1、9.3 9.3 平行四边形（平行四边形（3 3） 学习目标：学习目标： 1.探索并掌握平行四边形的判定条件；探索并掌握平行四边形的判定条件； 2.能利用平行四边形的判定方法及性质解决有能利用平行四边形的判定方法及性质解决有 关问题关问题 重点与难点：重点与难点： 综合运用平行四边形的性质和判定方法进行综合运用平行四边形的性质和判定方法进行 计算和说理计算和说理 自学导引： 平行四边形的判定方法：平行四边形的判定方法： （1）（定义）两组对边分别）（定义）两组对边分别 的四边形是平的四边形是平 行四边形；行四边形； （2）两组对边分别）两组对边分别 的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形 （3
2、）一组对边）一组对边 的四边形是平行四边的四边形是平行四边 形形 （4）对角线）对角线 的四边形是平行四边的四边形是平行四边 形形 平行平行 相等相等 平行且相等平行且相等 平行互相平分平行互相平分 尝试尝试 画两条相交直线画两条相交直线a、b，设交点为，设交点为O. . 在直线在直线a上截取上截取OAOC，在直线，在直线b上截取上截取OBOD， 连接连接AB、BC、CD、DA. . 你能证明所画的四边形你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗？是平行四边形吗？ A B C D O 合作探究合作探究 如图，直线如图，直线AC、BD相交于点相交于点O，OAOC，OBOD. . 求证：四边形求证
3、：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. . A A D D B B C C O O 证明：在证明：在AOB和和COD中，中， OA=OC， AOB=COD， OB=OD， AOBCOD AB=CD. 同理同理AD=CB 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何语言：几何语言： OAOC，OBOD， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 A B C D O 于是，得到定理于是，得到定理 例题例题 已知：如图，在已知：如图，
4、在ABCD中，点中，点E、F在在AC上，且上，且AECF. . 求证：四边形求证：四边形EBFD是平行四边形是平行四边形 思考：你还有其他方法证明吗？思考：你还有其他方法证明吗？ 证明：连接证明：连接BD，BD交交AC于点于点O. O 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角（平行四边形的对角 线互相平分）线互相平分）. AE=CF， OA-AE=OC-CF， 即即OE=OF. 四边形四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的是平行四边形（对角线互相平分的 四边形是平行四边形）四边形是平行四边形）. 证明：证明：OA=OC，AE=CF， OA
5、-AE=OC-CF， 即即OE=OF. 在在BOE和和DOF中，中， OE=OF， BOE=DOF， OB=OD， BOEDOF（SAS），）， BE=DF. 同理同理BF=DE. 四边形四边形EBFD是平行四边形是平行四边形. 讨论交流讨论交流 如图，如果如图，如果OAOC，OBOD，那么四边形那么四边形 ABCD不是平行四边形不是平行四边形. .试证明这个结论试证明这个结论. . A B C D O 证明：证明： 假设四边形假设四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， 那么那么OA=OC，OB=OD， 这与条件这与条件OBOD矛盾矛盾. 所以四边形所以四边形ABCD不是平行四边形不是平行
6、四边形 我们在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结我们在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结 论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出 发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因为命题的结论成立发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因为命题的结论成立. 这样证明的方法称为这样证明的方法称为反证法反证法. 平行四边形的判定平行四边形的判定: 两组对边分别平行两组对边分别平行 两组对边分别相等两组对边分别相等 一组对边平行且相等一组对边平行且相等 平行四边形平行四边形 对角线互相平分对角线互相平分 A B
7、 C D E 如图如图: :AD是是ABC的边的边BC边上的中线边上的中线. . (1)(1)画图画图: :延长延长AD到点到点E, , 使使DE=AD, ,连接连接BE,CE; ; (2)(2)判断四边形判断四边形ABEC的的 形状形状, ,并说明理由并说明理由. . 新知应用新知应用 判断判断 (1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是一组对边平行且另一组对边相等的四边形是 平行四边形平行四边形; ( ) (2)两组对角都相等的四边形是平行四边形两组对角都相等的四边形是平行四边形 ( ) (3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行 边形边形;
8、( ) (4)一组对边平行一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行一组邻角互补的四边形是平行 四边形四边形; ( ） (5)两组邻角互补的四边形是平行四边形两组邻角互补的四边形是平行四边形. ( ) 练一练： 已知已知AB、CD交于交于O，AC DB，OA OB，E、F为为OC、OD的中点，的中点， 求证：四边形求证：四边形AFBE为平行四边形为平行四边形 A B O C D F E 如图如图: :在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,E,E、F F、G G、H H分别是各分别是各 边上的点，且边上的点，且AE=CFAE=CF，BG=DHBG=DH。求证：。求证：EFEF与与GHGH互相平分。互相平分。 D C AB H F G E 3.3.两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. 1.1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形. . 2. 一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. 4.4.对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形.
