1、曲线运动曲线运动万 有 引 力 定 律万 有 引 力 定 律4万有引力定律及其万有引力定律及其应用应用第四章一、万有引力定律一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都内容：自然界中任何两个物体都是是的，引力的方向沿两物体的，引力的方向沿两物体的连线方向，引力的大小跟它们的质量的连线方向，引力的大小跟它们的质量的乘积成的乘积成比，跟它们之间的距离的比，跟它们之间的距离的平方成平方成比比.相互吸引相互吸引正正反反2.表达式：表达式：(1)G为引力常量为引力常量,G=6.6710-11Nm2/kg2(2)该表达式适用于计算两质点间的该表达式适用于计算两质点间的万有引力，当两物体间的距离远大于物
2、万有引力，当两物体间的距离远大于物体本身的几何尺寸时，物体可视为质点体本身的几何尺寸时，物体可视为质点.(3)当两物体为质量分布均匀的球体当两物体为质量分布均匀的球体时，也可用该表达式进行计算，此时时，也可用该表达式进行计算，此时r为两球的球心距离为两球的球心距离.122GmmFr二、万有引力定律在天体运动中的应用二、万有引力定律在天体运动中的应用1.基本模型：一般将行星或卫星的运动基本模型：一般将行星或卫星的运动看做绕中心天体的匀速圆周运动，其向心力看做绕中心天体的匀速圆周运动，其向心力由绕行天体与中心天体间的万有引力来提供由绕行天体与中心天体间的万有引力来提供.2.行星运动各物理量与轨道半
3、径的关系：行星运动各物理量与轨道半径的关系：(1)线速度与半径：线速度与半径：v=22MmvGmrrGMr(2)角速度与半径：角速度与半径：=(3)周期与半径：周期与半径：T=3.黄金代换：黄金代换：在天体表面，可近似认为在天体表面，可近似认为.3GMr22MmGmrr222()MmGmrrT234rGM2MmGmgR2GMgR利用万有引力定律求解万有引力利用万有引力定律求解万有引力的大小的大小 如图如图4-4-2所示，在半径为所示，在半径为R=20cm,质量质量为为M=165kg的均匀铜球中挖去一球形空穴，空的均匀铜球中挖去一球形空穴，空穴的半径为穴的半径为R/2,并且跟铜球相切，在铜球外有
4、并且跟铜球相切，在铜球外有一质量一质量m=1kg的均匀小球，这小球位于连接铜的均匀小球，这小球位于连接铜球中心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，球中心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距两球心相距d=2m,试求它们之间的相互吸引力试求它们之间的相互吸引力.图图4-4-2设被挖去部分质量为设被挖去部分质量为M，则，则，所以，即所以，即M=挖去球形空穴的铜球与挖去球形空穴的铜球与m之间的万之间的万有引力有引力F，可看成实心铜球与，可看成实心铜球与m的引力的引力F1和被挖去的球形小球与和被挖去的球形小球与m的引力的引力F2之之差，即差，即F=F1-F2.代入数据可得代入数据可得F=2.3
5、610-9N.3342RM343MR18MM8M2222/28/2MmM mMmMmFGGGGdddRdR正确理解万有引力表达式适用正确理解万有引力表达式适用条件是应用它的先决条件条件是应用它的先决条件.本题中球体本题中球体为匀质球体，它们之间的作用力符合万为匀质球体，它们之间的作用力符合万有引力表达式的适用条件，本题还运用有引力表达式的适用条件，本题还运用等效割补方法进行转换，使问题更简便等效割补方法进行转换，使问题更简便得以解决得以解决.随着天文学的高速发展，太阳系以外的行星随着天文学的高速发展，太阳系以外的行星不断被发现，不断被发现，2019年科学家发现一颗奇特的年科学家发现一颗奇特的行
6、星，由于靠恒星太近，行星表面的固体升行星，由于靠恒星太近，行星表面的固体升华为气体，到达高空凝华为固体落下，设该华为气体，到达高空凝华为固体落下，设该行星质量行星质量M=21026kg，高空中凝结出的一，高空中凝结出的一块石头质量为块石头质量为5kg，距离行星中心，距离行星中心105km，已，已知万有引力常量知万有引力常量G6.710-11Nm2/kg2，求石，求石头所受引力多大头所受引力多大(结果取两位有效数字结果取两位有效数字)石头所受引力石头所受引力26112822 105FG6.7 106.7.(10)MmNr天体的运动学参量与轨道半天体的运动学参量与轨道半径之间的关系径之间的关系 我
7、国发射的我国发射的“神舟七号神舟七号”宇宙飞船宇宙飞船绕地球的运动周期约为绕地球的运动周期约为90min，如果把，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，下列判断中正确的是相比，下列判断中正确的是()A.飞船的轨道半径大于同步卫星的飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径轨道半径B.飞船的运动速度小于同步卫星的飞船的运动速度小于同步卫星的运行速度运行速度C.飞船运动的向心加速度大于同步飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度卫星运动的向心加速度D.飞船运动的角速度小于同步卫星飞船运动
8、的角速度小于同步卫星运动的角速度运动的角速度同步卫星的周期同步卫星的周期24h，大于飞船，大于飞船的运行周期的运行周期90min，由飞船运行周期与，由飞船运行周期与轨道半径关系式可知：若轨道半径越小，轨道半径关系式可知：若轨道半径越小，则运行速度越大、角速度越大、向心加则运行速度越大、角速度越大、向心加速度越大、周期越短，结合题意知同步速度越大、周期越短，结合题意知同步卫星轨道半径大，故选项卫星轨道半径大，故选项C正确正确.弄清人造卫星运行线速度、弄清人造卫星运行线速度、角速度、加速度、周期等与轨道半径之角速度、加速度、周期等与轨道半径之间的直接联系，从而掌握线速度、角速间的直接联系，从而掌握
9、线速度、角速度、加速度和周期之间的间接关系度、加速度和周期之间的间接关系.(1)三颗人造三颗人造地球卫星地球卫星a、b、c在同一在同一平面内沿不同轨道绕地球平面内沿不同轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行做匀速圆周运动，且绕行方向相同方向相同,已知已知RaRbRc.如图如图4-4-3所示，在某一时所示，在某一时刻，它们正好运行到同一刻，它们正好运行到同一直线上直线上.那么再经过卫星那么再经过卫星a的四分之一周期时，卫星的四分之一周期时，卫星a、b、c的新位置可能是的新位置可能是下图中的下图中的()图图4-4-3(2)我国的国土范围在东西方向上大致分布我国的国土范围在东西方向上大致分布在东经在东经7
10、0到东经到东经135之间，所以我国发射之间，所以我国发射的同步通信卫星一般定点在赤道上空的同步通信卫星一般定点在赤道上空3.6万千米、万千米、东经东经100附近附近.假设某通信卫星计划定点在赤假设某通信卫星计划定点在赤道上空东经道上空东经104的位置，经测量刚进入轨道的位置，经测量刚进入轨道时位于赤道上空时位于赤道上空3.6万千米、东经万千米、东经103处，为处，为了把它调整到了把它调整到104处，可以短时间启动卫星处，可以短时间启动卫星上的小型喷气发动机调整卫星的高度，改变其上的小型喷气发动机调整卫星的高度，改变其周期，使其周期，使其“漂移漂移”到预定经度后，再短时间到预定经度后，再短时间启
11、动发动机调整卫星的高度，实现定点，两次启动发动机调整卫星的高度，实现定点，两次调整高度的方向依次是调整高度的方向依次是()A.向下、向上向下、向上B.向上、向下向上、向下C.向上、向上向上、向上D.向下、向下向下、向下(2)同步卫星随地球自转的方向是从西向同步卫星随地球自转的方向是从西向东，把同步卫星从赤道上空东，把同步卫星从赤道上空3.6万千米、万千米、东经东经103处，相对于地球沿前进方向移处，相对于地球沿前进方向移动位置，需要增大相对速度，所以应先下动位置，需要增大相对速度，所以应先下降高度增大速度到某一位置再上升到原来降高度增大速度到某一位置再上升到原来的高度的高度应用万有引力定律求天
12、体应用万有引力定律求天体质量质量 我国已经启动我国已经启动“嫦娥探月工嫦娥探月工程程”，2019年发射绕月球飞行的年发射绕月球飞行的“嫦娥嫦娥一号一号”，2019年年底实现登月飞行，若年年底实现登月飞行，若在月球表面上，宇航员测出小物块自由在月球表面上，宇航员测出小物块自由下落下落h高度所用的时间为高度所用的时间为t,当飞船在靠近当飞船在靠近月球表面的圆轨道上飞行时，测得其环月球表面的圆轨道上飞行时，测得其环绕周期为绕周期为T，已知万有引力常量为，已知万有引力常量为G，根据上述物理量，求月球的质量根据上述物理量，求月球的质量M设月球表面的重力加速度为设月球表面的重力加速度为g，月球质量为月球质
13、量为M，月球半径为，月球半径为R，飞船质，飞船质量为量为m，对物块对物块其中其中=mg对飞船对飞船由由解得解得212hgt2GMmR222()GMmmRRT344 62h TMGt*某星球自转周期为某星球自转周期为T，在，在它的两极处用弹簧秤称得某物重它的两极处用弹簧秤称得某物重F，在，在赤道上称得该物重赤道上称得该物重F，引力常量为，引力常量为G，求该星球的平均密度求该星球的平均密度.2()FFFFMmFFGMRmR引引题目中弹簧秤称得物重 与，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力在星球的两极物体受星球的引力与弹簧弹力 的作用，因该处的物体不做圆周运动，处于静止状态，有其中为星球质量，为物体质
14、量，为星球半径 3222433443()FMVRGRmFFFFmRTFGTFF 引引又，代入式后整理得在星球赤道处，物体受引力与弹簧弹力的作用随星球自转做匀速圆周运动，所以由得1.对于万有引力定律的表达式 ，下列说法正确的是()A公式中G为引力常量，它是人为规定的Br趋近于零时，万有引力趋于无穷大Cm1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反Dm1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，它们是一对平衡力122m mFGrC2.万有引力可以理解为：任何物体都要在其周围产生一个引力场，该引力场对放入其中的任何物体都会产生引力(即万有引力)作用，表征引力场的物理量可以与电场、磁场有关物理量相比
15、如重力加速度可以与下列哪些物理量相比()A电势 B电场强度C磁场能 D磁场力B3.两颗靠得很近的天体叫双星，它们以二者重心连线上的某点为圆心做圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是()A它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B它们做圆周运动的线速度与其质量成反比C它们所受的向心力与其质量成正比D它们做圆周运动的半径与其质量成正比B221 12 2122112121221()/CAm rwm r wrrmmvvrw r wrrmmBD双星之间相互作用力提供向心力，故它们的向心力大小相等，故选项 错误；由于它们以二者重心连线上的某点为圆心做圆周运动，所以它们的运行周
16、期 或角速度 相等，故选项 错误；根据得，可知运行半径与质量成反比，则，选项正确，选项【解析】错误121212,1212,1212,1212,12rrEErr EErr EErr EErE4.rEkkkkkkkkkkABCD某人造卫星运动的轨道可近似看做是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从 慢慢变到，用、分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则（）B2212,12kkMmvGmrrGMvrrrEEB本题考查卫星变轨问题，属于万有引力定律的应用题卫星在运行过程中受到阻力作用其能量减小，从而导致出现，因而使卫星做近心运动，即将降到较低轨道上；又由于知，轨道半径越小，其正常运行速度越
17、大，即卫星在低轨道上具有的动能【较大，结合题意可知：解析】选项，正确5.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N.由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为()A0.5 B2C3.2 D4B6.不回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾如图444所示是飘浮在地球附近的太空垃圾示意图，下列说法中正确的是()A离地越高的太空垃圾运行速率越大B离地越高的太空垃圾运行角速度越小C离地越低的太空垃圾运行周期越大D太空垃圾只可能跟同一轨道上的航天器相撞图444B【解析】根据万有引力定律和动力学公式推导速率、角
18、速度、周期等与轨道半径之间的关系在同一轨道上太空垃圾运行速率相等，且一旦加速就会做离心运动，故无法追上航天器7.一物体静置在平均密度为r的球形天体表面的赤道上已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为()4.3AG3.4BG.CG3.DGD2322334234433.MmRGmRTRTGMMMRRTG物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力提供向心力：，解得又密度两式联立解得【析】8.科学探测表明，月球上存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看做均匀球体，月球仍沿开采
19、前的圆周轨道运动，则与开采前相比()A地球与月球之间的万有引力将变大B月球绕地球运动的周期将变长C月球绕地球运动的线速度将增大D月球绕地球运动的线速度将减小C22222()2()2MmMmMmMmMmMmMmGmrrTMGrMTrTrBvTrvTCD由数学知识知：若为定值，则当时，乘积最大；当与 相差越大，乘积越小在不断把月球上的矿藏搬到地球上时，与相差越来越大，故万有引力越来越小；月球绕地球做圆周运动由万有引力提供向心力，即有，可见，当增大时，周期 变小，选项 错误；而，当 减小，不变时，速度增大，故选项 正确，【解析】错误9.2019年北京时间7月4日下午1时52分，美国探测器成功撞击“坦
20、普尔一号”彗星，投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大对撞”，如图445所示设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运行周期为5.74年，则下列说法错误的是()图445A“坦普尔一号”彗星运动在近日点处的线速度小于远日点处的线速度B“坦普尔一号”彗星运动在近日点处加速度大于远日点加速度C探测器的最小发射速度为11.2km/sD探测器运行的周期T小于5.74年图445答案：A【解析】在彗星由近地点向远地点运动中，合力(引力)做负功，故动能、速率减小；根据万有引力定律和牛顿第二定律可得，彗星在近地点加速度较大；探测器已脱离地球引力约束范围，故地面发射速度至少要11.2km/s
21、；另外，探测器比彗星离太阳近，故探测器周期较短10.宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G.求该星球的质量M.2222222222222(3)122 33hxxhLxxhLghgtMmmgGRLRMGt如图所示，设抛出点的高度为，第一次平抛的水平射程为，则有，由平抛运动规律得知，当初速度增大到 倍时，其水平射程也增大到，可得设该星球上的重力加速度为，由平抛运动的规律得：由万有引力定律与牛顿第二定律得
22、：联立以上各式即可解得【解析】11.如图446所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧引力常数为G.图446(1)求两星球做圆周运动的周期(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2.已知地球和月球的质量分别为5.981024kg和7.351022kg.求T2与T1两者平方之比(结果保留3位小数)2222312()2()ABOABABOABmw rMw RrRLmMRLrLmMmMAGMmMmLLTMmLTG Mm和 绕 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 和 的向心力相等且、和 始终共线，说明 和 有相同的角速度和周期因此有：，联立解得：，对 根据牛顿第二定律和万有引力定律得：化简得【解析】312232242222241212()2()25.98 107.35 10()1.015.98 10LTG MmGMmmLLTLTGMTmMTM将地月看成双星，由得：将月球看成绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：化简得所以两种周期的平方比值为：
