1、 1 重庆江津长寿巴县等七校 2018届高三数学上学期第 15周联考试题 理 本试卷分第 I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分 150分,考试时间 120分钟 注意事项: 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; 2字体工整,字迹清楚; 3请 按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、 试题卷上答题无效; 4保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀 第 I卷(共 60分) 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1( 原创) 已知复数 z
2、满足 (3 )z | 4 3 |ii? ? ? ,则 z? ( ) A 32i? B 32i? C 32i? D 32i? 2(原创)设集合 ? ?( 2)(3 ) 0A x x x? ? ? ?,集合 ? ?13B x x? ? ? ,则 AB? ( ) A (1,3) B (1,3 C 2,3)? D ( 2,3)? 3(原创) 2016 年是孙中山先生诞辰 150 周年,中国人民银行在 10月发行了以此为主题的金银纪念币,如图所示为 8 克圆形金质纪念币,面值 100元,币面直径为 22mm ,为了测算纪念币中孙中山头像的面积 ,向硬币内随机投掷 500 个点 ,已知恰有 300 个点落
3、在头像内 ,据此 ,可估计孙中山头像的面积是( ) 2mm A 665?B 1325?C 2425?D 3635? 4(原创)已知向量 (4, 2)a?, (1,2 )bm? ,若 2ab? 与 a 垂直,则 m? ( ) A 32 B 32? C 3 D 3? 5(改编)如图所示的程序框图,若输入的 a 、 k 分别为 91、 2 ,则输出的数为( ) A ? ?21011010 B ? ?211010012 C ? ?21110011D ? ?210110116(改编)已知直线 l : 4 3 0x y m? ? ? ( 0?m )被圆 C : 22 2 2 3 0x y x y? ? ?
4、 ? ?所截的弦长等于圆心 C 到直线 l 的距离,则 ?m ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7(原创)设 na 是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 nS ,若 1 4 9 0a a a? ? ? ,250aa? ,则满足 0nS? 的 n 的最大值是( ) A 10 B 9 C 8 D 7 8(原创)函数 2 sin cos 2y x x?的大致图像为( ) A B C D 9(改编)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2 6 的 6 个小正方形,使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且第一行的 3 个小正方形颜色各不相同,则符 合条件的所有涂法共有( )种
5、. A 18 B 24 C 36 D 72 10(改编)函数2211( ( R )3 c o s 3 s inf ? ? ? ?的最大值为( ) A 56B 45C 65D 54 11(改编)在椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?上有一点 P ,椭圆内一点 Q 在 2PF 的延长线上,满足 1QF QP? ,若1 3sin 5FPQ?,则椭圆离心率取值范围是( ) A 15( , )53 B 10( ,1)10C 12( , )52 D 10 2( , )10 2 12 函数? ? ? 0,14 0,lo g)( 2 2 xxx xxxf,若实数 a 满足 1)( ?aff ,则
6、实数 a 的所有取值的和为( ) 1 2 3 4 5 6 3 A 1 B 15 516? C 51617? D 2? 第 卷(共 90分) 二、填空题:本 大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分 .请在答题卡指定区域内作答 . 13(改编) 在 ABC? 中,已知角 CBA , 的对边分别为 cba, ,且 cos 2 sina b C c B?,则 tanB? 14设 ,yx 满足约束条件 2 110yxxyy?,则 3z x y? 的最大值是 15 (改编) 371()2 xx ?的展开式中 7x 的系数是 (用数字作答) 16 (改编) 数列 na 满足 1 ( 1) 3 2nnna
7、 a n? ? ? ? ?,则 na 的前 40项和为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .请在答题卡指定区域内作答 . 17(本小题满分 12分)等差数列 ?na 中 , 7 19 98, 2 ,a a a? ( 1) 求 ?na 的通项公式 ; ( 2) 设 ? ?1 ,.n n nnb b n Sna? 求 数 列 的 前 项 和 18(本小题满分 12分) ABC? 中,角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc,且 1cos 3A? ( 1)求 2cos cos 22BC A? ? 的值; ( 2)若 3a? ,求 ABC? 面积的最大值 19(本小题满分 12 分)(
8、原创)为了了解学生是否愿意参加自主招生的情况,对七校 10000名高三学生进行了问卷调查,统计结果如下表: 学校名称 长寿 大足 合川 江津 綦江 实验 铜梁 愿意参加 350 500 500 450 400 300 500 不愿意参加 850 1200 1100 1050 1000 700 1100 ( 1)若从愿意参加 自主招生的同学中按分层抽样的方法抽取 60 人,则铜梁中学和江津4 中学各应抽取几人 ? ( 2)在( 1)的基础上,对抽取的 60位同学进行模拟测试,试题共 5题,每题 20 分,若各校学生会做的题目如下表, 所在学校 长寿 大足 合川 江津 綦江 实验 铜梁 会做题目
9、1, 3 1, 5 2, 4 2, 3 3, 5 4, 5 1, 2 不全会题目 2, 4, 5 2, 3, 4 1, 3, 5 1, 4, 5 1, 2, 4 1, 2, 3 3, 4, 5 对不全会做的题目 m ( 1,2,3,4,5m? ),每位学生的得分 S 的概率满足4( 4 ) , 1, 2 , 36 kP S k m k? ? ? ?.求实验中学的学生甲第 2题得分的期望和总得分的期望 . 20 (本小题满分 12 分)(原创)已知椭圆 222:14xyC b?的焦点在 x 轴上,其左右焦点分别为 12,FF,过 2F 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 PQ 两点,且满足 122
10、| | 3| |PQ F F? . ( 1) 求椭圆 C 的方程 . ( 2) 若椭圆 C 上有两个动点 ,AB, 1AA x? 轴于点 1A , M 在直线 1AA 上,且满足1 47AM AM?,若 0OB OM?,求证: 22| | +| |OA OB 为定值 . 21 (本小题满分 12 分)已知函数 ? ? 21ln ,2f x x a x x a R? ? ? ? ( 1)令 ? ? ? ? ? ?1g x f x ax? ? ?,讨论 ?gx的单调区间; 5 ( 2)若 2a? ,正实数 12,xx满足 ? ? ? ?1 2 1 2 0f x f x x x? ? ?,求证:12
11、 512xx ? 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 .作答时,用2B铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 . 22(本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知点 )4,4( ? ,直线为 1)4sin( ? . ( 1)求点 )4,4( ? 的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程; ( 2)求点 )4,4( ? 到直线 1)4sin( ? 的距离 . 23(本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 ( ) | 2 3 | | 1 | .f x x x? ? ? ? ( 1)解不等式 ( ) 4fx? ; ( 2
12、)若存在 3,12x ?,使不等式 1 ( )a f x? 成立,求实数 a 的取值范围 6 高 2018级高三上七校第 15 周联考 数 学 ( 理 科 ) 答 案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D B D C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A D B 二、填空题: 13 1214 7315 351616 1220 三、解答题: 17解析:( )设等差数列 na 的公差为 d ,则 1 ( 1)na a n d? ? ? 因为 719 982aaa? ?,所以 1116818 2( 8 )ada d a d? ? ? ? 解得 , 1 2,
13、 1ad?所以 na 的通项公式为 1nan? ( 6分) ( ) 1 1 1 1( 1) 1n nb n a n n n n? ? ? ?, 所以 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1 1n nS n n n? ? ? ? ? ? ? ?( 12分) 18解析: ( 1) 2 2 2c o s c o s 2 s 2 c o s 122B C AA c o A? ? ? ? 2 2 21 c o ss i n 2 c o s 1 2 c o s 122AAAA? ? ? ? ? ?11 143212 9 9? ? ? ? ? ? ( 6分) ( 2) 1cos 3A? ,
14、可得 1 2 2sin 193A ? ? ?, 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 22 c o s 3a b c b c A b c b c? ? ? ? ? ?242 33bc bc bc? ? ? , 即有 23944bc a?,当且仅当 32bc? ,取得等号 ABC? 的面积为 1 1 9 2 2 3 2s in2 2 4 3 4b c A ? ? ? ?, 即有 32bc? 时, ABC? 的面积取得最大值 324 ( 12 分) 19解析:( 1)七校愿意参加自主招生的同学共有 3000人,按分层抽样的方法, 7 抽样比为 60 13000 50? ,故铜梁中学应抽取 1500
15、1050?人, 江津中学应抽取 1450 950?人 .( 5分) ( 2)甲第 2题得分 2T 的分布列为 2T 6 10 14 P 12 13 16 其期望2 1 1 1 1 8 2 0 1 4 5 2 2 6( ) 6 1 0 1 42 3 6 6 6 3ET ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 8分) 同 理 , 甲 第 1 题 得 分 1T 的 期 望1 1 1 1 1 5 1 8 1 3 4 6 2 3( ) 5 9 1 32 3 6 6 6 3ET ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 甲第 3题得分 3T 的期望3 1 1 1 2 1 2 2 1 5 5 8 2 9( ) 7
16、 1 1 1 52 3 6 6 6 3ET ? ? ? ? ? ? ? ? ?故甲的总得分期望 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 6 6E T E T E T E T? ? ? ? ? ?( 12分) 20 解析: ( 1) 22bPQ a? , 2 2 2436 322b c b a cbcaa? ? ? ? ? ?又 2 2 24 3 4 0 1b c c c c? ? ? ? ? ? ? ?(舍负) 故椭圆 C 的方程为 22143xy?.( 5分) ( 2) 设 1 1 2 2 1 1 1( , ) , ( , ) ( , ) , ( , 0 )MA x y B
17、 x y M x y A x, 由1 47AM AM? ? 1144()73M M My y y y y? ? ? ? ?0OB OM? 1 2 2 1 2 1 20 3 4 0Mx x y y x x y y? ? ? ? ?( *) 当 AB 斜率存在时,设 :AB y kx m? 联立22222 12+ ) 1 04 3 3 3143y k x m k m k mxxxy? ? ? ? ? ?( 8 得12 2212 2231+43131+43mkxxkmxxk? ? ? ?( *) 联立222222 1 + ) 04 3 2 4143y k x m k m my y kxy? ? ?
18、? ? ?( 得2212 241 +43m kyy k? ( *) 将( *)( *)代入( *)式得: 2 2 2 2 33 4 0 4m m k k? ? ? ? ? ? 则( *)变形为: 12 2222212 22212 22841 6 4 1 23 + 4 44 1 2 2 63 + 4m k kxxkmkm xxmmmxxkm? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 22| | +| |OA OB =2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2221233( 3 ) ( 3 )4416 ( )4x y x y x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 得 22| | +| |OA OB =7 当 AB 斜率不存在时,设 :AB x n? 同理可得 22| | +| |OA O