1、章毓晋清华大学电子工程系 100084 北京图象工程章毓晋(TH-EE-IE)第第14章章 多尺度图象技术多尺度图象技术 14.1多尺度表达 14.2相邻尺度联系 14.3高斯和拉普拉斯金字塔14.4多尺度信号分解和重建 14.5基于多尺度小波的处理 14.6多尺度变换技术 章毓晋(TH-EE-IE)14.1 多尺度表达多尺度表达 u一个共有n+1层的完整的2-D图象金字塔，其中单元（有的代表象素，有的代表象素集合）的总数为u给定一个每个方向上有N个象素的k-D图象，如果考虑用亚采样因子2来构建金字塔，则金字塔总的单元数为 222344141411NNnkkkkkkNN122.212112章毓
2、晋(TH-EE-IE)14.1 多尺度表达多尺度表达 u尺度空间尺度空间 l空间分辨率（原维数）l当前分辨率层次（新维数）l尺度空间：g(x,s)包含一系列有不同分辨率的图象的数据结构 在s 的极限情况下，尺度空间会收敛到一个具有其平均灰度的常数图象 章毓晋(TH-EE-IE)14.2 相邻相邻尺度联系尺度联系 u要对多尺度表达的图象进行处理，需要把握多尺度表达之间的关系，特别是相邻尺度间的联系 14.2.1组合联系14.2.2分解联系章毓晋(TH-EE-IE)14.2.1 组合联系 kktukhtu)2()(uhu两个尺度之间的组合联系将给定尺度上的尺度函数和小波函数与相邻且高一个尺度上的尺
3、度函数联系在一起u存在两个序列huhk和hvhk满足 kktukhtv)2()(vh10)(UUtu10)(UVtv章毓晋(TH-EE-IE)u对任意的整数j，Uj 和Vj 与Uj+1的联系由下两式确定：u取傅里叶变换 14.2.1 组合联系 kjjktukhtu)2()2(1uhkjjktukhtv)2()2(1vh)2/()()(uhwUzHwU)2/()()(vhwUzHwVkkzkhzH21)(uhuhkkzkhzH21)(vhvh章毓晋(TH-EE-IE)14.2.1 组合联系 huh0=huh1=1，hvh0=hvh1=1，huhk=hvhk=0 章毓晋(TH-EE-IE)14.2
4、.1 组合联系 1uh2jexp)(iiwHwU2uhvh2jexp2jexp)(iiwHwHwVu尺度函数具有低通滤波器的特性（U(0)=1）所有的系数huhk加起来为2u小波函数具有带通滤波器的特性（V(0)=0）所有的系数hvhk加起来为0 )(21)(21)(12,12,1,0 xuxuxukkk章毓晋(TH-EE-IE)14.2.2 分解联系 kktvkhktukhtu)()()2(vlulkktvkhktukhtu)(1)(1)12(vlulu分解联系给出在任意尺度上的尺度函数与在下一个低尺度上尺度函数和小波函数的联系u存在两个序列hulk和hvlk满足 kktvikhktuikh
5、itu)()()2(vlul章毓晋(TH-EE-IE)14.2.2 分解联系 hul0=hul1=1/2，hvl0=hvl1=1/2，hulk=hvlk=0 章毓晋(TH-EE-IE)14.3 高斯和拉普拉斯金字塔高斯和拉普拉斯金字塔 14.3.1高斯金字塔14.3.2拉普拉斯金字塔14.3.3原始图象的重建 章毓晋(TH-EE-IE)14.3.1 高斯金字塔 u高斯金字塔高斯金字塔u平滑和亚采样的过程可借助压缩平滑算子C(2)的单个操作用下式来表示u下标“”后数字为亚采样率；C表示用于压缩平滑的卷积模板，可看作压缩平滑算子 u最小的图象具有最好的平滑，对应图象的最粗尺度 )()2()1(kk
6、CGG章毓晋(TH-EE-IE)14.3.1 高斯金字塔 u高斯金字塔高斯金字塔构建过程 章毓晋(TH-EE-IE)14.3.2 拉普拉斯金字塔 u拉普拉斯金字塔拉普拉斯金字塔u包含一系列带通滤波的图象。在金字塔的每一层中仅包含与在每个频率少数几个采样匹配的尺度，所以拉普拉斯金字塔是一种有效的数据结构，与不确定性所给出的极限（等于波长和空间分辨率的乘积）相适应 u与傅里叶变换不同，拉普拉斯金字塔仅能产生比较粗的频率分解而没有方向分解章毓晋(TH-EE-IE)14.3.2 拉普拉斯金字塔 u拉普拉斯金字塔中的图象可用对高斯金字塔中相邻两层图象的相减而近似得到 u需先将图象在较粗的尺度（较高的层次
7、）上扩展。这个操作可用扩展插值算子E(2)来进行u扩展比减少尺寸的压缩困难，因为缺少的信息需要通过插值来得到 u所生成拉普拉斯金字塔的第k层图象可写成)1()2()()(kkkEGGL章毓晋(TH-EE-IE)14.3.2 拉普拉斯金字塔 u拉普拉斯拉普拉斯金字塔金字塔构建过程 章毓晋(TH-EE-IE)14.3.3 原始图象的重建 u借助高斯金字塔和拉普拉斯金字塔可以将原始图象很快地从两个金字塔的图象序列中通过反复扩展图象并将结果加起来而重建出来 u在一个具有k+1层的拉普拉斯金字塔中，其第k层（从0开始算）既是拉普拉斯金字塔的最粗的一层也与高斯金字塔最粗的一层相同。而高斯金字塔的第k 1层
8、可如下重建)(2)1()1(kkkEGLG章毓晋(TH-EE-IE)14.3.3 原始图象的重建 u高斯和拉普拉斯高斯和拉普拉斯金字塔金字塔章毓晋(TH-EE-IE)14.4 多尺度信号分解和重建多尺度信号分解和重建多尺度的操作要涉及到对多尺度信号的分解和重建 14.4.1多取一采样14.4.2多点插值 14.4.3缩放空间中的信号表达章毓晋(TH-EE-IE)uM 取一采样（M-point decimation）uf(x)和一个单位脉冲序列的乘积 14.4.1 多取一采样)()(xMfxgIkkMxxfxu)()()(章毓晋(TH-EE-IE)u令g(x)=u(xM)，则g(x)的Z变换为
9、ug(x)的离散傅里叶变换（z=exp(jw)）u对信号点的M取一采样的频谱输出包含M个输入频谱的复制，各个复制的幅度减为1/M，而每个复制的带宽扩展了M倍 14.4.1 多取一采样10/110/11)/2 jexp(1)(MkkMMMkMWzFMMkzFMzG/)2j(exp1)jexp(10MkMkwFMwG章毓晋(TH-EE-IE)u对M=2的情况)()(21)(21)(102zFzFWzFzGkk)2/jexp()2/jexp(21)jexp(wFwFwG14.4.1 多取一采样章毓晋(TH-EE-IE)u增加M个采样14.4.2 多点插值其他0如果)/()(kMxMxgxfkkMxk
10、gxf)()()(章毓晋(TH-EE-IE)u插值器的频谱输出 u对插值输出的Z变换为 14.4.2 多点插值)()(MzYzX)jexp()jexp()()jexp()()()jexp(MwGkMwkgxwkMxkgwFkxk)jexp()jexp()()jexp()()()jexp(MwGkMwkgxwkMxkgwFkxk章毓晋(TH-EE-IE)u输出序列比输入序列多M倍的点，同时输出频谱以M因子沿w-轴收缩 u插值时没有混叠的问题？14.4.2 多点插值章毓晋(TH-EE-IE)u卷积后多取一u插值后卷积在时域中进行 kkxhkfxuxg)2()()2()()()()(2xfxhxg2
11、)()()(xfxhxg14.4.2 多点插值章毓晋(TH-EE-IE)14.5 基于多尺度小波的处理基于多尺度小波的处理1、多尺度小波特点多尺度小波特点多尺度小波的尺度变化使得对图象的小波分析可以聚焦到间断点、奇异点和边缘u保真度因子（fidelity factor）滤波器的带宽除以中心频率，是相对带宽的倒数小波变换可看作是一种常数Q的分析P.380 )(/1)(1wswQs章毓晋(TH-EE-IE)14.5 基于多尺度小波的处理基于多尺度小波的处理2、基于小波的噪声消除基于小波的噪声消除(1)确定小波和分解级数（对应尺度S），对有噪声的图象进行小波变换，获得不同尺度的子图象(2)在尺度J-
12、1到J-S上对细节系数取阈值硬阈值：将绝对值小于阈值的系数置为0软阈值：先将绝对值小于阈值的系数置为0 然后将非零系数缩放到零值附近(3)根据在尺度J-S的近似系数和从尺度J-1到J-S的取阈后的细节系数进行小波反变换重建 章毓晋(TH-EE-IE)14.6 多尺度变换技术多尺度变换技术u14.6.1三类多尺度技术l尺度-空间 l时间-频率 l时间-尺度u14.6.2多尺度技术比较 l 显示 l对比 l分析章毓晋(TH-EE-IE)14.6.1 三类多尺度技术 1.1.尺度尺度-空间分析空间分析 u信号中的重要特征往往与一些极值点相关联uu(t)的局部极值点对应其导数u(t)的零交叉点u因为微
13、分会增强噪声，所以使用u(t)时需要滤除噪声，如用高斯滤波器u对u(t)极值点的检测：检测卷积结果的零交叉点 )()()()()()(tgtutgtutgtu章毓晋(TH-EE-IE)14.6.1 三类多尺度技术 1.1.尺度尺度-空间分析空间分析 u高斯函数的宽度是用标准方差来控制的，如果将其定义为尺度参数，则大的方差对应大的尺度，小的方差对应小的尺度。对每个尺度，都可确定一组平滑后的u(t)的极值点。这样，u(t)的尺度-空间就可定义为随尺度参数变化的一组极值点 u设ga(t)是一个标准方差为a（a 0）的高斯函数)2/exp(21)(22atatga章毓晋(TH-EE-IE)14.6.1
14、 三类多尺度技术 1.1.尺度尺度-空间分析空间分析 u信号u(t)与高斯函数ga(t)的卷积u在一个给定的观察尺度a0，U(t,a0)是u(t)平滑的结果。U(t,a)的极值点就是U(t,a0)的零交叉点u信号u(t)的尺度-空间可定义为U(t,a0)的零交叉点的集合（R为实数集合）)()(),(tgtuatUa)()(),(tgtuatUa),(0 ,|),(zc0000000atUbabaab并且R章毓晋(TH-EE-IE)14.6.1 三类多尺度技术 2.2.时间时间-频率分析和频率分析和Gabor变换变换u傅里叶变换u短时傅里叶变换uGabor变换：窗函数g(t)为高斯函数（实函数）
15、u考虑核hf(t)=g(t)expj2ft dtt fjtutuFfU2exp)()()(dtt fjtubtgfbU2exp)()(),(dttubthfbUf)()(),(章毓晋(TH-EE-IE)14.6.1 三类多尺度技术 3.3.时间时间-尺度分析和小波变换尺度分析和小波变换考虑连续小波变换对实函数u(t)来说，如果它的傅里叶变换U(f)满足下列容许性条件那么就称u(t)为“基小波”（basic wavelet）根据U(f)的有限性，可知U(0)=0 小波是具有振荡性和迅速衰减的波 0d )(-ttu-2d)(fffUCu章毓晋(TH-EE-IE)14.6.2 多尺度技术比较 1.显
16、示显示lU(b,a)：一个取值为实数或复数的：一个取值为实数或复数的2-D函数函数(1)尺度-空间：信号和高斯微分的卷积，实/复数(2)Gabor变换：信号和用高斯调制的复指数函数间的内积，复数(3)小波变换：母小波/信号的不同，实/复数lU(b,a)取实数值：(1)曲面：(b,a)给出平面坐标，U(b,a)给出Z轴高度(2)灰度图象：(b,a)对应象素坐标，U(b,a)代表象素灰度 章毓晋(TH-EE-IE)14.6.2 多尺度技术比较 2.对比对比l要分析的信号要分析的信号左边部分和右边部分均为单频率的正弦波。中间部分为一段频率线性增加的正弦波（chirp），可 用cos(mt+n)t表示
17、，其中m随时间线性增加。另在中间部分的中段还加了一个脉冲 章毓晋(TH-EE-IE)14.6.2 多尺度技术比较 2.对比对比l尺度尺度-空间变换空间变换U(b,a)局部极值曲线局部极值曲线对应高频率的小尺度细节部分随着尺度的增加而消失，这是由于它们与有较大方差的高斯函数卷 积的结果。另外，尺度-空间变换检测出原信号中的三个奇异点章毓晋(TH-EE-IE)14.6.2 多尺度技术比较 2.对比对比l时间时间-频率变换频率变换|U(b,a)|局部极值曲线局部极值曲线由于Gabor变换可以调整到信号的局部频率，所以在奇异点有比较明显的响应另外，Gabor变换在平面中部随频率变化的斜线上也有较强的响应 章毓晋(TH-EE-IE)14.6.2 多尺度技术比较 2.对比对比l时间时间-尺度变换尺度变换|U(b,a)|局部极值曲线局部极值曲线由于小波变换中核的尺寸是随频率变化的（低频时的频率分辨率高），所以在每个奇异点，|U(b,a)|的局部极值呈现一个随尺度减小指向奇异点 的漏斗状（频率沿纵轴向上增加）章毓晋(TH-EE-IE)F 通信地址：北京清华大学电子工程系F 邮政编码：100084F 办公地址：清华大学东主楼，9区307室F 办公电话：(010)62781430F 传真号码：(010)62770317F 电子邮件：F 个人主页： 实验室网：联联 系系 信信 息息
