1、 矩阵 矩阵的运算 逆矩阵 矩阵分块法第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第一节第一节 矩矩 阵阵矩阵概念的引入矩阵的定义几种特殊矩阵线性变换小结矩阵的历史矩阵的历史矩阵的理论起源，可追溯到矩阵的理论起源，可追溯到1818世纪，见于世纪，见于著作则是在著作则是在1919世纪。世纪。A.A.凯莱在凯莱在18581858年引进年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把法与乘法运算，于是人们就把A.A.凯莱作为凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.C.F.高高斯在斯在18011801年与年与F.G.
2、M.F.G.M.艾森斯坦在艾森斯坦在1844185218441852年就早已先后把一个线性替换（即线性变年就早已先后把一个线性替换（即线性变换）的全部系数作为一个整体，并用一个换）的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。字母来表示。1 1、某班级同学早餐情况、某班级同学早餐情况这个数表反映了这个数表反映了学生的早餐情况学生的早餐情况.姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周星驰周星驰4221张曼玉张曼玉0000陈水扁陈水扁4986422100004986 为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入2 2、某航空公司在、某航空公司在，四城市
3、之间的航线图四城市之间的航线图其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中把表中的的 改成改成,空白地方空白地方填上填上,就得到一个数表就得到一个数表:新乡新乡伊朗伊朗天水天水上海上海这个数表反映这个数表反映了四城市间交了四城市间交通联接情况通联接情况.为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示0111111100000000天水天水伊朗伊朗新乡新乡上海上海发站发站天水天水 伊朗伊朗 新乡新乡 上海上海到站到站0110101010010100 11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 3
4、 3、线性方程组、线性方程组的解取决于的解取决于 ,1,2,(),ija i jn m 系数系数 1,2,ib im 常数项常数项11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.二、矩阵二、矩阵(Matrix)的定义的定义mnmmnnaaaaaaaaa212222111211列列的的数数表表行行排排成成的的个个数数由由nmnjmianmij),2,1;,2,1(矩矩阵阵。记记作作列列矩矩阵阵。简简称称行行称称为为nmnm
5、 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 元素元素行标行标列标列标).()(ijnmijnmaaAA 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.简记为简记为例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 例如例如 2222222613i是一个是一个3 3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵 行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵
6、 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).).,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0记作记作 .,21ndiagA 称为称为对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵）.100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.OO全为全为1(4)(4)n阶方阵阶方阵Diagonal MatrixIdentity Matrix （5 5）元素全为零的矩阵称
7、为）元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如 两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵.(6)同型矩阵同型矩阵例如例如 9348314736521与与为同型矩阵为同型矩阵.(7)相等矩阵相等矩阵 两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等并且对应元素相等,即即 ijijAaBb与与 ,2,1;,2,1njmibaijij BA与与则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作.BA 例例 .,
8、22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay之间的关系式为之间的关系式为.,2121为常数为常数其中其中变换变换的线性的线性到变量到变量表示一个从变量表示一个从变量ijmnayyyxxxm与与m个变量个变量yyy,21变量变量nxxx,21n个个矩阵的应用矩阵的应用 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一之间存在着一一对应关系对应关系.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.nnxyxyxy0000002211对应对应
9、100010001 单位阵单位阵.线线性性变变换换111222,nnnyxyxyx 对应对应12000000n 对角阵对角阵.线性线性变换变换11cossin,sincos.xxyyxy 对应对应 cossinsincosXYO yxP,111,yxP这是一个以原点为中心旋转这是一个以原点为中心旋转 角的角的旋转变换旋转变换.0yxPP1投影变换投影变换矩阵矩阵例例矩阵矩阵1000对应对应线性变换线性变换110 xxy 小结小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 m行行n列的一个数表列的一个数表 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211(2)(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;n
10、m 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021同型矩阵同型矩阵相等矩阵相等矩阵矩阵与矩阵与行列式行列式的有何区别的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别，行列式矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个是一个算式算式，一个数字行列式经过计算可，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个求得其值，而矩阵仅仅是一个数表数表，它的，它的行数和列数可以不同行数和列数可以不同.思考思考 数学王子数学王子 高斯，高斯，C.F.Carl Friedrich Gauss(17771855)德国数学家、天文学家和物
11、理学家，被誉为德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、I.牛顿牛顿并列，同享盛名。他童年时就显示出很高的才能。并列，同享盛名。他童年时就显示出很高的才能。1795年入格丁根大学，曾在攻读古代语还是年入格丁根大学，曾在攻读古代语还是数学专业上产生犹豫，但数学上的及时成功，促使他致力于数数学专业上产生犹豫，但数学上的及时成功，促使他致力于数学研究。学研究。大学的第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边形大学的第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件的尺规作图法，并给出可用尺规
12、作出的正多边形的条件,解决了解决了两千年来悬而未决的难题。两千年来悬而未决的难题。1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理而获博士学位。从而获博士学位。从1807年到年到1855年逝世，他一直担任格丁根大年逝世，他一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。学教授兼格丁根天文台台长。1801年发表年发表算术研究算术研究，它开辟了数论研究的全新，它开辟了数论研究的全新时代。时代。高斯在代数方面的代表性成就是他对代数基本定理的证高斯在代数方面的代表性成就是他对代数基本定理的证明。明。1812年，高斯发表了在分析方面的重要论文年，高斯发表了在
13、分析方面的重要论文无穷级无穷级数的一般研究数的一般研究，其中引入了高斯级数的概念。，其中引入了高斯级数的概念。非欧几里得几何是高斯的又一重大发现。有关的思非欧几里得几何是高斯的又一重大发现。有关的思想最早可以追溯到想最早可以追溯到1792年，即高斯年，即高斯15岁那年。岁那年。他他1809年发明的最小二乘法。另外，象球面三角中高年发明的最小二乘法。另外，象球面三角中高斯方程组和内插法计算中的高斯内插公式在天文学计算中斯方程组和内插法计算中的高斯内插公式在天文学计算中也有广泛应用。高斯致力于天文学研究前后约也有广泛应用。高斯致力于天文学研究前后约20年，在这年，在这领域内的伟大著作之一是领域内的
14、伟大著作之一是天体运动理论天体运动理论(1809)。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度了两种彼此独立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公式。及方位角之差至四次项的公式。1816年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政年起，高斯把数学应用从天体转向大地。他受汉诺威政府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独立的府的委托进行大地测量。在这项工作中他创造了两种彼此独
15、立的方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公方法，推导旋转椭圆体上计算经纬度及方位角之差至四次项的公式。在对大地测量的研究中，高斯创立了关于曲面的新理论。式。在对大地测量的研究中，高斯创立了关于曲面的新理论。1827年发表年发表关于曲面的一般研究关于曲面的一般研究，书中全面阐述了三维空间，书中全面阐述了三维空间中的曲面的微分几何，并提出了内蕴曲面理论，在微分几何中获中的曲面的微分几何，并提出了内蕴曲面理论，在微分几何中获得扩展和系统化。高斯的曲面理论后来被他的学生（得扩展和系统化。高斯的曲面理论后来被他的学生（G.F.）B.黎黎曼所发展，成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。曼所发
16、展，成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。19世纪世纪30年代起，高斯的注意力转向磁学，年代起，高斯的注意力转向磁学，18391840年先年先后发表了后发表了地磁概论地磁概论和和关于与距离平方成反比的引力和斥力关于与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定理的普遍定理，后一篇论著还是，后一篇论著还是19世纪位势理论方面的主导性文世纪位势理论方面的主导性文献。献。高斯在学术上十分谨慎，他恪守这样的原则：高斯在学术上十分谨慎，他恪守这样的原则：“问题在思想问题在思想上没有弄通之前决不动笔上没有弄通之前决不动笔”，并且认为只有在证明的严密性，文，并且认为只有在证明的严密性，文字词句和叙述体裁都达到无懈可击时才
17、发表自己的成果，这使得字词句和叙述体裁都达到无懈可击时才发表自己的成果，这使得他发表的作品比起他一生中所做的大量研究来说相对地要少得多。他发表的作品比起他一生中所做的大量研究来说相对地要少得多。第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的加法矩阵的加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置矩阵的转置方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵小结小结一、矩阵的加法一、矩阵的加法 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211111 1、定义定义说明说明:两个矩阵能进行加法运算的条件两个矩阵能进行加法运算的条件？，规规
18、定定为为的的和和记记作作与与矩矩阵阵那那么么矩矩阵阵设设有有两两个个BABAbBaAnmijij ),(),(例例 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 同型矩阵同型矩阵.2 2、矩阵加法的运算规律、矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 .BABA ,04AA ,ija 称为矩阵称为矩阵A的的负矩阵负矩阵。规定矩阵的减法为：规定矩阵的减法为：二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘
19、积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数,AAA 1 1、定义、定义 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩矩阵相加与数乘矩阵合起来阵合起来,统称为矩统称为矩阵的阵的线性运算线性运算.),(为为数数矩矩阵阵为为设设 nmBA 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘BA 21104,846675已已甲甲星期三星期三星期二星期二星期一星期一单利单利单价单价乙乙甲甲销售记录销售记录C 281624172615108461044710645星期三星期三星期二星期二星期一星期一总利总利销售总额销售总额引例引例CAB 1、定义定义 skkjiksjisji
20、jiijijijijbabababaccCnmBAnsbBsmaA12211),(,)()(其其中中矩矩阵阵的的乘乘积积是是一一个个与与矩矩阵阵那那么么规规定定矩矩阵阵矩矩阵阵是是一一个个矩矩阵阵，是是一一个个设设 ,2,1;,2,1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 32232221131211 aaaaaa43343332312423222114131211 bbbbbbbbbbbb.422423222114131211 cccccccc注意注意:两个矩两个矩阵相乘阵相乘的条件的条件?.121113121430,415003112101ABBA，计算，计算 例例1 1故故 12
21、1113121430415003112101ABC.解解 ,3443,ijijbBaA .33 ijcC5 671026 2 17 10 106861985123321例：例：2、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB )(3为为数数其其中中 BABAAB nmnmmnnmAAEEA 4E在矩阵乘法中的在矩阵乘法中的作用类似于数作用类似于数1 1。(5)有了矩阵的乘法，可以定义有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的幂矩阵的幂：1211,kkAA AAAAA A 设设A是是n阶方阵，定义：阶方阵，定义：其中其中k为正整数，即为正整数，即Ak就是就是
22、k个个A连乘。连乘。幂的运算规律：幂的运算规律：,()klk lklk lAAAAA 例例 设设 1111,1111BA,0000 AB,2222 BA注意注意矩阵不满足矩阵不满足交换律交换律，即一般情况下，即一般情况下，,BAAB BAAB 但也有例外，比如设但也有例外，比如设,1111,2002 BA则有则有,AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB ,()()m nn mm mn nIf ABmn then ABBA l定义定义：对于两个对于两个n阶方阵阶方阵A,B，若若AB=BA，则称则称A与与B是是可交换可交换的的.续上例续上例 1111,1111BA 0000ABOABOBOA
23、 ,反之是否成立反之是否成立?OBorOAOAB !NO?)(,YXOYXAOA !NO例例111234,003412ABC4600AB 不满足不满足消去律消去律.but BC,AC 并且易验证并且易验证nmnnmnmmAEAAE )()(特别的，对于特别的，对于n 阶方阵阶方阵A有有()()nnnnnEAAAE 故纯量阵故纯量阵 E与任何同阶方阵可交换。与任何同阶方阵可交换。000000E定义定义 方阵方阵称为称为纯量矩阵纯量矩阵(或或数量矩阵数量矩阵）。特殊矩阵特殊矩阵例例2 2 计算下列乘积：计算下列乘积：1212nnbbABaaab 1212nnbbBAaaab 1 122nna ba
24、 ba b 111212122212nnnnnnb ab ab ab ab ab ab ab ab a 一个一个数数n阶方阵阶方阵 .,)1(2121BAABbbbBaaaAnn，计算，计算设设 ,()()m nn mm mn nIf ABmn then ABBA 111213112321222323132333(2)aaabbbbaaabaaab 332222112bababa 321bbb2211 121 2 131 3 112 1 222 232 3 2213 1 323 2 333 3.a ba b ba b ba bba ba b ba bba b ba b 331221111(ba
25、baba )333223113bababa .0010)3(2AA，计算，计算设设 OA 0000001000102OA 解法解法1 12121012001AAA例例4 4设设110011001A 求求(2,3)nAn 32133013001AA A43146014001AA A归纳出归纳出1(1)201001nnn nAn 下面再用数学归纳法来证明（略）。下面再用数学归纳法来证明（略）。解法二：解法二：令矩阵令矩阵010001000B，则，则A=E+B(1)22()n nnnnAEBEnBBB 经计算知：经计算知：2300100000000nBBB故有故有(1)2(1)22101001n nn nnnAEnBBn 110011001A 作业作业第第53-54页：习题二页：习题二2，4（1）（）（3）（）（4）
