1、第二章第二章 二次函数二次函数 2.4 2.4 二次函数的应用（第二次函数的应用（第1 1课时）课时） (1) (1) 请用长请用长2020米的篱笆设计一个矩形的菜园。米的篱笆设计一个矩形的菜园。 (2)(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ A B C D )10(xxy xx10 2 x解：设矩形的一边长为解：设矩形的一边长为 米米 ，面积，面积 为为 平方米，则平方米，则 y 25)5( 2 x 5x当当 时，时， 25 max y 此时另一边长为此时另一边长为1010- -5=55=5（米）（米） 因此当矩形的长和宽均为因此当矩形的长和宽均为5 5米
2、时，矩形的面积最大。米时，矩形的面积最大。 情境引入情境引入 A B C D 例例1.1.如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为2424米的米的 篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃， 设花圃的宽设花圃的宽ABAB为为 米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。 (1)(1)求求S S与与 的函数关系式及自变量的取值范的函数关系式及自变量的取值范 围；围； (2)(2)当当 取何值时所围成的花圃面积最大，取何值时所围成的花圃面积最大， 最大值是多少？最大值是多少？ (3)(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，求围
3、成花圃米，求围成花圃 的最大面积的最大面积 . . x x x (3) 由题意得：由题意得： )60(244 )424( 2 xxx xxs x 因此当因此当 =3时时,所围成的花圃面积最大，为所围成的花圃面积最大，为36平方米平方米. （1）由题意得：）由题意得： m xAB )424(xBC m 8424 0424 0 x x x 解得：解得： 64 x 因为因为 ，所以当，所以当 时，随时，随 的增大而减小的增大而减小 043xsx (2)当当 时，时， 3 )4(2 24 x36 )4(4 240 2 max s 当当 4m时，时， x3242444 2 max s 即围成花圃的最大面
4、积为即围成花圃的最大面积为32平方平方 米米. 解：解： A B C D (1).(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xAB=xm,m,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？ (2).(2).设矩形的面积为设矩形的面积为 m m2 2, ,当当 取何值时取何值时, , 的值最的值最 大，大， 最大值是多少最大值是多少? ? 如果在一个直角三角形的内部画一个矩形如果在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCDABCD， 其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上，分别在两直角边上， 30m M 40m A B C D N mAMmAN30,40 x yy 变式探究一变式探究一 如果
5、把矩形改为如下图所示的位置，其如果把矩形改为如下图所示的位置，其顶点顶点A A和顶和顶 点点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .其他条件不变，其他条件不变， 那么矩形的最大面积是多少？那么矩形的最大面积是多少？ A B C D M N P 40m 30m H G 请一名同学板演过程请一名同学板演过程 变式探究二变式探究二 如图如图,已知已知ABC是一等腰三角形铁板余料是一等腰三角形铁板余料, AB=AC=20cm,BC=24cm.若在若在ABC上上 截截 出一矩形零件出一矩形零件DEFG,使得使得EF在在BC上上,点点D、 G分别在边分别在边AB、AC上上.
6、问矩形问矩形DEFG的最大的最大 面积是多少面积是多少? C C F F E E B B G G D D A A M N 变式探究三变式探究三 某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, , 下半部是矩形下半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有图中所有 的黑线的长度和的黑线的长度和) )为为15m.15m. （1 1）用含）用含 的代数式表示的代数式表示 ； （2 2）当）当 等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多 ( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗
7、户的面积是多少? ? xx y x xy 练习练习 cm 例例2.2.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6 6 ，BCBC12 12 ，点，点P P从从 点点A A出发沿出发沿ABAB边向点边向点B B以以1 /1 /秒的速度移动，同时，秒的速度移动，同时， 点点Q Q从点从点B B出发沿出发沿BCBC边向点边向点C C以以2 /2 /秒的速度移动。秒的速度移动。 如果如果P P、Q Q两点在分别到达两点在分别到达B B、C C两点后就两点后就 停止移动，设运动时间为停止移动，设运动时间为t t秒（秒（0t6)0t6)，回答下列回答下列 问题：问题： （1 1）运动开始后第几秒时，运
8、动开始后第几秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8 8 ； （2 2）设五边形）设五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为S S ， 写出写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，t t为何值时为何值时 S S最小？求出最小？求出S S的最小值。的最小值。 2 cm 2 cm cmcm cm Q P C B A D Q P C B A D 解：解： 8)6(2 2 1 tt （1）由题意得：）由题意得： tBQ2 tBP6 4, 2 21 tt解得：解得： 运动开始后 运动开始后2秒或秒或4秒时，秒时， PBQ的面积等于的面积等于8 . 2 cm （2）由题意得：）由题意得： )6(
9、2 2 1 612ttS726 2 tt 63)3( 2 t 当当 时，时， 3t63 min S 即即 时，时， 有最小值，最小值为有最小值，最小值为63 3tS “二次函数应用”二次函数应用” 的思路的思路 1.1.理解问题理解问题; ; 2.2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量, ,以及它们之间的关系以及它们之间的关系; ; 3.3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系; ; 4.4.运用数学知识求解运用数学知识求解; ; 5.5.检验结果的合理性检验结果的合理性, , 给出问题的解答给出问题的解答. . 构建二次函数模型构建二次函数模型 归纳总结
10、归纳总结 1.1.一根铝合金型材长为一根铝合金型材长为6m6m，用它制作一个“日”，用它制作一个“日” 字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那 么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？ 题第1/.47P巩固练习巩固练习 E B D CA 1 1. .如图如图, , 在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8, 点点D D在在BCBC上运动上运动( (不运动至不运动至B,C),DEAC,B,C),DEAC,交交ABAB于于E,E, 设设BD= ,
11、BD= ,ADEADE的面积为的面积为 . . (1)(1)求求 与与 的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量 的取值范围的取值范围 ; ; (2) (2) 为何值时为何值时, ,ADEADE的面积最大的面积最大? ?最大面积是多最大面积是多 少少? ? xy y xx x 拓展提升拓展提升 D .有一根直尺的短边长有一根直尺的短边长2 ，长边长，长边长10 ，还有一块锐角为，还有一块锐角为 45的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12 按图按图1的方式将直尺的短边的方式将直尺的短边DE放置在直角三角形纸板的放置在直角三角形纸板的 斜
12、边斜边AB上，且点上，且点D与点与点A重合若直尺沿射线重合若直尺沿射线AB方向平行移动，方向平行移动， 如图如图2，设平移的长度为，设平移的长度为 （ ），直尺和三角形纸板的重叠部分），直尺和三角形纸板的重叠部分 (即图中阴影部分即图中阴影部分)的面积为的面积为S （1）当）当 =0时，时，S=_； 当当 = 10时，时，S =_； （2）当）当0 4时，如图时，如图2，求，求S与与 的函数关系式；的函数关系式； （3）当）当6 10时，求时，求S与与 的函数关系式；的函数关系式； （4）请你作出推测：当）请你作出推测：当 为何值时，阴影部分的面积最大？并为何值时，阴影部分的面积最大？并 写出最大值写出最大值 x x x 2 cm cm x xx x x cm cm cm A B C 备选图二备选图二 x F E G A B C 图图2 A B C 备选图一备选图一 图图1 (D) E F C B A 谈谈本节课的收获谈谈本节课的收获 作业作业 习题习题2.8 1,22.8 1,2
