1、郑州四中高二理数第一次线上月考郑州四中高二理数第一次线上月考 一、单选题一、单选题 1已知已知i为虚数单位，则为虚数单位，则i+i2+i3+i2019等于（等于（ ） Ai B1 Ci D1 ? 3在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分； 乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分 这四名考生的对话如下，甲：我没考满分； 乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）
2、 A甲甲 B乙乙 C丙丙 D丁丁 4六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ） A60 种种 B120 种种 C240 种种 D480 种种 5函数函数y = xln x的单调递减区间是的单调递减区间是 （ ） A(e1,+) B(,e1) C(0,e1) D(e,+) 2设复数设复数z满足满足z(1i)2= 4i，则复数，则复数z的共轭复数的共轭复数z =（ ） A2 B2 C2i D2i 迅捷PDF编辑器 6用数学归纳法证明用数学归纳法证明 11111 1232nnnnn + + ()nN+时，时，nk=到到1nk=+时，不等式
3、左边应添加的时，不等式左边应添加的 项为（项为（ ） A () 1 21k + B 11 2122kk + + C 111 21221kkk + + D 1111 212212kkkk + + 123kkkkk + + 当1nk=+时，左边= 111111 2342122kkkkkkk + + 所以不等式左边应添加的项为 111 21221kkk + + 7如图，已知直线如图，已知直线y = kx与曲线与曲线y = f (x)相切于两点，函数相切于两点，函数g(x) kxm (m 0)， 则函数 ， 则函数F(x) = g(x) f (x)（ ） A有极小值，没有极大值有极小值，没有极大值 B
4、有极大值，没有极小值有极大值，没有极小值 C至少有两个极小值和一个极大值至少有两个极小值和一个极大值 D至少有一个极小值和两个极大值至少有一个极小值和两个极大值 迅捷PDF编辑器 8由曲线由曲线 3, yxyx=围成的封闭图形的面积为（围成的封闭图形的面积为（ ） A 5 12 B 1 3 C 1 4 D 1 2 9某中学从某中学从 4 名男生和名男生和 4 名女生中推荐名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共 有（ 人中既有男生又有女生，则不同的选法共 有（ ） A68 种种 B70 种种 C240 种种 D280
5、种种 10函数函数 ( ) 2 ee xx f x x =的图像大致为的图像大致为 ( ) A B C D 11某中学元旦晚会共由某中学元旦晚会共由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该 晚会节目演出顺序的编排方案共有（ 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该 晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A720 种种 B360 种种 C300 种种 D600 种种 迅捷PDF编辑器 12在某班进行的演讲比赛中，共有在某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中位选手参加，其中 3 位女生，位女生，2 位男生如
6、果位男生如果 2 位男生不能连着出场，且女生 甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 位男生不能连着出场，且女生 甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A72 B60 C36 D30 13( ) 2 6 1 12xx x + 的展开式中，含的展开式中，含 2 x的项的系数是（ 的项的系数是（ ） A-40 B-25 C25 D55 14中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历 发明了一种近似计算的方法发明了一种近似计算的方法二次
7、插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ：二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ： 对于函数对于函数( )yf x=在在() 123123 ,x x xxxx处的函数值分别为处的函数值分别为( )()() 112233 ,yf xyf xyf x=，则在区间，则在区间 13 ,x x上上( )f x 可以用二次函数可以用二次函数()()() 111212 ( )f xykxxkxxxx=+来近似代替，其中来近似代替，其中 32211 12 213231 , yyyykk kkk xxxxxx = .若令若令 1 0x =，
8、2 2 x =， 3 x =， 请依据上述算法， 估算， 请依据上述算法， 估算 2 sin 5 的近似值是 （的近似值是 （ ） ） A 24 25 B 17 25 C 16 25 D 3 5 迅捷PDF编辑器 15已知函数已知函数( )f xkx=，( )ln2g xxe=+，若当，若当 2 1 ,xe e 时，两函数的图像上分别存在点时，两函数的图像上分别存在点M，N，使得，使得M， N关于直线关于直线y e= 对称，则实数对称，则实数k的取值范围是（的取值范围是（ ） A 2 2 , e + B 2 12 , ee C 2 2 ,e e D 1 ,e e ， . 16已知函数已知函数(
9、 ) 2 ,0 ,0 x x x f x ex = ，( ) x g xe=（e是自然对数的底数） ，若关于是自然对数的底数） ，若关于x的方程的方程( )()0g f xm=恰有两个不恰有两个不 等实根等实根 1 x、 2 x，且，且 12 xx，则，则 21 xx的最小值为（的最小值为（ ） A() 1 1 ln2 2 B 1 ln2 2 + C1 ln2 D() 1 1ln2 2 + 迅捷PDF编辑器 迅捷PDF编辑器 二、填空题二、填空题 17西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有_种涂色方法种涂
10、色方法 18在实数集在实数集 R 中，我们定义的大小关系中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称上也可以定义一个称 为为“序序”的关系，记为的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，定义如下：对于任意两个复数， 当且仅当当且仅当， 下面命题， 下面命题1i0;若若， 则， 则； 若若， 则对于任意，；对于复数，则其中真命题是?则对于任意，；对于复数，则其中真命题是? 迅捷PDF编辑器 19已知已知 1 1,1 ( )4 ln ,1 xx f x x x + = ，则方程，则方程( )f xax=恰
11、有恰有 2 个不同的实根，实数个不同的实根，实数a取值范围取值范围_. . 20已知定义域为已知定义域为R的偶函数的偶函数( )f x，其导函数为，其导函数为( )fx ，满足，满足2 ( )( )4,(1)1f xxfxf += ,则则 2 1 ( )2f x x 的解集的解集 为为_ 迅捷PDF编辑器 三、解答题三、解答题 21 （1）已知() () 34 22214 01214 11 2xxxaa xa xa x+=+，求 13513 aaaa+的值. （2）已知二项式( ) 2 3 n xx+若它的二项式系数之和为 512求展开式中系数最大的项； （3）已知二项式( ) 2 3 n x
12、x+若3,2020xn=，求二项式的值被 7 除的余数 【解析】【解析】 （1） 2 324214 01214 (1) (12)xxxaa xa xa x+=+， 令1x =可得 01214 1aaaa=+， 令1x = 可得 01214 27aaaa=+， 两式相减可得， 13513 1 (127)13 2 aaaa+= ； （2）二项式 2 (3)nxx+的二项式系数之和为 512，2512 n =，9n= 由 1 99 9 1 1 9 1 33 ,1,2,9 33 rrrr rrrr CC r CC + = ，解得：7r =， 展开式中系数最大的项为第 8 项，为 67777 899 2
13、2161 (3)787323TC xxCxx= （3）若3x =，2020n =， 220202020 (3)30(282) n xx+=+ 2020120192019201920202020 20202020 2828228 22282CCK=+ += 问题转化为 2020 2 被 7 除的余数， 2020673673067316722671672673 6736736736723673 22 82 (7 1)2 77771CCCCC=+=+ 2 72k= +，即余数为 2 22.已知函数 2 ( )lnf xxx=+ （1）求函数( )( )3h xf xx=的极值； （2）若函数( )(
14、 )g xf xax=在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （3）设 2 ( )2 ( )3()F xf xxkx kR=，若函数( )F x存在两个零点, ()m n mn，且满足 0 2xmn=+.问( )F x在 迅捷PDF编辑器 0,0 ()x F x（处的切线是否能平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由. 解： （1）函数定义域为（0，+） ， 由已知 x xx xh 132 )( 2 + =， 令 2 231 ( )0 xx h x x + =，得 1 2 x =，或1x =. 列表如下： 所以2) 1 ()(= hxh 极小值 ， 2ln 4 5 ) 2 1 (
15、)(= hxh 极大值 . （2） 由题意，知恒成立，即. 又，当且仅当时等号成立. 故，所以. （3）设在的切线平行于轴，其中 2 ( )2lnF xxxkx=，结合题意， 2 2ln0mmkm=， 2 2ln0nnkn=， 相减得 00 0 2 ()20F xxk x =，所以 0 0 2 2kx x =， 又 0 2mnx+=， 4 ()kmn mn =+ + ， 所以 设， 设， x (0， 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ，1) 1 (1，+) ( ) h x + 0 0 + ( )h x 递增 极大值 递减 极小值 递增 迅捷PDF编辑器 迅捷PDF编辑器 郑州四中高二理数第一次线
16、上月考郑州四中高二理数第一次线上月考 一、单选题一、单选题 1已知已知i为虚数单位，则为虚数单位，则 232019 iiii+ 等于（等于（ ） Ai B1 Ci D1 【答案】【答案】D 【详解】由于 234 110iiiiii+= + = ，且) n inN （的周期为 4，2019=4 504+3， 所以原式= 23 11iiiii+= = . 2设复数设复数z满足满足 2 (1)4zii=，则复数，则复数z的共轭复数的共轭复数z =（ ） A2 B2 C2i D2i 【答案】【答案】A 【详解】因为() 22 (1)(1 2)242ziziiziiz=+= ，所复数z的共轭复数 2z
17、= . 3在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；这四名考生的对话如下，甲：我没考满分； 乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ） A甲甲 B乙乙 C丙丙 D丁丁 【答案】【答案】A 【详解】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、 乙、丙都是假话，甲考了满分， 4
18、六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ） A60 种种 B120 种种 C240 种种 D480 种 种 【答案】【答案】C 【解析】【解析】详解：把甲和乙捆绑在一起，有 2 2 A种方法，再把六个同学看成 5 个整体进行排列，有 5 5 A种方法，由乘法分 步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有 25 25 240A A =种.故答案为：C. 5函数函数lnyxx=的单调递减区间是的单调递减区间是 （ ） A 1 (,)e+ B 1 (,)e C 1 (0,)e D( ,)e + 【答案】【答案】C 【详解】由题意，可得( )ln1
19、,(0)fxxx=+ ， 迅捷PDF编辑器 令( )0fx ，即ln10x+ ，解得 1 0xe ，即函数的递减区间为 1 (0,)e. 6用数学归纳法证明用数学归纳法证明 11111 1232nnnnn + + ()nN+时，时，nk=到到1nk=+时，不等式左边应添加的时，不等式左边应添加的 项为（项为（ ） A () 1 21k + B 11 2122kk + + C 111 21221kkk + + D 1111 212212kkkk + + 【答案】【答案】C 【详解】当nk=时，左边= 1111 123kkkkk + + 当1nk=+时，左边= 111111 2342122kkkk
20、kkk + + 所以不等式左边应添加的项为 111 21221kkk + + 7如图，已知直线如图，已知直线y kx= 与曲线与曲线( )yf x=相切于两点，函数相切于两点，函数( )g xkxm (0)m ， 则函数则函数( )( )( )F xg xf x=（ ） A有极小值，没有极大值有极小值，没有极大值 B有极大值，没有极小值有极大值，没有极小值 C至少有两个极小值和一个极大值至少有两个极小值和一个极大值 D至少有一个极小值和两个极大值至少有一个极小值和两个极大值 【答案】【答案】C 【详解】如图，由图像可知，直线y kx= 与曲线( )yf x=切于 a，b， 将直线向下平移到与曲
21、线( )yf x=相切，设切点为 c， 当xa时， ( )f x单调递增，所以有 ( ) 0fx 且( )( )fxfak = 对于( )( )( )F xg xf x=( )kxmf x+， 有( )( )0Fxkfx = ，所以( )F x在xa时单调递减； 当axc时， ( )f x单调递减，所以有 ( ) 0fx 且( )( )fxfak = 有( )( )0Fxkfx = ，所以( )F x在axc时单调递增； 所以xa=是( )F x的极小值点 同样的方法可以得到xb=是( )F x的极小值点，x c= 是( )F x的极大值点 迅捷PDF编辑器迅捷PDF编辑器 8由曲线由曲线 3
22、, yxyx=围成的封闭图形的面积为（围成的封闭图形的面积为（ ） A 5 12 B 1 3 C 1 4 D 1 2 【答案】【答案】A 【详解】封闭图形的面积为() 13 314 1 2 00 0 215 | 3412 xxdxxx= .选 A. 9某中学从某中学从 4 名男生和名男生和 4 名女生中推荐名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共人中既有男生又有女生，则不同的选法共 有（有（ ） A68 种种 B70 种种 C240 种种 D280 种 种 【答案】【答案】A 【详解】从 8 个人中选 4 人共8 4种
23、选法，只有男生（或女生）的选法有244种， 所以既有男生又有女生的选法有8 4 2 =68 种 10函数函数 ( ) 2 ee xx f x x =的图像大致为的图像大致为 ( ) A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 2 0,()( )( ) xx ee xfxf xf x x = 为奇函数，舍去 A, 1 (1)0fee= 舍去 D; 2 43 ()()2(2)(2) ( )2,( )0 xxxxxx eexeexxexe fxxfx xx + =，所以舍去 C；因此选 B. 11某中学元旦晚会共由某中学元旦晚会共由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前
24、面，丙不能排在最后一位，该个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该 晚会节目演出顺序的编排方案共有（晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A720 种种 B360 种种 C300 种种 D600 种 种 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先安排好除丙之外的 5 个节目，有5 5 2 2= 60种可能，再安排丙，有 5 种可能，共 300 种方案， 迅捷PDF编辑器 12在某班进行的演讲比赛中，共有在某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中位选手参加，其中 3 位女生，位女生，2 位男生如果位男生如果 2 位男生不能连着出场，且女生位男生不能连着出
25、场，且女生 甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A72 B60 C36 D30 【答案】【答案】B 【解析】【解析】如第一个为男生，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为 113 233 36,C C A = 如第一个为女生，则先排剩下女生，再在产生的三个空中安排男生，此时排法种数为 122 223 24,C A A =因此出场顺序的排 法种数为36+24=60. 13( ) 2 6 1 12xx x + 的展开式中，含的展开式中，含 2 x的项的系数是（ 的项的系数是（ ） A-40 B-25 C25 D55 【答案】【答案】B 【
26、详解】二项式 6 1 x x 的展开式中的通项 66 2 166 1 C( 1) C k kkkkk k Txx x + = ，含 2 x的项的系数为 2233 66 ( 1)2 ( 1)25CC+ = ，故选 B. 14中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历 发明了一种近似计算的方法发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ：二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国
27、张隧晚了上千年） ： 对于函数对于函数( )yf x=在在() 123123 ,x x xxxx处的函数值分别为处的函数值分别为( )()() 112233 ,yf xyf xyf x=，则在区间，则在区间 13 ,x x上上( )f x 可以用二次函数可以用二次函数()()() 111212 ( )f xykxxkxxxx=+来近似代替，其中来近似代替，其中 32211 12 213231 , yyyykk kkk xxxxxx = .若令若令 1 0x =， 2 2 x =， 3 x =， 请依据上述算法， 估算， 请依据上述算法， 估算 2 sin 5 的近似值是 （的近似值是 （ ）
28、） A 24 25 B 17 25 C 16 25 D 3 5 【答案】【答案】A 【详解】函数( )sinyf xx=在0x =， 2 x =，x =处的函数值分别为 1 (0)0yf=， 2 ( )1 2 yf=， 3 ()0yf=， 故 21 1 21 2yy k xx = ， 32 32 2yy k xx = ， 1 2 2 31 4kk k xx = ， 故 2 22 2444 ( )() 2 f xxx xxx = +， 迅捷PDF编辑器 即 2 2 44 sin xxx +， 2 2 2424224 sin() 55525 +=， 15已知函数已知函数( )f xkx=，( )l
29、n2g xxe=+，若当，若当 2 1 ,xe e 时，两函数的图像上分别存在点时，两函数的图像上分别存在点M，N，使得，使得M， N关于直线关于直线y e= 对称，则实数对称，则实数k的取值范围是（的取值范围是（ ） A 2 2 , e + B 2 12 , ee C 2 2 ,e e D 1 ,e e 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意，若当 2 1 ,xe e 时，两函数的图像上分别存在点M，N， 使得M，N关于直线y e= 对称，只需( )( )2f xg xe+=在区间 2 1 ,e e 上有解. 即0lnxkx+=在区间 2 1 ,e e 上有解， 即 lnx k x =
30、 在区间 2 1 ,e e 上有解， 令( ) lnx h x x = ，则( ) 2 1lnx h x x = ，令( )0h x = ，解得xe=. 故( )h x在区间 1 ,e e 单调递减，在区间() 2 , e e单调递增. 又( )( ) 2 2 112 ,he h eh e eee = = . 故( ) 1 ,h xe e . 故要满足( )kh x=在区间 2 1 ,e e 有解，只需 1 ,ke e 即可. 16已知函数已知函数( ) 2 ,0 ,0 x x x f x ex = ，( ) x g xe=（e是自然对数的底数） ，若关于是自然对数的底数） ，若关于x的方程的
31、方程( )()0g f xm=恰有两个不恰有两个不 等实根等实根 1 x、 2 x，且，且 12 xx，则，则 21 xx的最小值为（的最小值为（ ） A() 1 1 ln2 2 B 1 ln2 2 + C1 ln2 D() 1 1ln2 2 + 【答案】【答案】D 【详解】( ) 2 ,0 ,0 x x x f x ex = ，( )0f x 恒成立， 迅捷PDF编辑器 迅捷PDF编辑器 ( ) ( )f x gf xem= ，( )lnf xm=， 作函数( )f x，lnym=的图象如右， 结合图象可知，存在实数()ln01tmt= ，使得 1 2 2 x xet=， 故 21 1 ln
32、 2 xxtt= ，令( ) 1 ln 2 h ttt= ，则( ) 1 1 2 h t t = ， 故( )h t在 1 0, 2 递减，在 1 ,1 2 递增，( ) 111 ln2 222 h th =+ ， 二、填空题二、填空题 17西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有_种涂色方法种涂色方法 【答案】【答案】420 【详解】对于新疆有 5 种涂色的方法，对于青海有 4 种涂色方法，对于西藏有 3 种涂色方法， 对于四川：若与新疆颜色相同，则有 1 种涂色方法，此时甘肃有 3 种涂色方法； 若四川
33、与新疆颜色不相同，则四川只有 2 种涂色方法，此时甘肃有 2 种涂色方法； 根据分步、分类计数原理，则共有 5 4 3 （2 2+1 3）420 种方法 故答案为 420. 18在实数集在实数集 R 中，我们定义的大小关系中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称上也可以定义一个称 为为“序序”的关系，记为的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，定义如下：对于任意两个复数， 当且仅当当且仅当， 下面命题， 下面命题1i0;若若， 则， 则； 若若， 则对于任意则对于任意，；对于复数对于复数，则，则
34、其中真命题是其中真命题是 【答案】【答案】 【解析】【解析】 命题， 1 的实部是 1,i的实部是 0,正确； 命题， 设 111222333 ,zabi zab i zab i=+=+=+， 由已知得 12 aa 或 1212 aabb=且， 23 aa或 2323 aabb=且，显然有 13 aa，若 13 aa，则，若 13 aa=，则 123 aaa=， 123 bbb，也有，故正确；命题，设( ,)zabi a bR=+，由得 12 aa或 1212 aabb=且，从 而 12 aaaa+或 12 aaaa+=+且 12 bbbb+， ,正确； 命题 4， 1 1zi= +， 2 2
35、zi= ，2zi=， 则有 12 zz，但 1 22z zi= +， 2 4z z=，显然有 21 z zz z，故错误填空 迅捷PDF编辑器 19已知已知 1 1,1 ( )4 ln ,1 xx f x x x + = ，则方程，则方程( )f xax=恰有恰有 2 个不同的实根，实数个不同的实根，实数a取值范围取值范围_. 【答案】【答案】 1 1 , ) 4 e 【详解】问题等价于当直线y ax= 与函数( )yf x=的图象有2个交点时，求实数a的取值范围。 作出函数( )yf x=的图象如下图所示： 先考虑直线y ax= 与曲线lnyx=相切时，a的取值， 设切点为(),lntt，对
36、函数lnyx=求导得 1 y x = ，切线方程为() 1 lnytxt t =， 即 1 ln1yxt t =+，则有 1 ln10 a t t = = ，解得1 te a e = = . 当 1 a e =时，直线y ax= 与函数( )yf x=在(,1上的图象没有公共点，在() 1,+有一个公共点，不合乎题意； 当 11 4 a e 时，直线y ax= 与函数( )yf x=在(,1上的图象没有公共点，在() 1,+有两个公共点，合乎题意； 当 1 0 4 a时，直线y ax= 与函数( )yf x=在(,1上的图象只有一个公共点，在() 1,+有两个公共点，不合题 意； 当0a 时，
37、直线y ax= 与函数( )yf x=在(,1上的图象只有一个公共点，在() 1,+没有公共点，不合乎题意. 综上所述，实数a的取值范围是 1 1 , 4 e ，故答案为： 1 1 , 4 e . 20已知定义域为已知定义域为R的偶函数的偶函数( )f x，其导函数为，其导函数为( )fx ，满足，满足2 ( )( )4,(1)1f xxfxf += ,则则 2 1 ( )2f x x 的解集的解集 为为_ 【答案】【答案】()() 1, 1+ 【详解】 2 1 ( )2f x x 的解集为 22 ( )21x f xx的解集， 令( ) 22 ( )2g xx f xx=，则( ) 2 2(
38、 )( )4gxxf xx fxx=+， 迅捷PDF编辑器 因为2 ( )( )4f xxfx + ，所以当0x 时有 2 2( )( )40xf xx fxx+， 所以( ) 2 2( )( )40gxxf xx fxx=+， 即当0x 时，( ) 22 ( )2g xx f xx=单调递增， 又因为(1)1f=，所以( )1(1)21gf= ， 所以 22 ( )21x f xx的解集为( )( )1g xg的解集， 由单调性可知，1x 又因为( )f x为偶函数，所以解集为()() 1, 1+ 三、解答题三、解答题 21 （1）已知() () 34 22214 01214 11 2xxx
39、aa xa xa x+=+，求 13513 aaaa+的值. （2）已知二项式( ) 2 3 n xx+若它的二项式系数之和为 512求展开式中系数最大的项； （3）已知二项式( ) 2 3 n xx+若3,2020xn=，求二项式的值被 7 除的余数 【解析】【解析】 （1） 2 324214 01214 (1) (12)xxxaa xa xa x+=+， 令1x =可得 01214 1aaaa=+， 令1x = 可得 01214 27aaaa=+， 两式相减可得， 13513 1 (127)13 2 aaaa+= ； （2）二项式 2 (3)nxx+的二项式系数之和为 512，2512 n
40、 =，9n= 由 1 99 9 1 1 9 1 33 ,1,2,9 33 rrrr rrrr CC r CC + = ，解得：7r =， 展开式中系数最大的项为第 8 项，为 67777 899 22161 (3)787323TC xxCxx= （3）若3x =，2020n =， 220202020 (3)30(282) n xx+=+ 2020120192019201920202020 20202020 2828228 22282CCK=+ += 问题转化为 2020 2 被 7 除的余数， 2020673673067316722671672673 6736736736723673 22 8
41、2 (7 1)2 77771CCCCC=+=+ 2 72k= +，即余数为 2 22.已知函数 2 ( )lnf xxx=+ （1）求函数( )( )3h xf xx=的极值； （2）若函数( )( )g xf xax=在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （3）设 2 ( )2 ( )3()F xf xxkx kR=，若函数( )F x存在两个零点, ()m n mn，且满足 0 2xmn=+.问( )F x在 迅捷PDF编辑器 0,0 ()x F x（处的切线是否能平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由. 解： （1）函数定义域为（0，+） ， 由已知 x xx xh 1
42、32 )( 2 + =， 令 2 231 ( )0 xx h x x + =，得 1 2 x =，或1x =. 列表如下： 所以2) 1 ()(= hxh 极小值 ， 2ln 4 5 ) 2 1 ()(= hxh 极大值 . （2） 由题意，知恒成立，即. 又，当且仅当时等号成立. 故，所以. （3）设在的切线平行于轴，其中 2 ( )2lnF xxxkx=，结合题意， 2 2ln0mmkm=， 2 2ln0nnkn=， 相减得 00 0 2 ()20F xxk x =，所以 0 0 2 2kx x =， 又 0 2mnx+=， 4 ()kmn mn =+ + ， 所以 设， 设， x (0， 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ，1) 1 (1，+) ( ) h x + 0 0 + ( )h x 递增 极大值 递减 极小值 递增 迅捷PDF编辑器 所以函数在上单调递增， 因此，即 也就是，所以 2(1) 2() ln 1 m mmn n m nmn n = + + 无解. 所以在处的切线不能平行于轴 迅捷PDF编辑器
