1、1.1.1 变量与区间1.1.2 函数的概念1.1.3 函数的特性1.1.4 复合函数与反函数1.1 函数2022-12-221北京师范大学北京师范大学21.1.1 1.1.1 变量与区间变量与区间1.1.集合集合 具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体，组成，组成这个集合的事物称为该集合的这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA|所所具具有有的的特特征征xxM 有限集合有限集合无限集合无限集合,Ma,Ma.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA记作记作12,nAa aa 一般集合一般集合2022-12-22北京师范大学3数集分类数集分类:N-
2、自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:R.QQ,ZZN,.,相等相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA)(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,|2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2022-12-22北京师范大学42.2.区间区间指介于某两个实数之间的全体实数指介于某两个实数之间的全体实数.这这两个实数叫做区间的两个实数叫做区间的端点端点.,baRba 且且|bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记
3、作记作|bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboabx2022-12-22北京师范大学5|bxax|bxax 称为半闭区间称为半闭区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作|),xaxa|),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义：区间长度的定义：两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的称为区间的长度长度.2022-12-22北京师范大学63.3.邻域邻域.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.|)(axaxaU
4、xa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.|0|)(axxaU,|邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 2022-12-22北京师范大学74.4.常量与变量常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母 a,b,c 等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母 x,y,t 等表示等表示变变量量.2022-12-22北京师范大学85.5.绝对值绝对值0,0,aaaaa)0(a运算性质
5、运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:2022-12-22北京师范大学9例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长)2sin(22nnrSn,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)1.1.2 1.1.2 函数的概念函数的概念)sin(2nnrln2022-12-22北京师范大学102022-12-22北京师范大学112022-12-22北京师范大学12因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx (),Wyyf xxDD叫做
6、这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy ).()(DfDxfyf 域域和值和值域域的定义的定义函数函数 函数值的全体组成的数集：函数值的全体组成的数集：称为函数的值域称为函数的值域.:RfD 或2022-12-22北京师范大学13()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素：函数的两要素：定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（的一切实数值（自然定义域自然定义域）.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D2022-12-22北京师范
7、大学14定义：定义：.)(),(|),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 若自变量在定义域内若自变量在定义域内任取一个数值时，对任取一个数值时，对应的值不唯一，称其应的值不唯一，称其为为多多值函数，值函数，否则单单值函数。值函数。多值函数可可化为若干单值函数。化为若干单值函数。222xya如如，C2022-12-22北京师范大学15 (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例：几个特殊的函数举例：1-1xyoxxx sgn2022-12-22北京师范大学16(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示
8、不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x2022-12-22北京师范大学17 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数 Dirichlet18051859德国数学家。德国数学家。在数论、分析在数论、分析和数学物理方和数学物理方程等领域有杰程等领域有杰出贡献，为继出贡献，为继高斯之后与雅高斯之后与雅可比齐名的德可比齐名的德国数学界的核国数学界的核心人物之一。心人物之一。2022-12-22北京师范大学18(4)取最值函
9、数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2|)()(|2)()()(),(maxxgxfxgxfxgxf2|)()(|2)()()(),(minxgxfxgxfxgxf2022-12-22北京师范大学19 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数。2022-12-22北京师范大学20例例 1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
10、其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0(tt解解UtoE),2(E)0,(2,21,0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU2022-12-22北京师范大学21,),(时时当当 t.0 U ),(,0,2(),(22,0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2 2()EUt 即即()UU t 是一个分段是一个分段函数，其表达式为函数，其表达式为2022-12-22北京师范大学22例例 2 2.)3(,212101)(定义域定义域的的求函数求函数设设 xfxxxf解解
11、 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故2022-12-22北京师范大学23M-Myxoy=f(x)D有界有界1函数的有界性函数的有界性:1.1.3 1.1.3 函数的特性函数的特性无界无界M-MyxoD0 xy=f(x)2022-12-22北京师范大学242函数的单调性函数的单调性:12()()(1)f xf x)(xfy)(1xf)(2xfxyoD设设 在在 上有定义，若对点集上有定义，若对点集 上的任意上的任意()f xDD12()(),f xf x 若不等式改为若不等式改为两点两点 及及 ，当，当 时，恒有时，恒有1x12xx 2x成
12、立，则称成立，则称 为点集为点集 上的上的增函数增函数；()f xD则称则称 为点集为点集 上的上的严格增函数严格增函数.()f xD2022-12-22北京师范大学2512()()(1)f xf x 设设 在在 上有定义，若对点集上有定义，若对点集 上的任意上的任意()f xDD12()(),f xf x 若不等式改为若不等式改为两点两点 及及 ，当，当 时，恒有时，恒有1x12xx 2x成立，则称成立，则称 为点集为点集 上的上的减函数减函数；()f xD则称则称 为点集为点集 上的上的严格减函数严格减函数.()f xD)(xfy)(1xf)(2xfxyoD2022-12-22北京师范大学
13、263函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yx)(xf )(xfy ox-x)(xf2022-12-22北京师范大学27奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 2022-12-22成立，则称成立，则称 为为 上的上的周期函数周期函数，称为函数称为函数()f xDT北京师范大学284函数的周期性函数的周期性:（注：通常周期是指（注：通常周期是指最小正周期最小正周期）()()f xTf x12T 12T32T 32TxD 正数正数 使得对于任意使得对于任意 ，有，有 ，且，且xTD T设设 在点集在点集 上有定义上有定义 ，若存在不为零的，若存在不为零的D()f x()f x的的周
14、期周期.2022-12-22北京师范大学29例例 3 3解解,01)(QxQxxD设设.)().21(),57(的的性性质质并并讨讨论论求求xDDDD ,1)57(D,0)21(D,1)(xDDoxy1单值、有界、偶函数单值、有界、偶函数周期函数，但无最小正周期周期函数，但无最小正周期单调，但非严格单调函数单调，但非严格单调函数2022-12-22北京师范大学301.复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy ,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y1.1.4 1.1.4 复合函数与反函数复合函数与反函数2022-12-22北京师范大学31注意注意:1.不是任何两个函数都可以
15、复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2022-12-22北京师范大学32y(|2)2022-12-22北京师范大学33x(|2)x(3,1)2022-12-22北京师范大学340 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o2.反函数反函数2022-12-22北京师范大学35)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(b
16、aP)(xy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称。对称。xy 2022-12-22北京师范大学36思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.2022-12-22北京师范大学37思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故).0(,11)(2 xxxxf2022-12-22北京师范大学38思考题思考题,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)(xxgu2022-12-22北京师范大学39思考题解答思考题解答2)()1
17、(xxxgfy ,10|xxDx21,0)(Df)2(不能不能01sin)(xxg)(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集的定义域之交集是空集.2022-12-22北京师范大学40课堂练习题课堂练习题2022-12-22北京师范大学41._2lnsin5复复合合而而成成由由、函函数数xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(62的的定定义义域域为为，的的定定义义域域为为，的的定定义义域域为为，为为）的的定定义义域域（，则则，的的定定义义域域为为、若若 aaxfaxfaaxfxfxfxf._)(ln31)(4的的定定义义域域为为，则则函函数数，的的定定义义域域为为、函函
18、数数xfxf2022-12-22北京师范大学4211()01()e11()().xxf xxg xxf g xg f x ，二二、若若，求求，四四、火车站行李收费规定如下：火车站行李收费规定如下：2020千克以下不收费，千克以下不收费，20205050千克每千千克每千克收费克收费0.200.20元，超出元，超出5050千克超出部分每千克千克超出部分每千克0.300.30元，试建立行李收费元，试建立行李收费f(x)()(元元)与行李重量与行李重量x（千克）之间的函数关系（千克）之间的函数关系.2022-12-22北京师范大学43课堂练习题答案课堂练习题答案2022-12-22北京师范大学442022-12-22
