1、第三章第三章 2 2.1、2.2 2 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 第三章第三章 2.1 两角差的余弦函数两角差的余弦函数 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数 第三章第三章 2 2.1、2.2 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 4 课前自主预习课前自主预习 1 易错疑难辨析易错疑难辨析 3 第三章第三章 2 2.1、2.2 课前自主预习课前自主预习 第三章第三章 2 2.1、2.2 在我国和西方的民间故事中，有许多关于彩虹的传说，给 其披上了神秘的面纱，实际上通过物理学中对光的学习，我们 知道彩虹是由于光的折射而形成的而在空气中各种不同
2、光波 的叠加让我们感觉到光是没有色彩的实际上光波的叠加就像 是许多正弦、余弦函数图像的叠加，物理中的干涉实验实际上 就是将正弦、余弦波相加减后形成了新的波形，从而形成明暗 相间的条纹而要深入研究这些问题，不仅要用到两角和与差 的余弦公式，还要用到两角和与差的正弦公式本节我们就来 研究一下这些公式 第三章第三章 2 2.1、2.2 1cos()_； 2cos()_； 3sin()_； 4sin()_. coscossinsin coscossinsin sincoscossin sincoscossin 第三章第三章 2 2.1、2.2 1计算sin43 cos13 cos43 sin13 的结
3、果等于( ) A1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 答案 A 解析 sin43 cos13 cos43 sin13 sin(43 13 ) sin30 1 2. 第三章第三章 2 2.1、2.2 2若cos 4 5 ，是第三象限的角，则sin( 4 )等于 ( ) A7 2 10 B7 2 10 C 2 10 D 2 10 答案 A 解析 本题考查两角和正弦公式的简单应用 sin( 4) 2 2 (sincos) 2 2 (4 5 3 5) 7 2 10 . 第三章第三章 2 2.1、2.2 3cos(35 )cos(25 )sin(35 ) sin(25 )等于 ( ) A1 2 B
4、 3 2 C 2 2 D1 2 答案 A 解析 原式cos(35 25 )cos(60 )1 2. 第三章第三章 2 2.1、2.2 4已知，均为锐角，且cos()sin()，则tan _. 答案 1 解析 由cos()sin()得 coscossinsinsincoscossin， cos(cossin)sin(cossin) cossin0，cossin. tan1. 第三章第三章 2 2.1、2.2 5若 cos()1 5，cos() 3 5，则 tantan_. 答案 1 2 解析 cos()coscossinsin1 5， cos()coscossinsin3 5， 3得：2cosc
5、os4sinsin， 即 tantan1 2. 第三章第三章 2 2.1、2.2 课堂典例讲练课堂典例讲练 第三章第三章 2 2.1、2.2 思路分析 (1)(3)中除含已知角外，还含有x，应找角之 间关系，构造应用和、差角三角函数的条件；(2)中不含特殊 角，且角有正有负，有大有小，应利用公式将角负化正，大化 小 化简求值 求值： (1)cos(x20 )cos(x40 )cos(x70 )sin(x40 )； (2)sin100 sin(160 )cos200 cos(280 )； (3)sin x 3 2sin x 3 3cos 2 3x . 第三章第三章 2 2.1、2.2 规范解答
6、(1)原式cos(x20 )cos(x40 )sin90 (x70 )sin(x40 ) cos(x20 )cos(x40 )sin(x20 )sin(x40 ) cos(x20 )(x40 )cos60 1 2. (2)原式sin80 (sin20 )(cos20 ) cos80 cos(80 20 )cos60 1 2. 第三章第三章 2 2.1、2.2 (3)原式sinxcos 3 cosxsin 3 2sinxcos 3 2cosxsin 3 3 cos2 3 cosx 3sin2 3 sinx3 2sinx 3 2 cosx 3 2 cosx3 2sinx0. 规律总结 解这类题目的
7、关键是将非特殊角转化为特殊 角，充分地拆角、凑角转化为角的正弦、余弦、正切公式，同 时灵活运用两角和与差的正弦、余弦及正切公式 第三章第三章 2 2.1、2.2 求下列各式的值 (1)1 2cos15 3 2 sin15 ； (2)2cos20 sin10 cos10 ； (3)sin347 cos148 sin77 cos58 . 解析 (1)原式cos60 cos15 sin60 sin15 cos(60 15 )cos45 2 2 . 第三章第三章 2 2.1、2.2 (2)原式2cos30 10 sin10 cos10 2cos30 cos10 2sin30 sin10 sin10 c
8、os10 3cos10 sin10 sin10 cos10 3. (3)原式sin(13 360 ) cos(180 32 )sin77 cos58 sin(13 )(cos32 )sin77 cos58 sin13 (cos32 )sin77 cos(90 32 ) cos77 cos32 sin77 sin32 cos(77 32 )cos45 2 2 . 第三章第三章 2 2.1、2.2 给值(式)求值 已知，(3 4 ，)，sin()3 5，sin( 4) 12 13，求sin( 4)的值 思路分析 观察发现 4()( 4)，进而可用S 求解 第三章第三章 2 2.1、2.2 规范解答
9、 ，(3 4 ，)， 3 2 sin()，故必为钝角， cos() 1sin21 5 3 14 211 14， coscos()cos()cossin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2.60 . 第三章第三章 2 2.1、2.2 解法二：sinsin() sin()coscos()sin5 3 14 1 7( 11 14) 4 3 7 3 2 ， 为锐角，60 . 第三章第三章 2 2.1、2.2 辅助角公式及其应用 求ysin 32 cos 32 的最大值和周期 思路分析 由函数的解析式化为yAsin()的形 式，然后求其最大值和周期 规范解答 ysin 32
10、cos 32 sin 3cos2cos 3sin2cos 3cos2sin 3sin2 1 3 2 (cos2sin2) 2 6 2 sin 2 4 ， 第三章第三章 2 2.1、2.2 当2 42k 2，即k 8(kZ)时， ymax 2 6 2 ，T2 2 ， 函数的最大值是 2 6 2 ，周期为. 第三章第三章 2 2.1、2.2 规律总结 (1)asinxbcosx a2b2( a a2b2sinx b a2b2cosx)， 令cos a a2b2，sin b a2b2，则有 asinxbcosx a2b2(cossinxsincosx) a2b2sin(x)，其中tanb a. (2
11、)涉及到asinxbcosx的最值、图像等性质问题时，常利 用两角和与差的三角函数公式先把该式转化成f(x)a2b2 sin(x)的形式；再利用研究yAsin(x)的相关方法去 处理f(x)中的有关性质 第三章第三章 2 2.1、2.2 (1)函数f(x)sinxcosx的最小正周期是_ (2)函数y2sinxcosx的最大值为_ 答案 (1)2 (2) 5 解析 (1)f(x) 2sin(x 4)，最小正周期是2. (2)y2sinxcosx 5( 2 5sinx 1 5cosx) 5sin(x)(其中cos 2 5，sin 1 5) 当sin(x)1，ymax 5. 第三章第三章 2 2.
12、1、2.2 易错疑难辨析易错疑难辨析 第三章第三章 2 2.1、2.2 在ABC中，sinA3 5，cosB 5 13，求cosC 错解 sinA3 5，且0A， cosA 4 5. cosB 5 13，且0B，sinB 12 13. 又cosCcos(AB)cos(AB) cosAcosBsinAsinB， 从而cosC16 65或cosC 56 65. 第三章第三章 2 2.1、2.2 辨析 错解中在用同角三角函数的平方关系求三角函数 值时扩大了角的取值范围，从而产生增解 正解 cosB 5 13 2 2 ，B( 4， 2)且 sinB 12 13. sinA3 5 2 2 ，A(0， 4)( 3 4 ，) 若 A(3 4 ，)，B( 4， 2)， 第三章第三章 2 2.1、2.2 则 AB(，3 2 )，与 ABC 矛盾， A(3 4 ，)，故 A(0， 4)且 cosA 4 5. cosCcos(AB)cos(AB) cosAcosBsinAsinB4 5 5 13 3 5 12 13 16 65.
