1、 2021 学年第一学期天河区期末考试学年第一学期天河区期末考试 高一数学高一数学 一、选择题一、选择题 1.下列函数中，既在 R 上单调递增，又是奇函数是（）A.sinyx=B.3yx=C.1yx=+D.2xy=【答案】B【解析】【分析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.【详解】sinyx=是奇函数，但在 R 上不单调递增，故 A不满足题意；3yx=既在 R上单调递增，又是奇函数，故 B 满足题意；1yx=+、2xy=不是奇函数，故 C、D不满足题意；故选：B 2.已知集合1,2,3,4,5,2,3,5,2,5UAB=，则（）A.AB B.1,3,4UB=C.2,5AB=D.3AB=【答
2、案】B【解析】【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.【详解】由题BA，故 A 错；1,2,3,4,5U=，2,5B=，1,3,4UB=，B 正确；2,3,5AB=，C 错；2,5AB=，D 错；故选:B 3.设5log 4a=，15log 3b=，0.20.5c=，则 a，b，c的大小关系是（）A.abc B.bac C.cba D.cab【答案】B【解析】的【分析】根据指、对数函数的知识判断出,a b c的范围即可.【详解】因为50log 41a=，15log 30b=所以cab 故选：B 4.已知是锐角，那么2是（）A 第一象限角 B.第二象限角 C.小于 180的
3、正角 D.第一或第二象限角【答案】C【解析】【分析】由题知0,2，故()20,，进而得答案.【详解】因为是锐角,所以0,2,所以()20,满足小于 180的正角.其中 D选项不包括90，故错误.故选：C 5.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x 2.0 1.0 0 1.00 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）.A.yabx=+B.xyab=+C.logbyax=+D.byax=+【答案】B【解析】【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察实验室是指数型函数图象【详
4、解】由题中表格数据画出散点图，如图所示，观察图象，类似于指数函数 对于 A，是一次函数，图象是一条直线，所以 A 错误，对于 B，是指数型函数，所以 B正确，对于 C，是对数型函数，由于表中的x取到了负数，所以 C错误，对于 D，是反比例型函数，图象是双曲线，所以 D错误，故选：B.6.设0a，0b，若54abab=+，则 ab 的最小值是（）A.5 B.9 C.16 D.25【答案】D【解析】【分析】结合基本不等式来求得ab的最小值.【详解】0,0ab，542 44ababa bab=+=，()()45510abababab=+，50,25abab，当且仅当4ab=时等号成立，由542541
5、0baaababb=+=.故选：D 7.使不等式260 xx成立的充分不必要条件是（）A.20 x B.23x C.05x D.24 x【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.【详解】解不等式260 xx得：23x，对于 A，因|20 xx|23xx，即20 x 是260 xx成立的充分不必要条件，A正确；对于 B，23x 是260 xx成立的充要条件，B不正确；对于 C，因|05xx|23xx，且|23|05xxxx，则05x是260 xx成立的不充分不必要条件，C不正确；对于 D，因|23xx|24xx，则24 x是260 x
6、x”是“22xy”的充分不必要条件 B.命题“Zx，20 x”的否定是“0Zx，200 x”C.若不等式20 xaxb+的解集是(3,2)D.“,0()3k ”是“不等式23208kxkx+”的否定是“0Zx，200 x”，故 B正确；对于 C，若不等式 x2+axb0的解集是（2，3），则2，3 是方程 x2+axb0 的两个根，由根与系数的关系可得a2+3，b6，可得 a1，b6，所以 ax2x+b0即为x2x+60，即 x2+x60，解得3x2，可得不等式 ax2x+b0的解集为（3，2），故 C正确；对于 D，不等式23208kxkx+对一切 x都成立，当 k0 时，不等式38 0恒成
7、立，当 k0 时，0,k，0c B.若0 x 且1x，则2loglog 2xx+的最小值是 2 C.2x 时，22xxx+的最小值是2 21 D.(10)xx取得最大值时，5x=【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质判断 A，利用基本不等式判断 B，C，D，注意基本不等式成立的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可【详解】对于选项 A，0ab，11ab，又0c，故选项 A正确，对于选项 B，当01x时，2log0 x，2221loglog 2log0logxxxx+=+，2221 2 21xxxxx+=+，当且仅当2xx=即2x=时，等号成立，显然x取不到2，所以等号不能成立，故选项 C
8、 错误，对于选项 D：由(10)0 xx可得010 x，(10)(10)52xxxx+=，当且仅当10 xx=即5x=时，等号成立，故选项 D 正确，故选：AD 11.已知函数()sin 26f xx=，则下列说法正确的是（）A.直线43x=是函数()f x图象的一条对称轴 B.函数()f x在区间7,4 12上单调递减 C.将函数()f x图象上的所有点向左平移6个单位长度，得到函数sin 26yx=+的图象 D.若()6f xaf对任意的0,2x恒成立，则1a，整理得1sin(2)62ax，令()()h xf xk=，则下列说法正确的是（）A.函数()f x的单调递增区间为()0,+B.当
9、(43k,时，()h x有 3 个零点 C.当2k=时，()h x的所有零点之和为-1 D.当(),4k 时，()h x有 1 个零点【答案】BD【解析】【分析】画出()f x的图象，然后逐一判断即可.【详解】()f x的图象如下：由图象可知，()f x的增区间为()()1,0,0,+，故 A错误 当(43k,时，()yf x=与yk=有 3个交点，即()h x有 3个零点，故 B正确；当2k=时，由2232xx+=可得12x=，由2ln2x+=可得1x=所以()h x的所有零点之和为1212+=，故 C 错误；当(),4k 时，()yf x=与yk=有 1个交点，即()h x有 1个零点，故
10、 D正确；故选：BD 三、填空题三、填空题 13.函数1()211xf xx=+的定义域为_【答案】)()0,11,+【解析】【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101xx，解得0 x 且1x，因此定义域为)()0,11,+.故答案为：)()0,11,+.14.在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为43(,)55P，则tan()4=_【答案】7【解析】【分析】先由三角函数定义得3tan4=，再由正切的两角差公式计算即可.【详解】由三角函数的定义有335tan445=，而311tan4tan()7341tan14+=+.故答案为：7 15.已知函数()
11、()2,0,0 xxf xg xx奇函数，则(2)g=_【答案】14#0.25【解析】【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为()f x是奇函数，所以有21(2)(2)(2)24gff=，故答案为：14 16.若函数2()61f xaxx=+在(1,1)内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】5 79，【解析】【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.为【详解】当0a=时，1()610(1,1)6f xxx=，符合题意，当0a 时，二次函数2()61f xaxx=+的判别式为：=36+4a，若=0,9a=，此时函数2()61f xaxx=+的零点为13x=，符合题意；
12、当0,9a 时，只需(1)(1)=(5)(7)0ffaa+，所以57a 且0a；当(1)=0f时，5a=，经验证符合题意；当(1)=0f 时，7a=，经验证符合题意；所以实数 a 的取值范围为5 79，.故答案为：5 79，四、解答题四、解答题 17.已知集合1|32Axx=，2|40Bx x=，|0Mx xa=.（1）求AB，R()AB （2）若AMA=，求实数 a的取值范围【答案】（1）|23xx；1|22xx.【解析】【分析】(1)解不等式化简集合 B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答.(2)由已知可得AM，再利用集合的包含关系列式计算作答.【小问 1 详解】解240 x 得：2
13、2x，则|22Bxx，而1|32Axx=，所以|23ABxx=，R1|2Ax x=，R1()|22ABxx=.【小问 2 详解】|Mx xa=，所以实数 a 的取值范围是3a.18.已知cos()cos()2()sin(2)f+=是（1）若1()3f=，求cos2的值；（2）若1()63f=，且263，求sin的值【答案】（1）79 （2）2 616+【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简可得()cosf=，然后利用二倍角公式求解即可；（2）由条件可得1cos63=，sin632 2=，然后根据sinsinsincoscossin666666=+=+求解即可.【小问 1 详解】cos()cos
14、()cos sin2()cossin(2)sinf+=因为1()cos3f=，所以27cos22cos19=【小问 2 详解】因为1()cos663f=，263 所以062【答案】（1）f（x）为奇函数，证明见解析；（2）当 a1时，不等式的解集为（0，1）；当 0a1时，不等式的解集为（1，0）【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出 f（x）与 f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得 x 的范围【小问 1 详解】对于函数()log(1)log(1)aaf xxx=+，由1 010 xx+，求得1x1，故函数的定义
15、域为（1，1），再根据()()log(1)log(1)aafxxxf x=+=可得 f（x）为奇函数【小问 2 详解】不等式 f（x）0，即 loga（x+1）loga（1x），当 a1时，可得 x+11x，且 x（1，1），求得 0 x1 当 0a1 时，可得 x+11x，且 x（1，1），求得1x0，综上，当 a1 时，不等式的解集为（0，1）；当 0a1时，不等式的解集为（1，0）20.已知函数()sin(4)cos(4)36f xxx=+（1）求函数()f x的最小正周期和单调递增区间；（2）若()f x在区间0,m上存在唯一的最小值为-2，求实数 m的取值范围【答案】（1）2T=,5
16、,Z242242kkk+（2）719,)2424【解析】【分析】（1）用诱导公式将函数化为sin()yAx=+，然后可解；（2）根据 m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.【小问 1 详解】()sin(4)cos(4)sin(4)cos(4)2sin(4)363323f xxxxxx=+=+=+所以()f x的最小正周期242T=，由242,232kxkkZ+，解得5,242242xkkkZ+，所以()f x的单调递增区间为5,Z242242kkk+.【小问 2 详解】令4232xk+=+，得5,242kxkZ=+因为()f x在区间0,m上存在唯一的最小值为-2，所以，5524224
17、m+，即7192424m 所以实数 m的取值范围是719,)2424.21.某企业生产 A，B两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y与投资 x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润 y与投资 x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润 y与投资 x 的单位均为万元）（1）分别求 A，B 两种产品的利润 y 关于投资 x的函数解析式；（2）已知该企业已筹集到 200 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品生产 若将 200 万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？如果你是厂长，怎样分配这 200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？【
18、答案】（1）A 产品的利润 y关于投资 x 的函数解析式为：0.25(0)yx x=；B 产品的利润 y关于投资 x的函数解析式为：2(0)yx x=.（2）45万元；当投入 B产品的资金为16万元，投入 A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；（2）：利用代入法进行求解即可；利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【小问 1 详解】因为 A产品的利润 y与投资 x成正比，所以设(0)ykx k=，由函数图象可知，当1x=时，0.25y=，所以有0.25k=，所以0.25
19、(0)yx x=；因为 B产品的利润 y与投资 x的算术平方根成正比，的 所以设(0)ym x m=，由函数图象可知：当4x=时，4y=，所以有442mm=，所以2(0)yx x=；【小问 2 详解】:将 200 万元资金平均投入两种产品的生产，所以 A产品的利润为0.25 10025=，B 产品的利润为2 10020y=，所以获得总利润为252045+=万元；：设投入 B 产品的资金为(0200)xx万元，则投入 A 产品的资金为(200)x万元，设企业获得的总利润为w万元，所以10.25(200)22504wxxxx=+=+，令(010 2)xtt=，所以2211()250(4)5444w
20、f tttt=+=+，当4t=时，即当16x=时，w有最大值，最大值为54，所以当投入 B 产品的资金为16万元，投入 A产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.22.设Ra，函数2()2xxaf xa+=（1）若a0，判断并证明函数()f x的单调性；（2）若0a，函数()f x在区间,m n（mn）上的取值范围是,22mnkk（Rk），求ka的范围【答案】（1）()f x在R上递增，证明见解析.（2）()0,32 21【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义计算()()12f xf x的符号，从而判断出()f x的单调性.（2）对a进行分类讨论，结合一元二次
21、方程根的分布来求得ka的范围.【小问 1 详解】2222()1222xxxxxaaaaf xaaa+=+，当a0时，()f x的定义域为R，()f x在R上递增，证明如下：任取()()()()21121212122222,22222xxxxxxaaxxf xf xaaaaa，所以()()()()12120,f xf xf xf x，所以()f x在R上递增.【小问 2 详解】由于mn，所以22mn，由,22mnkk知22mnkk，所以0k.由于0a，所以a.当a，可化为()20tak tak+=，其中0,0,0akak，所以()202400akakakak，22600kakakaak+，201
22、6100kakkaaak，解得032 2ka时，函数2()12xaf xa=+的定义域为2|logx xa，函数()f x在()()22,log,log,aa+上递减.若()2,log,m na+，则()1f x，于是02mk，这与0k 矛盾，故舍去.所以()2,logm na，则()1f x，于是()()()()()()22222222222222mnmmmnnnmnnmnmakkf makaakakakaf na+=+=+=，两式相减并化简得()()220nmak+=，由于,22nmmn，所以0ak+=，所以1ka=.综上所述，ka的取值范围是()0,32 21.【点睛】函数()f x在区间,a b上单调，则其值域和单调性有关，若()f x在区间,a b上递增，则值域为()(),f af b；若()f x在区间,a b上递减，则值域为()(),f bf a.
