1、1.3 1.3 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 复习复习 导入导入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 作业作业 第第2 2课时课时 三角形三边的垂直平分线及作图三角形三边的垂直平分线及作图 定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等端点的距离相等 老师提示老师提示:这个结论是经常用来证明两条这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一线段相等的根据之一. N A C B P M 如图如图, AC=BC,MNAB,P是是MN上任上任 意一点意一点(已知已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点线段垂直
2、平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等到这条线段两个端点距离相等). 复习导入复习导入 首页首页 逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这在这 条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上. 几何语言描述：几何语言描述： 如图如图, PA=PB(已知已知), 点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段到一条线段 两个端点距离相等的点两个端点距离相等的点,在这条线段的在这条线段的 垂直平分线上垂直平分线上). 老师提示老师提示:这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明点在直线上点在直线上( 或或直线经过某一点直线经过某一点)的根据之一的根据之
3、一. A B P 已知已知:线段线段AB,（如图）（如图）. 求作求作:线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线. 作法作法: 用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点分别以点A和和B为圆心为圆心,以大以大AB/2 长为半径作弧长为半径作弧,两弧交于点两弧交于点C和和D. A B C D 2. 作直线作直线CD. 则直线则直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线. 想一想：想一想：请你说明请你说明CD为什么是为什么是AB的垂直平的垂直平 分线分线,并与同伴进行交流并与同伴进行交流. 特别提示特别提示: 因为直线因为直线CD与线段与线段AB的交点就是的交点就是AB
4、的中点的中点,所所 以以后我们经常也会用这种方法作线段的以以后我们经常也会用这种方法作线段的中点中点. 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直 平分线平分线. 观察这三条垂直平分线观察这三条垂直平分线,你发现了什么你发现了什么? 合作探究合作探究 结论结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗你能证明这个命题吗? 老师期望老师期望: 你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程. 首页首页 利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线利用尺规作出三角形三条边的垂直平分
5、线. . 再观察这三条垂直平分线再观察这三条垂直平分线, ,你又发现了什么你又发现了什么? ?与同与同 伴交流伴交流. . 结论结论:三角形三条边的垂直平分线相交三角形三条边的垂直平分线相交 于一点于一点. 你想证明这个命题吗你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗你能证明这个命题吗? 老师期望老师期望: 你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程. 如何证三条直线交于一点？如何证三条直线交于一点？ 命题命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一三角形三条边的垂直平分线相交于一 点点. 基本想法是这样的基本想法是这样的:我们知道我们知道,两条直线相交只两条直线相交只 有一个交点。要想证明三条直线
6、相交于一点只有一个交点。要想证明三条直线相交于一点只 要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 如图如图,在在ABC中中,设设AB,BC的垂直平分线相交的垂直平分线相交 于点于点P,连接连接AP,BP,CP. 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上, PA=PB . 同理同理,PB=PC. PA=PC. 点点P在线段在线段AC的垂直平分线上的垂直平分线上, AB,BC,AC的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于 一点一点. A B C P 定理定理:三角形三条边的垂直平分线相
7、交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并并 且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等. 想一想：想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直平分线仿照我们上节课讲的线段垂直平分线 的定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能的定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能 把这个定理也用几何语言表示出来吗？把这个定理也用几何语言表示出来吗？ 试一试：试一试：你能独立完成这个写作过程吗？你能独立完成这个写作过程吗？ 老师提示老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据这是证明三条直线交于一点的根据. 如图如图,在在ABC中中, c,a,b分别是分别是AB,BC,AC的垂直平分线的垂直平分线(已知
8、已知), c,a,b相交于一点相交于一点P,且且PA=PB=PC(三角形三条边三角形三条边 的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶并且这一点到三个顶 点的距离相等点的距离相等). A B C P a b c （1）已知三角形的一条边及这条边上的高）已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗你能作出三角形吗? 如果能如果能,能作出几个能作出几个?所作出的三角形都全等吗所作出的三角形都全等吗? 老师期望老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规作出你能亲自探索出结果并能用尺规作出 图形图形. （2）已知等腰三角形的底及底边上的高）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能
9、用你能用 尺规作出等腰三角形吗尺规作出等腰三角形吗?能作几个能作几个? 例题例题 已知底边及底边上的高已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形利用尺规作等腰三角形. 已知已知:线段线段a,h(如图如图). a h 求作求作: ABC,使使AB=AC,且且BC=a,高高AD=h. 老师期望老师期望:你能独立写出作法你能独立写出作法. 请你写出作法请你写出作法. 作法作法: （1）作线段）作线段BC=a(如图如图) （2）作线段）作线段BC的垂直平分线的垂直平分线m， 交交BC于点于点D （3）在）在m上作线段上作线段DA，使，使DA=h （4）连接）连接AB,AC ABC为所求的等腰三角形为所
10、求的等腰三角形 h a B C A D m 定理定理 三角形三条边的垂直平三角形三条边的垂直平 分线相交于一点分线相交于一点,并且这一点并且这一点 到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等. 如图如图,在在ABC中中, c,a,b分别是分别是AB,BC,AC的垂的垂 直平分线直平分线(已知已知), c,a,b相交于一点相交于一点P,且且 PA=PB=PC(三角形三条边的三角形三条边的 垂直平分线相交于一点垂直平分线相交于一点,并且并且 这一点到三个顶点的距离相这一点到三个顶点的距离相 等等). A B C P a b c 课堂小结课堂小结 首页首页 尺规作图的解题格式尺规作图的解题格式(六步骤
11、六步骤): 已知已知: 作法：作法： 求作求作: 证明：证明： 分析分析: 讨论：讨论： 1.已知线段已知线段a,求作以求作以a为底为底,以以a/2为高的等腰三角为高的等腰三角 形形.这个等腰三角形有什么特征这个等腰三角形有什么特征? 老师提示老师提示:先分析先分析,作出示意图形作出示意图形,再按要求去作再按要求去作 图图. 随堂训练随堂训练 2.如图，已知如图，已知ABC，求作：，求作： （1）AC边上的高；（边上的高；（2）BC边上的高边上的高. A B C 老师提示老师提示:钝角三角形中三边的高的情况钝角三角形中三边的高的情况. 首页首页 3.为筹办一个大型运动会为筹办一个大型运动会,某
12、市政府打算修建一个某市政府打算修建一个 大型体育中心大型体育中心.在选址过程中在选址过程中,有人建议该体育中有人建议该体育中 心所在位置应当与该城市的三个城镇中心心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图如图 中中P,Q,R表示表示)的距离相等的距离相等. P Q R P Q R (1) (2) (1).根据上述建议根据上述建议,试在图试在图(1)中画出体育中心中画出体育中心G 的位置的位置; (2).如果这三个城镇的位置如图如果这三个城镇的位置如图(2)所示所示,RPQ是是 一个钝角一个钝角,那么根据上述建议那么根据上述建议,体育中心体育中心G应在什应在什 么位置么位置? (3).你对上述建
13、议有何评论你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议你对选址有什么建议? 4,如图，某市三个城镇中心如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于恰好分别位于 一个等一个等 边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信 光缆，以城镇光缆，以城镇A为出发点设计了三种连接方案：为出发点设计了三种连接方案： （1）AB+BC （2）AD+BC(D为为BC的中点的中点) （3）OA+OB+OC(O 为为ABC三边的垂直平分线的交点三边的垂直平分线的交点) 要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？ A B C A D B C O D C B A
