1、1第三章第三章 一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组 前面几章研究了只含前面几章研究了只含一个未知函数一个未知函数的一阶或的一阶或高阶方程高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到往往要涉及到若干个未知函数若干个未知函数以及它们导数的方程以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，所组成的方程组，即微分方程组，本章将介绍本章将介绍一阶微分方程组一阶微分方程组的一般解法，的一般解法，重点仍在线性方程组的重点仍在线性方程组的基本理论基本理论和和常系数线性方程常系数线性方程的解法上的解法上.23.1 3.1 微分方程方程组的微分方程方程组的概念
2、概念3.2 3.2 线性微分方程组的线性微分方程组的基本理论基本理论3.3 3.3 常系数齐次常系数齐次线性微分方程组线性微分方程组3.4 3.4 常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组线性微分方程组3Volterra 捕食捕食-被捕食模型被捕食模型设有设有捕食种群捕食种群和和食饵种群食饵种群生活在同一小环境中生活在同一小环境中,建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的变化趋势变化趋势.设设 t 时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为),(),(tytx假设个体不区分大小假设个体不区分大小,而且没有个体而且没有个体向环境
3、输入或从环境输出向环境输入或从环境输出.一、微分方程组的实例及有关概念一、微分方程组的实例及有关概念 3.1 3.1 微分方程组的概念微分方程组的概念4.),(dd111kraaxrxtx ),1(dd11kxxrtx 1k为为环境的容纳量环境的容纳量.当当1kx 时时,种群规模增长种群规模增长,1kx 时时,种群规模减小种群规模减小.当环境中不存在捕食者时当环境中不存在捕食者时,食饵种群食饵种群的的增长规律用下述增长规律用下述Logistic方程来描述方程来描述ax 称为称为密度制约项密度制约项.5由于由于捕食者的存在捕食者的存在,将使食饵的增长率减少将使食饵的增长率减少,设单位时间内每个捕
4、食者吃掉的食饵数量与设单位时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的总量成正比该时刻食饵的总量成正比,t 时刻有时刻有y(t)个捕食者个捕食者,它们在单位时间内吃掉食饵的总数量为它们在单位时间内吃掉食饵的总数量为0,bbxy).(dd1byaxrxtx .),(dd111kraaxrxtx 食饵种群食饵种群).(dd2dyryty 对于对于捕食种群捕食种群,当不存在食饵种群时当不存在食饵种群时,Logistic方程描述增长规律方程描述增长规律:项反映了捕食者仅以食饵项反映了捕食者仅以食饵 x为生为生.yr2 6 当当存在食饵种群存在食饵种群时时,被捕食者吃掉的食饵被捕食者吃掉的食饵将转化为能
5、量去生育后代将转化为能量去生育后代,设转化系数为设转化系数为,k则捕食种群的则捕食种群的增长规律为增长规律为).(dd2dycxryty ).(dd2dyryty Volterra 捕食捕食-食饵系统食饵系统:)(dd)(dd21dycxrytybyaxrxtx7质点的空间运动质点的空间运动已知在空间运动的质点已知在空间运动的质点),(zyxp的速度与的速度与时间时间 t 及点的坐标及点的坐标),(zyx的关系为的关系为且质点在时刻且质点在时刻),(000zyx0t经过点经过点求该质点的运动轨迹求该质点的运动轨迹.).,(dd),(dd),(dd221zyxtftzzyxtftyzyxtftx
6、 这个问题其实就是求微分方程组这个问题其实就是求微分方程组满足初始条件满足初始条件000000)(,)(,)(ztzytyxtx 的的解解).(),(),(tztytx8高阶微分方程高阶微分方程).,()1()(nnyyyxfy,.,1)1(21 nnyyyyyy令令则可以化为方程组则可以化为方程组:).,(dd,dd,dd1211211nnyyyxfxyyxyyxy高阶微分方程组高阶微分方程组?今后我们只研究今后我们只研究一阶微分方程组一阶微分方程组.9含有含有个未知函数个未知函数的的一阶微分方程组一阶微分方程组线性微分方程组线性微分方程组?非线性微分方程组非线性微分方程组?微分方程组的解微
7、分方程组的解?).,(dd.),.,(dd),.,(dd2121222111nnnnnxxxtftxxxxtftxxxxtftxn),.,2,1(),(),.,(),(,(dd21nitxtxtxtftxnii )(),.,(),(21txtxtxnnxxx,.,2110通解及通积分通解及通积分 如果通解满足方程组如果通解满足方程组 ,0).,;.,(.,0).,;.,(11111nnnnnccxxtccxxt 则称为方程组的通积分则称为方程组的通积分.含有含有 个任意常数个任意常数 的解的解 为方程组的通解为方程组的通解.这里这里相互独立相互独立.nccc,.,21nccc.,21 ),.,
8、(.),.,(212111nnnnccctxccctx n11二、二、函数向量与函数矩阵函数向量与函数矩阵（1 1）函数向量和函数矩阵函数向量和函数矩阵,)()()()(21 txtxtxtxnn维函数向量维函数向量,)()()()()()()()()()(2121222111211 tatatatatatatatatatAnnnnn注：关于向量或矩阵的注：关于向量或矩阵的代数运算代数运算!为为 上的函数上的函数.I)(,taji),(txi阶函数矩阵阶函数矩阵nn 12关于函数向量与函数矩阵的关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分连续、微分、积分?,)()()()(21 txtxtxtxn
9、,)()()()()()()()()()(2121222111211 tatatatatatatatatatAnnnnn,)()()(0001 dssxdssxdssxttntttt.)()()()()(000002111 ttnnttnttnttttdssadssadssadssadssA133.,xyxyABAB2.,xxAA对任意常数对任意常数,性质：性质：1.0 x 且且 00ixx);,2,1(ni且且00ijAa0A);,2,1,(nji（2 2）矩阵及向量的范数）矩阵及向量的范数 1niixx1nijijAa4.,.AxA xABAB5.()()bbaax s dsx s ds(
10、)()bbaaA s dsA s ds14向量序列和矩阵序列的收敛向量序列和矩阵序列的收敛称为收敛的，称为收敛的，Tnkkkkkxxxxx),(,21 向量序列向量序列如果如果数列数列 Nixik ,都是收敛的。都是收敛的。上收敛的（一致收敛的），上收敛的（一致收敛的），Tnkkkkkxxxtxtx),()(,)(21 函数向量序列函数向量序列称为在在区间称为在在区间bta 如果如果 函数列函数列 Nitxik ,)(都是收敛的（一致收敛的）。都是收敛的（一致收敛的）。在区间在区间bta 15函数向量级数函数向量级数如果其如果其部分和部分和所作所作成的成的函数向量序列函数向量序列是收敛的是收敛
11、的(一致收敛的一致收敛的).).1)(kktx与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论.例如：判别通常的函数级数的一致收敛性例如：判别通常的函数级数的一致收敛性的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也成立。的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也成立。1)(kktx在区间在区间I上收敛上收敛(一致收敛一致收敛),则称则称 在区间在区间I16如果如果,)(btaMtxkk 而级数而级数 1kkM是收敛的，则函数向量级数是收敛的，则函数向量级数 1)(kktx在区间在区间bta 上是上是一致收敛一致收敛的。的。如果连续函数向量序列如果连续函数向量序列 )
12、(txk在在,ba上是上是一致收敛的，一致收敛的，则则.d)(limd)(limttxttxbakkbakk 函数矩阵序列的收敛函数矩阵序列的收敛?17（3）微分方程组的向量表示微分方程组的向量表示 ).()()(dd),()()(dd11111111tfxtaxtatxtfxtaxtatxnnnnnnnn矩阵形式矩阵形式:记记TnnnijxxxxtatA),.,(,)()(21 ,)(),.,(),()(21TntftftftF)()(ddtFxtAtx 初始条件初始条件.)(,)(,)(002020101nnnxtxxtxxtx 初始值问题初始值问题:,),(002010Tnxxxx.)(
13、00 xtx 18三、三、微分方程组解的存在唯一性定理微分方程组解的存在唯一性定理则初值问题则初值问题 ,)()()(dd000batxtxtFxtAtx定理定理4.1 4.1 设设 和和 在在 上上连续连续,)(tA)(tF,ba在在 内内存在惟一解存在惟一解 .),(ba)(txx 19证明证明:（1 1）设设 为的满足初始条件为的满足初始条件的解的解.（2 2）构造）构造PicardPicard迭代向量函数序列迭代向量函数序列,00)(xtx ttssFsxsAxtx0d)()()()(0的解的解,ttnnssFsxsAxtx0d)()()()(10)(tx则则 是积分方程是积分方程)(
14、tx取取 ,00)(xtx 为区间为区间 上的连续函数列上的连续函数列.,ba令令 ttssFsxsAxtx0,d)()()()(001.20 ttnnssFsxsAxtx0d)()()()(10级数的部分和级数的部分和 niniitxtxtxtx110).()()()(.,)(!)()(0011bttttmMLtxtxmmmm 由由Weiestrass 判别法判别法,级数一致收敛级数一致收敛,所以向量函数序列所以向量函数序列一致收敛一致收敛.构造构造 110),()()(iiibtatxtxtx（3）序列序列 在在 上是一致收敛的上是一致收敛的.)(txn,ba令令)()(limtxtxnx
15、 21 ttnnssFsxsAxtx0d)()()()(10 ttnnnnssFsxsAxtx0d)()()(lim)(lim10 ttnnssFsxsAx0d)()()(lim10 ttssFsxsAxtx0d)()()()(0)()(limtxtxnx （4）是积分方程在是积分方程在 上的连续解上的连续解.)(tx,ba22(5)(5)解的唯一性解的唯一性 设设 是积分方程的另一连续解是积分方程的另一连续解,则有则有()y t00()()()()tty txA s y sF s ds令令 ,()()()g tx ty t所以所以 ()0,g tta b即即 .()()x ty t则则0()()()()ttg tA s x sy s ds00()()()()ttttA sx sy sdsLg s ds23对于高阶线性方程对于高阶线性方程),()()()()2(2)1(1)(tfxtaxtaxtaxnnnn 利用变换利用变换nnxxxxxx )1(21,将其化为方程组将其化为方程组其中其中,),()(21Tnxxxtx,)(,0,0()(TtftF,)()()(000010)(11 tatatatAnn)()(ddtFxtAtx
