1、数列求和专题 数 列 求 和 介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1 运 用 公 式 法 3 错 位 相 减 法 4 裂 项 相 消 法 2 通 项 分 析 法（分组求和法）5 奇偶并项求和法 1.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad?111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq?11 23(1)2nn n?22221123(1)(21)6nn nn?23333(1)1232n nn?例1 1：若实数a,b满足：求：分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a
2、，公比为ab，因此由题设求出 a,b，再用等比数列前 n项和公式求和 2249462 0abab?23 2100 99aa b a ba b?22(441)(961)0aabb?解：由已知有1.3b?1解得a=，222(31)0b?即：（2a-1）23210099aababab?1001()1aabab?100111()26116?10031(1).56?例2 求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)解：1，1/a,1/a21/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n 项和公式不再成立。111111naa?111nnnaaa
3、?例2 求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)解：当a=1时，S?当a1时，111111naSa?1n?；111nnnaaa?1111nnnSaaa?n+1，a=1a?S在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q1两种情况讨论求解。对策：对策：2.2.分组求和法分组求和法：若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 可求出前n项和 则 nnnabc?nc nbbscs na例3.求下列数列的前n项和（1）111112,4,6,248162nn?222221112(),(),()nnxxxxxx?解（1）：该数列的通项公式为 1122nnan?1111
4、1246(2)48162nnsn?1111(2462)()482nn?111(22)421212nnn?111(1)22nnn?22211(2)()2nnnnnaxxxx?1x?当时，1nx?当时，S242242111()()2nnxxxnxxx?242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxx?22222(1)(1)2(1)nnnxxnxx?24nnnnn?S22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx?222224(1)(1)(1)2(1)(1)nnnnn xSxxn xxx?小活页 P31 例1?2112nnSaaan?练习：（）求?2112nnSaaan?解：?212
5、naaan?n当a=1时S，?12n nn?21122nn?0,?n当a1S时，?1112naan na?n当a=0时S，?12n n?例5、Sn=+1 13 1 35 1(2n-1)(2n+1)分析：观察数列的前几项：1(2n-1)(2n+1)=（-）2 1 2n-1 1 2n+1 1 这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？裂项相消法 1 13=（-2 1 3 1 1 1）1111()35235?例5、Sn=+1 13 1 35 1(2n-1)(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)=（-）2 1 2n-1 1 2n+1 1 Sn=（-+-+-)2 1 3
6、 1 1 1 5 1 3 1 2n-1 1 2n+1 1=（1 -）2 1 2n+1 1 2n+1 n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。4.拆项相消法（或裂项法）：若数列 的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：或（）则可用如下方法求前n项和 .111()nnnambb?111()nnnambb?nsnannaaaas?32112321111111()()()nnmmmbbbbbb?nb例6、设 是公差d 不为零的等差数列，满足 求：的前n项和 na11?nnnaab解:11nnnba a?11nnnnaada a?1
7、111()nndaa?123nnSbbbb?)11(1)11(1)11(113221?nnaadaadaad?122311111111()nndaaaaaa?11111()ndaa?11.nna a?它的拆项方法你掌握了吗？?nb常见的拆项公式有：111)1(1.1?nnnn)11(1)(1.2knnkknn?)121121(21)12)(12(1.3?nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4?nnnnnnn)(11.5bababa?1123nan?解：2(1)n n?112()1nn?111112(1)()()2231nSnn?12(1)1n?21nn?1123nann?练习：求
8、的前项和例4、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析 这是一个等差数列n与一个等比数列xn-1的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn (1-x)Sn=1+x+x2+xn-1 -nxn n项 这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。相减例4、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)解：Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn -，得：(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn Sn=1-(1
9、+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn 1-x=-nxn 3.错位相减法错位相减法：设数列 是公差为d的等差数列（d不等于零），数列 是公比为q的等比数列(q不 等于1），数列 满足：则 的前n项和为：na nbnnnca b?nc nc123112233nnnnScccca ba ba ba b?练习：练习：求和求和Sn=1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n 答案：答案：Sn=3-2n+3 2n 作业：1111(1).147(32)2482nnSn?221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa?23(3).230nnSxxxnxx?2222123123357,.nknSaaa?k选作：设a，则数列的前 项和?114313212114?nnSn
