1、 创设情境、导入新课 问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算向量的加法、减法及数乘运算向量的加法、减法及数乘运算物理模型物理模型-概念概念-性质性质-应用应用 自主探究、合作学习 如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W=_SF F（力）是_量，s（位移）是_量，是_ W（功）是（功）是_量，量，|F|s|cos数数向向向向F与与s的夹角的夹
2、角探究一：数量积的概念探究一：数量积的概念你能用文字语言表述你能用文字语言表述“功的计算公式功的计算公式”吗吗?我们将功的运算类比到两个向量的一我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量种运算，得到向量“数量积数量积”的概念。的概念。cosSFW|a|bcosba这就是本节课所这就是本节课所要学习的平面向要学习的平面向量的数量积量的数量积2.2.5 5.1.1从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积江西省九江市第七中学江西省九江市第七中学 许秋波许秋波平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义:已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ,我们把数量我们把
3、数量 叫做叫做 与与 的的数量积数量积(或或内积内积),记作记作 .abbacosbaabcosbaba注意：注意：(1)两个向量的数量积是一个实数，两个向量的数量积是一个实数，不是向量不是向量 (2)两个向量的数量积称为内积，写两个向量的数量积称为内积，写成成 a b ab 即即 ab a b 注意：注意：(3)向量的数量积和实数与向量的积向量的数量积和实数与向量的积(数乘数乘)不是一回事不是一回事 数量积数量积 的结果是一个的结果是一个数量数量(实数实数)；实数与向量的积实数与向量的积(数乘数乘)还是一个向量还是一个向量|cosa bab 自主探究、合作学习其中一个向量是零向量数量积是其中
4、一个向量是零向量数量积是多少？多少？数量积是数量还是向量？数量积是数量还是向量？数量积的符号和大小受哪些因素数量积的符号和大小受哪些因素的影响？的影响？特别地特别地:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0.0.00a 规定:|cosa bab 向量的数量积是一个数量，那么它何向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为负，何时为零？时为正，何时为负，何时为零？ab两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，则，则 （）叫作向量）叫作向量 与与 的夹角的夹角aabbOAa OBb AOB0180OABab思考思考1 1 如何定义向量的夹角？如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要
5、计算向量的夹角时要将两个向量起点放在将两个向量起点放在一起一起.探究点探究点1 1 向量的数量积向量的数量积为锐角为锐角有时也记作有时也记作 ，ab向量的夹角向量的夹角180 与与 反向反向abOABab0 与与 同向同向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB abOabBA为钝角为钝角为正；时当ba_;_为负时当baa b 当_时为零;a bab 当_时=|;|.a bab 当_时09090180900180ab均为非零向量均为非零向量自主探究、合作学习0,0baba有则对任意向量若0,0baba，有则对任一个非零向量若0,0,0aa bb若则0,0中至少有一个为则若b
6、aba判断下列结论是否正确：判断下列结论是否正确：(1)(2)(3)(4)自主探究、合作学习a探究二：研究数量积的几何意义探究二：研究数量积的几何意义A bcos B1BO1.向量投影的概念：向量投影的概念：如图，我们把如图，我们把_ 叫做叫做向量向量 在在 方向上的投影。方向上的投影。|b|cos|b|cos|a|a b 投影是个数量，一定大于零吗？投影是个数量，一定大于零吗？b 向量向量 在方向在方向 上的上的投影投影是数量是数量,不是向量不是向量,什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？cosbbaOABab 1BOABab)(1BBOAab 1BOABbaOABba0c
7、osb0cosb0cosbbbcosbbcos自主探究、合作学习数量积的几何意义是什么？数量积的几何意义是什么？abBAO平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义:cos|bcosbabacoscos与与 的的数数量量积积等等于于 的的长长度度与与 在在 方方向向上上射射影影的的乘乘积积，或或 的的长长度度与与 在在 方方向向上上射射影影的的乘乘积积.abaababbbabaOABba A1cos|1aOA 自主探究、合作学习探究三：探究数量积的运算性质探究三：探究数量积的运算性质数量积的性质数量积的性质性质：若性质：若 和和 均为非零向量均为非零向量 (1)_（垂直）（垂直）(2)_
8、，_ 特别地：特别地：=_=_（长度）（长度）(3)cos=（夹角）（夹角）(4)a bab（4 4）的关系是什么？）的关系是什么？何时取等号？何时取等号？abab 与 同向时，与 反向时，0a b|a|b|a b|a|b|a b 2a2|a.a ba b 当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立ab特别提醒：特别提醒：1.1.2.2.若若 是单位向量是单位向量,则则2a aa 1212coscose eee 12,e e 单 位 向 量单 位 向 量是 一 种 特是 一 种 特殊 的 向 量殊 的 向 量哟！哟！3.若若 是单位向量，则：是单位向量，则：ecos.e aa ea 求向量的数量积
9、及向量的模求向量的数量积及向量的模 例1.已知|a|3，|b|4且a与b的夹角为120，求：ab，(ab)2，|a-b|.分析分析：根据向量的运算律求根据向量的运算律求(ab)2,|a-b|，求模时转化为，求模时转化为求向量的平方问题，即求向量的平方问题，即|a|2a2.点评点评：利用利用|a|2a2求向量的模时转化为求向量的平方问求向量的模时转化为求向量的平方问题题4.例题剖析例题剖析 加强应用加强应用题型一题型一3已知向量 a，b 满足|a|4，a(ab)12，则向量 b 在向量a 方向上的投影等于_baaabaa)(解析：cos|2baa.12cos|416b.1cos|b4.3,4,6,mnm nmn 已知则 与 夹角为600反馈训练、巩固落实充充电吧！归纳总结、提升拓展知识：知识：（1）平面向量的数量积；）平面向量的数量积；（2）平面向量的数量积的几何意义；）平面向量的数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质）平面向量数量积的重要性质思想方法：思想方法：（1）转化、数形结合、分类讨论等思想）转化、数形结合、分类讨论等思想（2）公式或定义法）公式或定义法
