1、第一节第一节 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法第五章第五章 不定积分不定积分 一、一、换元积分法换元积分法 二、二、分部积分法分部积分法 三、三、简单有理数的积分简单有理数的积分 第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法 1 1第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)直接验证得知直接验证得知,计算方法正确计算方法正确 例例 1 1 求求xxde3.解解 被积函数被积函数x3e是复合函数，不能直接套用公式是复合函数，不能直接套用公式 ，我们可以把原积分作下列变形后计算：，我们可以把原积分作下列变形后计算：Cxxxede
2、xuxxxx3)d(3e31de33令Cuuue31de31回代31Cx3e.例例 2 2 求求xxxde22 解解 注注意意到到被被积积式式中中含含有有 2ex项项,而而余余下下的的部部分分恰恰有有 微微分分关关系系：22 dd()x xx于于是是类类似似于于例例 1,可可作作如如下下变变 换和计算：换和计算：一、换元积分法一、换元积分法.eede)(dede222222CCuxuxxxxuuxx回代令上上述述解解法法的的特特点点是是引引入入新新变变量量)(xu,从从而而把把原原积积分分化化为为关关于于u的的一一个个简简单单的的积积分分，再再套套用用基基本本积积分分公公式式求求解解,现现在在
3、的的问问题题是是，在在公公式式 Cxxxede中中，将将 x换成了换成了)(xu,对应得到的公式对应得到的公式Cuuuede是否是否 还成立还成立?回答是肯定的回答是肯定的,我们有下述定理：我们有下述定理：定定理理 如如果果CxFxxf)(d)(，则则 .)(d)(CuFuuf其其中中)(xu是是x的的任任一一个个可可微微函函数数 证证 由由 于于CxFxxf)(d)(,所所 以以xxfxFd)()(d根根据据微微分分形形式式不不变变性性,则则有有：uufuFd)()(d其其中中)(xu是是x的的可可微微函函数数，由由此此得得 .)()(dd)(CuFuFuuf 这这个个定定理理非非常常重重要
4、要，它它表表明明：在在基基本本积积分分公公式式中中，自自变变量量x换换成成任任一一可可微微函函数数)(xu后后公公式式仍仍成成立立 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一结论，结论，上述例题引用的方法上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程可一般化为下列计算程 序：序：)()(d)(d)()(xuxxfxxxf令凑微分.)()(d)(CxFCuFuuf回代 这这种种先先“凑凑”微微分分式式，再再作作变变量量置置换换的的方方法法，叫叫第第换换一一元元积积分分法法，也也称称凑凑微微分分法法 例例 3 3 求求xxxdsincos2.解解 设设,co
5、s xu 得得xxudsind,.cos3131ddsincos3322CxCuuuxxx方法较熟悉后方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤可略去中间的换元步骤,直接凑微直接凑微分成积分公式的形式分成积分公式的形式 例例 4 4 求求xxx2ln1d 解解 222d1d1d ln1ln1ln1lnarcsin ln.xxxxxxxxxC 例例 5 5 求求xxxdsin 解解 Cxxxxxxcos2dsin2dsin 凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成哪一部分凑成)(dx,这需要解题经验这需要解题经验,如果记熟下列一如果记熟下列一些微分
6、式些微分式,解题中则会给我们以启示解题中则会给我们以启示 ，)(d1dbaxax ，)(d21d2xxx ，)(d2dxxx ，)e(ddexxx ，|)|(lndd1xxx ，)(cosddsinxxx ，)(sinddcosxxx ，)(tanddsec2xxx ，)(cotddcsc2xxx ，)(arcsind1d2xxx )(arctand1d2xxx 下面的例子下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧将继续展示凑微分法的解题技巧 例例 6 6 求下列积分：求下列积分：(1)(1)；)0(d22axax (2)(2)；22dxax (3)(3)；xxdtan (4)(4)；xxdco
7、t (5)(5)；xxdsec (6)(6).dcscxx axaxxaxaxaxd11d11d2222 解解（1 1）=.arcsinCax 类似得类似得(2)(2).arctan1d22Caxaxax (3)(3).|cos|lncos)(cosddcossindtanCxxxxxxxx 类类似似得得(4 4).|sin|lndcotCxxx (5 5)xxxxxxxxxxxxxxdsectantansecsecdsectan)tan(secsecdsec2 .|tansec|ln)sec(tand)sec(tan1Cxxxxxx类似得类似得(6)(6)Cxxxx|cotcsc|lndcs
8、c 本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用 例例 7 7 求下列积分：求下列积分：(1 1)；xaxd122 (2 2)；xxxd432(3 3)1d1exx；(4)(4)；xxdsin2 (5)(5)；xxdcos11(6)(6)xxxd3cos5sin 解解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形积函数做适当变形 xaxaxaxaxd1121d1122dd21axaxaxaxaCaxaxalnln21.ln21Caxaxa（）xxxxxxxxd44d3d43222 224d4212ar
9、csin3xxx.42arcsin32Cxx（）xxxxxxxxxde1e1de1ee1de11 xxxe1de11d.e1lnCxx（）xxxxxxxd2cos21d21d22cos1dsin2 xxx2d2cos4121.2sin4121Cxx（）2d2cos12cos2ddcos1122xxxxxx .2tanCx（）（）xxxxxxd2sin8sin21d3cos5sin （积化和差）（积化和差）xxxx2d2sin218d8sin8121.2cos418cos161Cxx例例 8 8 计计算算积积分分2dxxx 解一解一 222121d22141ddxxxxxxx .12arcsin
10、12112d2Cxxx解二解二 因为因为,d2dxxx所以所以 .arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx 本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式 的积分结果的积分结果 第二换元积分法第二换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量第一换元积分方法是选择新的积分变量 ,xu但但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令,tx把把 t作为新积分变量，才能积出结果，即作为新积分变量，才能积出结果，即 dxtfxx换元 11d.txftttF tCFxC积分回代这这种种方方法法叫叫第第二二换
11、换元元法法 使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数,tx 对于对于,tx要求其单调可导，要求其单调可导，,0 t且其反函数且其反函数 xt1存在存在下面通过一些例子来说明下面通过一些例子来说明 例例 求求xxxd1.解解 为了消去根式，可令为了消去根式，可令,02ttx则则.d2dttx 于是于是 tttttttxxxd12d21d12ttttttd1112d11122222ln 1tttC22ln 1.txxxxC回 代例例 求xxxd1313 解解 令令,133tx即即,1313tx则则ttxdd2代代入入后后，得得 34521111d2d315331
12、xxtttttCx.2135132Cxx由由以以上上二二例例可可以以看看出出：被被积积函函数数中中含含有有被被开开方方因因式式 为为一一次次式式的的根根式式nbax时时,令令tbaxn可可以以消消去去根根号号，从从而而求求得得积积分分下下面面重重点点讨讨论论被被积积函函数数含含有有被被开开方方因因式式 为为二二次次式式的的根根式式的的情情况况 例例 求求.d22xxa 解解 作作三三角角变变换换，令令sin,22xatt 那那么么 ,dcosdcos22ttaxtaxa且于是于是 ttattaxxad22cos1dcosd22222 22sin2.24aattC为把为把t t回代成回代成 x
13、的函数，可根据的函数，可根据axt sin,作辅助直角三角形（如右图），作辅助直角三角形（如右图），得得 axat22cos 所以所以 Cxaxaxaxxa2222221arcsin2d.x a a 2 x 2-例例 求求0d2322axax.解解 令令2tandsecd22xattxat t，则 所以所以 Ctattattataxaxsin1dcos1dsecsecd233322322 由由右右图图所所示示的的直直角角三三角角形形，得得 ,sin22xaxt故故 .d2222322Cxaaxxax x a a 2 x 2+t 一般地说，当被积函数含有一般地说，当被积函数含有(1)(1)22xa，可作代换，可作代换taxsin；(2 2)22xa，可可作作代代换换taxtan；(3 3)22ax，可可作作代代换换taxsec 通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重 要组成部分，但在具体解题时要组成部分，但在具体解题时,还要具体分析还要具体分析,例如，例如，xaxxd22 就不必用三角代换，而用凑微分法更为方就不必用三角代换，而用凑微分法更为方 便便
