1、 更精确地说，只要f(z)/(z)与上式括号中级数前n+1项部分和之差具有1/zn+1的量级，则当|z|增加时这一差值就可以任意地小，此时称(3-4-1)为 f(z)的渐近展开式，用符号表示。定义：如果0()lim0()nnkkzkAf zzzz(3-4-2)则称 的渐进展开式，并写为)()(0zfzAzkkk为0)()(kkkzAzzf(3-4-3)在实际应用中，常常只取展开式中的第一项作为 f(z)的渐近表达式。函数的渐近展开式在实用中很重要。为了得到渐近展开式，可以先将函数写成复平面上沿某一路径积分的形式，然后用“最陡下降法”进行计算。设函数 f(z)可以写成如下积分形式 Ctzhdte
2、tgzf)()()(3-4-4)其中g(t)和h(t)是在复t平面上一定区域中解析的函数，C为复t平面上的某一路径。我们来求 f(z)在|z|大时的渐近表达式。先看一个简单例子，求函数的渐近表达式。(二)函数的渐近表达式按式(3-3-1)做代换=tx，得到这里的积分具有(3-4-4)形式，其中g(t)=1，h(t)=lnt t，而路径C为正实轴。0)1(dexx0)(ln101)1(dtexdtetxxttxxtxxx(3-4-5)求h(t)的一阶和二阶导数，得到211()1,()h th ttt 由此可见，在t=1时h(t)有极大值。当 x 大时，ex(lntt)在t=1时有尖锐的峰，如图3
3、-4-1。因此积分的主要贡献来自t=1附近的一个小区间1,1+。在此区间中因而有2)1(211lnttt22111(1)(ln)2012xtxt txuxedxedteedu式中u=t1。最后一个积分中的被积函数在x大时，很快地 随|u|的增加而减小，因而可以近似地将积分限扩展到，而有代入(3-4-5)，得到再用(3-2-5)，就得到函数的渐近表达式：2(ln)202xuxt txxedteeduexxexxxx2)1(12)(21xxexx(3-4-6)2ln(21ln)21()(lnxxxx(3-4-7)对上式取对数，得到当x取正整数时，得到阶乘的渐进式利用式(3-3-8)，并相对于 N
4、略去常数的二分之一和2：eNNNNNNlnln)!ln(3-4-8)这称为斯特林公式。(三)最陡下降法 考虑一般情况，此时(3-4-4)中的z和t都可以是复数。我们考虑当z的辐角固定而|z|时，f(z)的行为。为了简见，假定=0，z为实数。如果不为零，可将因子ei 归 入 h(t)中，令 eih(t)为新的h(t)。因此，假定=0 并不失去一般性。用 u 和 v 表示 h(t)的实部和虚部，则CizvzugdteeI(3-4-9)当z大时，决定被积函数大小的主要因子是 ezu。根据在上一例子中得到的经验，应该设法使积分路径通过zu的极大值点，然后在这一点附近取一小段进行积分。然而，由于u是解析
5、函数h(t)的实部，满足拉普拉斯方程u=0，它在各个方向上的二阶偏导数不可能都是负的，所以zu不可能在任意方向上都有极大值。在2-2中已经指出，du/dt=0 的点t0是鞍点。如果沿着某些方向通过t0时，zu有极大值(二阶方向导数小于零)，则沿着另一些方向通过t0 时，zu 将有极小值(二阶方向导数大于零)，图3-4-2(a)上画出了在t0 点附近zu的“等值线”的典型分布情况。于是，为了求(I-4)中的 f(z)在z大时的渐近行为，应设 法利用柯西定理改变积分路径，使之沿类似于图 3-4-2 中 的CD这样的路径通过鞍点 t0。在这一路径上zu下降最陡，因而ezu 的峰最尖(参看图I-1)。
6、这样就可以只取t0附近的 一小段进行积分，而得到较好的近似。由图可见，沿CD附近的路径通过t0时，zu有极大值，而沿 AB附近的路径通过t0时，zu有极小值。在t0附近，zu曲面呈 马鞍形状，如图I-2(b)，参看图2-2-2。假定已经通过积分路径的变形使(3-4-4)中的C通过鞍 点t0。我们有h(t0)=0，因而h(t)展开式的头两项是2000)(2)()()(ttththth 000(),iih taette(3-4-10)令如图3-4-3，则)2(2002)()(ieathth(3-4-11)它的实部和虚部分别是)2sin(2)(Im)2cos(2)(Re020020athvathu(
7、3-4-12)、(3-4-13)用s表示和实轴成角的方向，如图3-4-3。在s方向上的偏导数是规定对求导。因而(3-4-15)0cos(2)sua(3-4-14)20cos(2)sua“最陡”方向是 最大的方向，即|cos(2+0)|=1的方向,即有uS002,(0,1,2,3)2nnn(3-4-16)它决定两条相互垂直的直线，n=0,2和n=1,3,如图3-4-4。由(3-4-15)可见，沿n=0,2的线 ，这是“最陡上升”0 uS的方向；沿n=1,3的线 ，这是“最陡下降”的方向。我们就沿后一方向求积分。0 uS(略去二阶以上的小量)，也就是说，当zh(t)的实部zu变化最陡时，它的虚部z
8、v保持为常数。沿这样的方向求(3-4-7)中的积分，被积函数的第一个因子ezu 有尖锐的峰，而第二 个因子eizv 保持为常数，因而积分容易计算(如果不是沿zv为常数的方向求积分，则当 z 大时，因子 eizv 将迅速振荡，使 积分难于计算)值得注意的是，在“最陡”方向上(3-4-16)中的n=1,3，(3-4-13)右边第二项为零，因而：现在就选(3-4-16)中n=1,3的方向计算(3-4-7)在鞍点 t0 附 近一小段C上的积分。此时(3-4-11)成为)(Im)(Im0ththv(3-4-17)zCiathzedetgzf2)(20)()(代入(3-4-7)，有202)()(athth积分路径C可以分为沿n=3的方向由到0和沿n=1的方向由0到的两段(见图3-4-4，注意是模，取大于等于零的值)，而)()(0202)3(22)()(02200zzatizaitzhdeedeeetgzfzzaitzhdeietg022)(02002)(当z大时，类似于上例中的做法，将积分上限扩展到，即得2)(000)(2)(itzhetgazizf(3-4-18)
