1、第一节第一节 二重积分二重积分 概念概念 性质性质一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质1.曲顶柱体曲顶柱体：z=f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，上连续，f(x,y)0以以z=f(x,y)为顶，以为顶，以D为底，以平行为底，以平行oz轴的直线为母线的轴的直线为母线的柱面围成的空间立体称为曲顶柱体。柱面围成的空间立体称为曲顶柱体。柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.),(yxfz D曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如
2、下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示
3、的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ,),(fiii 小柱体体积为小柱体体积为 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(
4、yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo3.概念概念如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近趋近 于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 ),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 D
5、dyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：5.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积积当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值积的负值4.可积的条件可积的条件(1)f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上可积上可积f(x,y)在在D上有界上有界(2)f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续f(x,y)在在D上可积上可积的选取无关。的划分及二重积分与),()1(iiD(2)二重积分
6、与二重积分与f(x,y)及积分区域有关。及积分区域有关。在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）二二.二重积分的性质二重积分的性质1(,),(,)(,)(,)(,)(,)DDDf x y g x yDRf x yg x y dxdyf x y dxdyg x y dxdy性质 设在有界闭区域上可积，则，有性质性质2对区域具有可加性对区域具有可加性)(21DDD .)
7、,(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质4若在若在D上上),(),(yxgyxf 则有则有.),(),(DDdyxgdyxf 推论推论1.),(),(DDdyxfdyxf 推论推论2 D0dxdy)y,x(f0)y,x(fD)y,x(f则则，上可积，且上可积，且在有界闭区域在有界闭区域若若性质性质3 DdxdyD，则，则的面积为的面积为设区域设区域 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质5性质性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD
8、（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln(yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx)ln(Ddyx 2)ln(.oxy121D思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区
9、间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答一、一、填空题填空题:1 1、当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在.2 2、二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积,且且21DDD ,当当0),(yxf时时,则
10、则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf;当当0),(yxf时时,则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf .练练 习习 题题4 4、Ddyx)sin(22_,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积,16.二、二、利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明:DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数)三、三、比较下列积分的大小比较下列积分的大小:1 1、DDdyxdyx 322)()(与与,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(22 yx所围成所围成.2 2、dyxdyxD2)ln()ln(与与,其中其中D是矩形是矩形 闭区域闭区域:10,53 yx.四四、估估计计积积分分 DdyxI)94(22的的值值,其其中中D是是圆圆 形形区区域域:422 yx .一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和；3 3、,；4 4、.三、三、1 1、DDdyxdyx 32)()(；2 2、dyxdyxD2)ln()ln(.四、四、100)94(3622dyx.练习题答案练习题答案
