转动方程:角速度角速度:)(tf dtd w w 22dddtdtw角加速度角加速度:匀速转动匀速转动:匀变速运动匀变速运动:tw00tww20012ttw22002()ww 25例例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得30,m/s 402Ma求：转动方程;t5s时，点的速度和 向心加速度的大小。sinaRa2rad/s 504.030sin40sinRaRa解：解：2220025502121,0ttttww225t转动方程M26ttRvttM20504.0 ,50 0www222m/s250004.0100RvaMnM当当5s时，时，m/s10052
12、0MvM27 例7-1 如图7-6所示，曲柄O1A绕O1轴转动，其转动方程为 （rad），O2B 杆绕 O2 轴转动，且杆O1A与杆O2B平行等长，O1A=O2B=0.6 m，试求当 ，直杆AB上D点的速度和加速度。B D A nAa O2 O1 nDa Aa vA vD Da aD w 图 7-6 23t1st 解：由于O1A与O2B平行等长，则直杆AB作平动。曲柄O1A的角速度和角加速度为：d2d3ttwrad/s d2d3twrad/s2 28直杆AB上D点的速度和加速度分布等于A点的速度和加速度。当 时st1120.61.2563DAvvO Awm/s 120.61.2563DAaaO
13、 Am/s2 22120.62.6293nnDAaaO Awm/s2 m/s2 D点的全加速度为 2222=()+()=1.2562.6292.914nDDDaaa全加速度与转动半径的夹角为 2tan0.477725.5DnDaaw2924tt 例7-2 如图7-7所示，一半径为R=0.2 m圆轮绕O轴作定轴转动，其转动方程为 （1）当t=1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端悬一物体A，求当t=1 s时，物体A的速度和加速度。A v A a A vM aM w R O nMa Ma M 图 7-7 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 d24dt
14、tw rad/s d2dtw rad/s2 当t=1 s时，轮缘上任一点 M 的速度和加速度为 30=0.2 20.4MvRwm/s m/s2 0.2(2)0.4MaR 22=0.2 20.8MnaRwm/s2 点M的全加速度为 m/s2 22+0.8944nMMMaaa22tan0.526.572MnMaa A物体作直线运动的速度和加速度的大小与轮缘上M点的速度大小和切向加速度大小相等，即 0.4 m/sAMvv20.4 m/sAMaa 31三三.变速箱传动比变速箱传动比 实例：实例：为主动轴（联电机）n1=1450rpm，z1=14，z2=42，Z3=20，z4=36。求：求：变速箱的总传
15、动比 i13 及 轴的转速n3。n1n2n332轴与轴 ：122112zznni轴与轴 ：343223zznni轴与轴总传动比：2312341232213113iizzzznnnnnni4.52036144234123113zzzznnirpm5.2684.514501313inn推广至推广至 k 级传动，则有变速箱的总级传动，则有变速箱的总传动比传动比 ：(k为齿轮的对数）主动轮齿数的乘积从动轮齿数的乘积1231242)1(1kkkzzzzzzin1n2n333例7-1 刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为 。5sin5cos5 322ttijkw 求：t=1s时,刚体上点M（
16、0，2，3）的速度矢及加速度矢。10 31510ijk 5sin5cos5 322023ijkttvrw解:ddarvrvtwww1575 3200752ijk 34解：角速度矢量nwwM点相对于转轴上一点M0的矢径 010,7,112,1,38,6,8MMrrr0.60.480.6486868ijkvrn rjkwww0.6 0.48 0.64n 其中（，）求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。例7-2 某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小=25rad/s。w35例例5试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。)
17、,(2121ABOOBOAO 36例例3已知：重物A的2m/s1Aa（常数）初瞬时速度m/s5.10v方向如图示。求：,m5.0R m30 .r滑轮3s内的转数；重物B在3s内的行程；重物B在3s时的速度；滑轮边上C点在初瞬时的加速度；滑轮边上C点在3s时的加速度。372rad/s 25.01RaCrad/s35.05.1 ,m/s5.10RvvvCACw）常数（）,m/s12ACaa解解：因为绳子不可以伸长，所以有转）(86.22,rad1832213321220wnttm4.5183.0rs m/s7.293.0wrvB），rad/s 9323 0tww（38 t=0 时，22202m/s5.435.0,m/s1wRaaanCAC 5.12 ,222.05.41tgm/s 61.45.41)()(22222nCCnCCCaaaaa t=3s 时，222m/s5.4095.0,m/s12wRaaanCAC41.1 ,0247.051.401 tg,m/s51.405.401222Ca39
