1、11.2 1.2 薛定谔方程薛定谔方程1.2.11.2.1 Schrdinger方程的引进 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程 微观粒子运动方程应满微观粒子运动方程应满足态叠加原理足态叠加原理2开开1 1闭闭2 2，衍射花样（兰曲线），衍射花样（兰曲线）211开开2 2闭闭1 1，衍射花样（紫红曲线），衍射花样（紫红曲线）222同时开同时开1 1，2 2，衍射花样（黑曲线），衍射花样（黑曲线）实实 验验 事事 实实2212显然显然122212电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验S D1 12 22P1PP12 表明表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率
2、幅）遵几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：守迭加原则：213物 理 意 义物 理 意 义 当两个缝都开着时，电子既可能处在当两个缝都开着时，电子既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 态，也可处在态，也可处在 和和 的线性迭加态的线性迭加态 。可见，。可见，若若 和和 是电子的可能状态，是电子的可能状态，则则 也是电子的可能状态也是电子的可能状态。21212211 反言之，电子经双缝衍射后处于反言之，电子经双缝衍射后处于 态，则态，则电子部分地既可处于电子部分地既可处于 态，也可部分地处在态，也可部分地处在 态。态。2112迭加态的概率迭加态的概率:221222*121212
3、 干 涉 项干 涉 项电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度4 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。正确性也依赖于实验的证实。nccc32211112nkkc 1.1.若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态12,n态迭加原理态迭加原理 当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态称时，迭加态 ,其概率为其概率为2211cc22
4、222112212121212ccc cc c 干 涉 项干 涉 项2kc 2.2.当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率是是 ，并且，并且k(1,2,)kn5PPiEt2221PPP22PE又又（2）222PPP（3）22PPPE（1）PPEit自由粒子波函数自由粒子波函数将（将（1 1）和（）和（2 2）式代入（）式代入（3 3）式，得）式，得),(2),(22trttriPP（4）6能量算符能量算符22U(,)2Hr tm 22(,)(,)2r tir tmt自由粒子满足自由粒子满足22(,)(,)(,)2U r tr tir tmt 薛定谔方程薛定
5、谔方程7 1.2.2Schrdinger方程的讨论方程的讨论1 1几率守恒定律几率守恒定律由由Schrdinger方程方程 222iUt （1）ttt*2*(,)(,)(,)(,)r tr tr tr t则则设设 是粒子状态的归一化波函数是粒子状态的归一化波函数 (,)r t22iiUt*2*2iiUt 取复共取复共轭轭代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 8*22*2it*2i（2）*2iJ令令称为几率流密度称为几率流密度几率连续性方程几率连续性方程（3）0Jt（2 2）几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方程程 具有相同的形式具有相同的形式。
6、0eeJt（3 3）式对空间）式对空间V V作体积分作体积分VVdJdt09当当 时时V (4)(4)式表明式表明:粒子单位时间在内出现的几率的粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率增量等于单位时间内流入内的几率(负号表示流负号表示流入入)。(3)3)式是几率守恒守律的积分形式。式是几率守恒守律的积分形式。VV 0ddtd(4)(4)式02ddtd即即表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不变变,即几率守恒。即几率守恒。表明波函数归一化不表明波函数归一化不随时间改变，其物理随时间改变，其物理意义是粒子既未产生意义是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。10量子力学的量子力学的电荷密度
7、电荷密度),(),(tretre),(),(trtr),(),(trJetrJe),(),(trJtrJ量子力学的量子力学的质量流密度质量流密度量子力学的量子力学的电流密度电流密度量子力学的量子力学的质量密度质量密度电荷守恒定律，粒子数守恒电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为设粒子的电荷为，质量为e0eeJt0Jt量子力学的量子力学的电荷守恒律电荷守恒律量子力学的量子力学的物质守恒律物质守恒律111.2.3 1.2.3 能量本征方程能量本征方程),(),(2),(22trtrUttri（1）（2）(,)()()r tr f t若若 与与 无关，则可以分离变量无关，则可以分离变量，令令
8、)(rUt (2)代入代入(1)式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到()()r f t)()()(222rErrU（3）等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故应关的物理量，故应等于与等于与 无关的无关的常数常数r t、()dfiEf tdt（4）12()iEtf tCe（5）(,)()iEtr tr e（6）(5)代入代入(2)式，得到式，得到/E令令=Ede Broglie能量式 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当粒子处在由波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能量量 有确定的值，这种状态称为定
9、态；描述定态的有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数波函数（6 6）称为称为定态波函数。定态波函数。EE定态波函数定态波函数定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数波函数 由方程（由方程（3 3），即由），即由)(r13在给定的定解条件下求出，方程（在给定的定解条件下求出，方程（7 7）称为）称为定态定态SchrSchrdingerdinger方程。方程。)()()(222rErrU（7 7）能量本征值方程能量本征值方程14 当体系处在能量本征波函数所描写的状态当体系处在能量本征
10、波函数所描写的状态(又称又称本本征态征态)中时，粒子的能量有确定的值。中时，粒子的能量有确定的值。讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量及这些态中的能量 ；解能量算符本征方程（解能量算符本征方程（1212）求）求定态波函数的问题又归结为解定态定态波函数的问题又归结为解定态SchrSchrdingerdinger方程方程+定解条件构成的本征值问题定解条件构成的本征值问题:E22()()()2U rrEr 定解条件定解条件本征能量值谱：本征能量值谱：12,nEEE12(),(),(),nrrr本征函数系：本征函数系：本征波函数本征波
11、函数,niEtnnr tr e任意状态任意状态 (,),niE tnnnnnnr tCr tCr e15求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤(,)()eniE tnnnr tCr1|)(|2 drCnn)()(222rErV （1 1）列出定态）列出定态SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个）根据波函数三个标准条件求解能标准条件求解能量量 的本征值问的本征值问题，得题，得：E1212,nnEEE，本征函数本征函数本征能量本征能量（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数nC（3 3）写出定态波函数）写出定态波函数即得到对应第即得到对应第
12、个个本征值本征值 的定态波的定态波函数函数nEn?nC 简并态与非简并态16例子：17设粒子处于势场设粒子处于势场中运动中运动时，粒子的允许能级为时，粒子的允许能级为对应的唯一本征波函数为对应的唯一本征波函数为)(xn。若粒子处于势场。若粒子处于势场)()(),(yfxfyxV中运动，试讨论粒子的最低的中运动，试讨论粒子的最低的三个允许能级与对应的本征波三个允许能级与对应的本征波函数的简并情况。函数的简并情况。方程方程 成立成立二维薛定谔方程为二维薛定谔方程为19设设代入上式，整理为代入上式，整理为 所以得所以得 20（2）式与（）式与（1）式对比可知：）式对比可知：同理（同理（3）式与（）式
13、与（1）式对比可知：）式对比可知：21于是：于是：能量最低的能级能量最低的能级对应唯一波函数对应唯一波函数 非简并非简并能量次低的能级能量次低的能级对应二个波函数对应二个波函数 ，2度简并度简并能量次低的能级能量次低的能级 对应唯一波函数对应唯一波函数 非简并非简并23(,)()niE tnnr tr e*(,)(,)(,)(,)2nnnniJr tr tr tr t*()()()()2nnnnirrrr22(,)(,)()nnnr tr tr 与与 无关无关t定态的性质定态的性质（1 1）粒子在空间几率密度、）粒子在空间几率密度、几率流密度几率流密度与时间与时间无关无关与与 无关无关t（2
14、2）任何力学量的期望值与时间无关）任何力学量的期望值与时间无关（3 3）任何力学量测值的几率分布与时间无关）任何力学量测值的几率分布与时间无关1.2.4 定态与非定态定态与非定态24也是方程的解n非定态,)()exp()EEEir tcrEt（能量期望值能量期望值2EEECE特别，对于一维自由粒子特别，对于一维自由粒子即即25（1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实得到证实。注 意注 意（2 2）SchrSchrdingerdinger方
15、程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。1.2.5多粒子体系的多粒子体系的Schrdinger方程方程SchrSchrdingerdinger方程方程1212(,)(,)NNr rr tiHr rr tt （9）哈密顿算符哈密顿算符22121(,)2NiNiiHU r rr t （8）261.3 量子态叠加原理n1.3.1量子态及其表象n1.3.2量子态叠加原理，测量与波函数塌缩n量子通信
